Goldene Verhältnis-Basis ist eine nichtganze Zahl Stellungsziffer-System, das das goldene Verhältnis (die irrationale Zahl (1 +  5)/2  1.61803399... symbolisiert durch den griechischen Brief φ) als seine Basis verwendet. Es wird manchmal base-φ, Basis der goldenen Mitte, Phi-Basis, oder, umgangssprachlich, phinary genannt. Jede nichtnegative reelle Zahl kann als eine base-φ Ziffer mit nur die Ziffern 0 und 1 vertreten werden, und die Ziffer-Folge "11" vermeidend - das wird eine Standardform genannt. Eine base-φ Ziffer, die die Ziffer-Folge "11" einschließt, kann immer in der Standardform, mit den algebraischen Eigenschaften der Basis φ — am meisten namentlich dass φ + 1 = φ umgeschrieben werden. Zum Beispiel, 11 = 100.

Trotz des Verwendens einer Basis der irrationalen Zahl, wenn sie Standardform verwenden, haben alle natürlichen Zahlen eine einzigartige Darstellung als eine endende (begrenzte) base-φ Vergrößerung. Andere Zahlen haben Standarddarstellungen in base-φ, mit rationalen Zahlen habende wiederkehrende Darstellungen. Diese Darstellungen sind einzigartig, außer dass Zahlen mit einer endenden Vergrößerung auch eine nichtendende Vergrößerung haben, wie sie in der Basis 10 tun; zum Beispiel, 1=0.99999 ….

Beispiele

Das Schreiben goldener Verhältnis-Basiswerte in der Standardform

211.0 ist nicht ein Standard base-φ Ziffer, da sie "11" und "2" enthält, der nicht "0" oder "1" ist, und =-1 enthält, der nicht "0" oder "1" auch ist.

Um eine Ziffer "zu standardisieren", können wir die folgenden Ersetzungen verwenden: 011 = 100, 0200 = 1001 und 00 = 01. Wir können die Ersetzungen in jeder Ordnung anwenden, die wir mögen, weil das Ergebnis dasselbe ist. Unten sind die verwendeten Ersetzungen rechts, die resultierende Zahl links.

211.0

300.0 011  100

1101.0 0200  1001

10001.0 011  100 (wieder)

10001.01 00  01

10000.011 00  01 (wieder)

10000.1 011  100 (wieder)

Jede positive Zahl mit einem Sonderenden base-φ Darstellung kann auf diese Weise einzigartig standardisiert werden. Wenn wir zu einem Punkt kommen, wo alle Ziffern "0" oder "1", abgesehen von der ersten Ziffer sind, die negativ ist, dann ist die Zahl negativ. Das kann der Verneinung einer base-φ Darstellung durch das Verneinen jeder Ziffer, das Standardisieren des Ergebnisses, und dann die Markierung davon als negativ umgewandelt werden. Verwenden Sie zum Beispiel minus das Zeichen oder eine andere Bedeutung, negative Zahlen anzuzeigen. Wenn die Arithmetik auf einem Computer durchgeführt wird, kann eine Fehlermeldung zurückgegeben werden.

Bemerken Sie, dass, wenn es die Ziffern "9" und "1" hinzufügt, das Ergebnis eine einzelne Ziffer "10", "A" oder ähnlich ist, weil wir in der Dezimalzahl nicht arbeiten.

Das Darstellen von ganzen Zahlen als goldene Verhältnis-Basiswerte

Wir können entweder denken, dass unsere ganze Zahl die (einzige) Ziffer einer base-φ Sonderziffer ist, und es standardisiert, oder den folgenden tut:

1×1 = 1, φ × φ = 1 + φ und 1/φ = 1 + φ. Deshalb können wir schätzen

: (+ bφ) + (c + dφ) = ((+ c) + (b + d) φ),

: (+ bφ)  (c + dφ) = ((ein  c) + (b  d) φ)

und

: (+ bφ) × (c + dφ) = ((ac + bd) + (Anzeige + bc + bd) φ).

Also, das Verwenden der ganzen Zahl schätzt nur, wir können hinzufügen, abziehen und Zahlen der Form (+ bφ) multiplizieren, und sogar positive und negative Mächte der ganzen Zahl von φ vertreten. (Bemerken Sie das φ = 1/φ.)

