Assoziatives Eigentum

In der Mathematik ist das assoziative Eigentum ein Eigentum von einigen binären Operationen. In der Satzlogik ist associativity eine gültige Regel des Ersatzes für Ausdrücke in logischen Beweisen.

Innerhalb eines Ausdrucks, der zwei oder mehr Ereignisse hintereinander desselben assoziativen Maschinenbedieners enthält, ist die Ordnung, in der die Operationen durchgeführt werden, nicht von Bedeutung, so lange die Folge des operands nicht geändert wird. D. h. das Umordnen der Parenthesen in solch einem Ausdruck wird seinen Wert nicht ändern., Denken Sie zum Beispiel, die folgenden Gleichungen:

::

Denken Sie die erste Gleichung. Wenn auch die Parenthesen umgeordnet wurden (die linke Seite verlangt das Hinzufügen 5 und 2 erste, dann 1 zum Ergebnis beitragend, wohingegen die richtige Seite das Hinzufügen 2 und 1 erster, dann 5 verlangt), wurde der Wert des Ausdrucks nicht verändert. Da das für wahr hält, wenn es Hinzufügung auf irgendwelchen reellen Zahlen durchführt, sagen wir, dass "die Hinzufügung von reellen Zahlen eine assoziative Operation ist."

Associativity soll mit commutativity nicht verwirrt sein. Commutativity rechtfertigt das Ändern der Ordnung oder Folge des operands innerhalb eines Ausdrucks, während associativity nicht tut. Zum Beispiel,

:

ist ein Beispiel von associativity, weil die Parenthesen geändert wurden (und folglich die Ordnung von Operationen während der Einschätzung), während der operands 5, 2, und 1 in genau derselben Ordnung vom linken bis direkt im Ausdruck erschienen ist. Im Gegensatz,

:

ist ein Beispiel von commutativity, nicht associativity, weil sich die operand Folge wenn die 2 und 5 geschalteten Plätze geändert hat.

Assoziative Operationen sind in der Mathematik reichlich; tatsächlich verlangen viele algebraische Strukturen (wie Halbgruppen und Kategorien) ausführlich, dass ihre binären Operationen assoziativ sind.

Jedoch sind viele wichtige und interessante Operationen nichtassoziativ; ein allgemeines Beispiel würde das Vektor-Kreuzprodukt sein.

Definition

Formell wird eine binäre Operation auf einem Satz S assoziativ genannt, wenn sie das assoziative Gesetz befriedigt:

:

: Das Verwenden *, um eine binäre Operation anzuzeigen, hat auf einem Satz geleistet

:

:An-Beispiel von multiplicative associativity

Die Einschätzungsordnung betrifft den Wert solcher Ausdrücke nicht, und es kann gezeigt werden, dass dasselbe für Ausdrücke hält, die jede Zahl von Operationen enthalten. So, wenn assoziativ ist, kann die Einschätzungsordnung unangegeben verlassen werden, ohne Zweideutigkeit, durch das Auslassen der Parenthesen und das Schreiben einfach zu verursachen:

:

Jedoch ist es wichtig sich zu erinnern, dass das Ändern der Ordnung von Operationen nicht verbunden ist oder erlaubt, den operands innerhalb des Ausdrucks zu bewegen; die Folge von operands ist immer unverändert.

Das assoziative Gesetz kann auch in der funktionellen Notation so ausgedrückt werden:.

Associativity kann zu n-stufigen Operationen verallgemeinert werden. Dreifältiger associativity ist (Alphabet) de = (bcd) e = ab (cde), d. h. die Schnur abcde mit irgendwelchen drei angrenzenden eingeklammerten Elementen. N-stufiger associativity ist eine Schnur der Länge n + (n-1) mit irgendwelchen n angrenzenden eingeklammerten Elementen.

Beispiele

Einige Beispiele von assoziativen Operationen schließen das folgende ein.