(+ bφ) > (c + dφ) wenn und nur wenn 2 (ein  c)  (d  b) > (d  b) × 5. Wenn eine Seite, anderes positives negativ ist, ist der Vergleich trivial. Sonst, Quadrat beide Seiten, um einen Vergleich der ganzen Zahl zu bekommen, die Vergleich-Richtung umkehrend, wenn beide Seiten negativ waren. Auf dem Quadrieren beide Seiten werden die 5 durch die ganze Zahl 5 ersetzt.

Also, das Verwenden der ganzen Zahl schätzt nur, wir können auch Zahlen der Form (+ bφ) vergleichen.

1. Um eine ganze Zahl x zu einer base-φ Zahl umzuwandeln, bemerken Sie dass x = (x + 0φ).
2. Ziehen Sie die höchste Macht von φ ab, der noch kleiner ist als die Zahl, die wir haben, um unsere neue Zahl zu bekommen, und "1" im passenden Platz in der resultierenden base-φ Zahl zu registrieren.
3. Wenn unsere Zahl 0 nicht ist, gehen Sie zum Schritt 2.
4. Beendet.

Das obengenannte Verfahren wird auf die Folge "11" nie hinauslaufen, da 11 = 100 so das Bekommen "11" bedeuten würde, dass wir "1" vor der Folge "11" gefehlt haben.

Fangen Sie zum Beispiel mit integer=5 mit dem Ergebnis so an weit zu sein... 00000.00000...

Die höchste Macht von φ  5 ist φ = 1 + 2φ  4.236067977

Das von 5 abziehend, haben wir 5 - (1 + 2φ) = 4  2φ  0.763932023..., das Ergebnis so weit 1000.00000 zu sein...

Die höchste Macht von φ  4  2φ  0.763932023 ist... φ = 1 + 1φ  0.618033989...

Das von 4  2φ  0.763932023... abziehend, haben wir 4  2φ  (1 + 1φ) = 5  3φ  0.145898034..., das Ergebnis so weit 1000.10000 zu sein...

Die höchste Macht von φ  5  3φ  0.145898034 ist... φ = 5  3φ  0.145898034...

Das von 5  3φ  0.145898034... abziehend, haben wir 5  3φ  (5  3φ) = 0 + 0φ = 0, mit dem Endresultat, das 1000.1001 ist.

Nichteinzigartigkeit

Ebenso mit jedem Grund-N-System haben Zahlen mit einer endenden Darstellung eine alternative wiederkehrende Darstellung. In der Basis 10 verlässt sich das auf die Beobachtung das 0.999... =1. In base-φ, wie man sehen kann, ist die Ziffer 0.1010101... 1 auf mehrere Weisen gleich:

• Konvertierung zur Sonderform: 1 = 0.11 = 0.1011 = 0.101011 =... = 0.10101010....
• Geometrische Reihe: 1.0101010 ist... gleich

::

• Unterschied zwischen "Verschiebungen": φ x - x = 10.101010... - 0.101010... = 10 = φ so dass x = φ / (φ  1) = 1

Diese Nichteinzigartigkeit ist eine Eigenschaft des Zählen-Systems, da sowohl 1.0000 als auch 0.101010... in der Standardform sind.

Im Allgemeinen kann endgültige 1 jeder Zahl in base-φ durch ein Wiederkehren 01 ersetzt werden, ohne den Wert dieser Zahl zu ändern.

Das Darstellen von rationalen Zahlen als goldene Verhältnis-Basiswerte

Jede nichtnegative rationale Zahl kann als ein Wiederkehren base-φ Vergrößerung vertreten werden, wie jedes nichtnegative Element Feldes Q [5] = Q + 5Q, das Feld kann, das durch die rationalen Zahlen und 5 erzeugt ist. Umgekehrt ist jedes Wiederkehren (oder das Enden) base-φ Vergrößerung ein nichtnegatives Element von Q [5]. Einige Beispiele (mit Räumen hat für die Betonung beigetragen):

• 1/2  0.010 010 010 010...
• 1/3  0.00101000 00101000 00101000...
• 5 = 10.1
• 2 + (1/13) 5  10.010 1000100010101000100010000000 1000100010101000100010000000 1000100010101000100010000000...