  • Die Verkettung der drei Schnuren kann durch das Verketten der ersten zwei Schnuren geschätzt werden, die (geben) und die dritte Schnur , oder durch das Verbinden der zweiten und dritten Schnur (das Geben) und Verketten der ersten Schnur mit dem Ergebnis anhängen. Die zwei Methoden erzeugen dasselbe Ergebnis; Schnur-Verkettung ist assoziativ (aber nicht auswechselbar).
  • In der Arithmetik sind Hinzufügung und Multiplikation von reellen Zahlen assoziativ; d. h.,

::

\left.

\begin {Matrix-}\

(x+y) +z=x + (y+z) =x+y+z\quad

\\

(x \, y) z=x (y \, z) =x \, y \, z\qquad\qquad\qquad\quad\\\,

\end {Matrix-}\

\right\}\

\mbox {für alle} x, y, z\in\mathbb {R}.

</Mathematik>

:Because von associativity, die sich gruppierenden Parenthesen können ohne Zweideutigkeit weggelassen werden.

:: \left.\begin {Matrix-}\

\operatorname {gcd} (\operatorname {gcd} (x, y), z) =

\operatorname {gcd} (x, \operatorname {gcd} (y, z)) =

\operatorname {gcd} (x, y, z) \\quad

\\

\operatorname {lcm} (\operatorname {lcm} (x, y), z) =

\operatorname {lcm} (x, \operatorname {lcm} (y, z)) =

\operatorname {lcm} (x, y, z) \quad

\end {Matrix-}\

\right\}\\mbox {für alle} x, y, z\in\mathbb {Z}.

</Mathematik> :: \left.\begin {Matrix-}\

(A\cap B) \cap C=A\cap (B\cap C) =A\cap B\cap C\quad

\\

(A\cup B) \cup C=A\cup (B\cup C) =A\cup B\cup C\quad

\end {Matrix-}\

\right\}\\mbox {für alle Sätze} A, B, C.

</Mathematik>
  • Wenn M ein Satz ist und S den Satz aller Funktionen von der M bis M anzeigt, dann ist die Operation der funktionellen Zusammensetzung auf S assoziativ:

::

  • Ein bisschen mehr allgemein, in Anbetracht vier Sätze M, N, P und Q, mit h: M zu N, g: N zu P und f: P zu Q, dann
::

: wie zuvor. Kurz gesagt, die Zusammensetzung von Karten ist immer assoziativ.

  • Denken Sie einen Satz mit drei Elementen, A, B, und C. Die folgende Operation:
ist

assoziativ. So, zum Beispiel, (v. Chr.) = (AB) C. Das kartografisch darzustellen, ist nicht auswechselbar.

Satzlogik

Regel des Ersatzes

In der mit der Wahrheit funktionellen Standardsatzlogik ist Vereinigung oder associativity zwei gültige Regeln des Ersatzes. Die Regeln erlauben, Parenthesen in logischen Ausdrücken in logischen Beweisen zu bewegen. Die Regeln sind:

:

und

:

Wo "" ein metalogical Symbol-Darstellen ist, "kann in einem Beweis damit ersetzt werden."

Wahrheit funktionelle Bindewörter

Associativity ist ein Eigentum von einigen logischen Bindewörtern der mit der Wahrheit funktionellen Satzlogik. Die folgenden logischen Gleichwertigkeiten demonstrieren, dass associativity ein Eigentum von besonderen Bindewörtern ist. Der folgende ist mit der Wahrheit funktionelle Tautologie.

Associativity der Trennung:

::

Associativity der Verbindung:

::

Associativity der Gleichwertigkeit:

::

Non-associativity

Eine binäre Operation auf einem Satz S, der das assoziative Gesetz nicht befriedigt, wird nichtassoziativ genannt. Symbolisch,

:

Für solch eine Operation ist die Ordnung der Einschätzung wirklich von Bedeutung. Zum Beispiel:

:

(5-3)-2 \, \ne \, 5-(3-2)

</Mathematik> :

(4/2)/2 \, \ne \, 4 / (2/2)

</Mathematik> :

2^ {(1^2)} \, \ne \, (2^1) ^2

</Mathematik>

Bemerken Sie auch, dass unendliche Summen zum Beispiel nicht allgemein assoziativ sind:

:

(1-1) + (1-1) + (1-1) + (1-1) + (1-1) + (1-1) + \dots \, = \, 0

</Mathematik>

wohingegen

:

1 + (-1+1) + (-1+1) + (-1+1) + (-1+1) + (-1+1) + (-1 +\dots \, = \, 1

</Mathematik>

Die Studie von nichtassoziativen Strukturen entsteht aus von der Hauptströmung der klassischen Algebra etwas verschiedenen Gründen. Ein Gebiet innerhalb der nichtassoziativen Algebra, die sehr groß gewachsen ist, ist das von Lüge-Algebra. Dort wird das assoziative Gesetz durch die Identität von Jacobi ersetzt. Lügen Sie Algebra abstrahieren die wesentliche Natur von unendlich kleinen Transformationen, und sind allgegenwärtig in der Mathematik geworden. Sie sind ein Beispiel von nichtassoziativen Algebra.

Es gibt andere spezifische Typen von nichtassoziativen Strukturen, die eingehend studiert worden sind. Sie neigen dazu, aus einigen spezifischen Anwendungen zu kommen. Einige von diesen entstehen in der kombinatorischen Mathematik. Andere Beispiele: Quasigruppe, Quasifeld, Nichtassoziativer Ring.

Notation für nichtassoziative Operationen

Im Allgemeinen müssen Parenthesen verwendet werden, um die Ordnung der Einschätzung anzuzeigen, wenn eine nichtassoziative Operation mehr erscheint als einmal in einem Ausdruck. Jedoch einigen sich Mathematiker über eine besondere Ordnung der Einschätzung für mehrere allgemeine nichtassoziative Operationen. Das ist einfach eine notational Tagung, Parenthesen zu vermeiden.

Eine nach links assoziative Operation ist eine nichtassoziative Operation, die vom linken bis Recht, d. h., herkömmlich bewertet wird

:\left.\begin {Matrix-}\

x*y*z = (x*y) *z\qquad\qquad\quad \,

\\

w*x*y*z = (w*x) *y) *z\quad

\\

\mbox {etc. }\\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\\,

\end {Matrix-}\\right\}\

\mbox {für alle} w, x, y, z\in S

</Mathematik>

während eine richtig-assoziative Operation vom Recht bis linken herkömmlich bewertet wird:

:\left.\begin {Matrix-}\

x*y*z=x * (y*z) \qquad\qquad\quad \,

\\

w*x*y*z=w * (x * (y*z)) \quad

\\\mbox {etc. }\\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\\,\end {Matrix-}\\right\}\\mbox {für alle} w, x, y, z\in S</Mathematik>

Sowohl nach links assoziative als auch richtig-assoziative Operationen kommen vor. Nach links assoziative Operationen schließen den folgenden ein:

  • Subtraktion und Abteilung von reellen Zahlen:
::::
  • Funktionsanwendung:
::

:This-Notation kann durch den mit Currysoße zubereitenden Isomorphismus motiviert werden.

Richtig-assoziative Operationen schließen den folgenden ein:

::

:The schließen, dass exponentiation richtig-assoziativ ist, ist, dass eine wiederholte nach links assoziative exponentiation Operation weniger nützlich sein würde. Vielfacher Anschein hat gekonnt (und würde), mit der Multiplikation umgeschrieben werden:

::
  • Funktionsdefinition
::::

:Using richtig-assoziative Notation für diese Operationen kann durch die Ähnlichkeit des Currys-Howard und durch den mit Currysoße zubereitenden Isomorphismus motiviert werden.

Nichtassoziative Operationen, für die keine herkömmliche Einschätzungsordnung definiert wird, schließen das folgende ein.

  • Die Einnahme des Kreuzproduktes von drei Vektoren:
::::
  • Die Einnahme der Verhältnisergänzung von Sätzen ist nicht dasselbe als. (Vergleichen Sie materielle Nichtimplikation in der Logik.)

Siehe auch

  • Die associativity des Lichtes prüfen
  • Eine Halbgruppe ist ein Satz mit einer geschlossenen assoziativen binären Operation.
  • Commutativity und distributivity sind zwei andere oft besprochene Eigenschaften von binären Operationen.
  • Macht associativity und alternativity sind schwache Formen von associativity.

Am 16. April / Apachen-Softwarefundament
Impressum & Datenschutz