Die Rechtfertigung, dass ein vernünftiger eine wiederkehrende Vergrößerung gibt, ist dem gleichwertigen Beweis für ein Grund-N-Zählen-System (n=2,3,4...) analog. Im Wesentlichen in base-φ ist lange Abteilung dort nur eine begrenzte Zahl von möglichen Resten, und so, sobald es ein wiederkehrendes Muster geben muss. Zum Beispiel mit 1/2 = 1/10.01 = 100/1001 lange Abteilung sieht wie das aus (bemerken Sie, dass base-φ Subtraktion hart sein kann, zuerst zu folgen):

.0 1 0 0 1

________________________

1 0 0 1) 1 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 1 Handel: 10000 = 1100 = 1011

-------so 10000-1001 = 1011-1001 = 10

1 0 0 0 0

1 0 0 1

-------

usw.

Das gegenteilige ist auch, darin eine Zahl mit einem Wiederkehren base-φ wahr; Darstellung ist ein Element Feldes Q [5]. Das folgt aus der Beobachtung, dass eine wiederkehrende Darstellung mit der Periode k eine geometrische Reihe mit dem Verhältnis φ einschließt, der zu einem Element von Q [5] resümieren wird.

Das Darstellen von irrationalen Zahlen des Zeichens als goldene Verhältnis-Basiswerte

Die base-φ Darstellungen von einigen interessanten Zahlen:

• π  100.0100 1010 1001 0001 0101 0100 0001 0100...
• e  100.0000 1000 0100 1000 0000 0100...
• 2  1.0100 0001 0100 1010 0100 0000 0101 0000 0000 0101...
• φ = (1 +  5)/2 = 10
• 5 = 10.1

Hinzufügung, Subtraktion und Multiplikation

Es ist möglich, alle Standardalgorithmen der Basis 10 Arithmetik zur base-φ Arithmetik anzupassen. Es gibt zwei Annäherungen daran:

Rechnen Sie, dann wandeln Sie sich zur Standardform um

Für die Hinzufügung von zwei base-φ Zahlen, fügen Sie hinzu, dass jedes Paar von Ziffern, ohne tragen, und dann die Ziffer zur Standardform umwandeln. Für die Subtraktion, machen Sie Abstriche jedes Paar von Ziffern ohne borgen (borgen Sie ist ein negativer Betrag dessen tragen), und dann wandeln Sie die Ziffer zur Standardform um. Für die Multiplikation, multiplizieren Sie in der typischen Basis 10 Weise, ohne tragen, wandeln dann die Ziffer zur Standardform um.

Zum Beispiel

• 2+3 = 10.01 + 100.01 = 110.02 = 110.1001 = 1000.1001
• 2×3 = 10.01 × 100.01 = 1000.1 + 1.0001 = 1001.1001 = 1010.0001
• 7-2 = 10000.0001 - 10.01 = 1000.001 = 110.001 = 1001.001 = 1000.1001

Vermeiden Sie Ziffern außer 0 und 1

Eine mehr "heimische" Annäherung soll vermeiden, Ziffern 1+1 hinzufügen oder 0-1 Abstriche machen zu müssen. Das wird durch die Reorganisation des operands in die Sonderform getan, so dass diese Kombinationen nicht vorkommen. Zum Beispiel

• 2+3 = 10.01 + 100.01 = 10.01 + 100.0011 = 110.0111 = 1000.1001
• 7-2 = 10000.0001 - 10.01 = 1100.0001 - 10.01 = 1011.0001 - 10.01 = 1010.1101 - 10.01 = 1000.1001

Die Subtraktion gesehen hier verwendet eine modifizierte Form des Standard"Handels"-Algorithmus für die Subtraktion.

Abteilung

Keine rationale Zahl der nichtganzen Zahl kann als eine begrenzte base-φ Zahl vertreten werden. Mit anderen Worten sind alle begrenzt wiederpräsentablen base-φ Zahlen entweder ganze Zahlen oder (wahrscheinlicher) eine Irrationalzahl in Feld Q [5]. Wegen der langen Abteilung, die nur eine begrenzte Zahl von möglichen Resten hat, wird eine Abteilung von zwei ganzen Zahlen (oder andere Zahlen mit der begrenzten base-φ Darstellung) eine wiederkehrende Vergrößerung, wie demonstriert, oben haben.

Beziehung mit dem Codieren von Fibonacci

Das Codieren von Fibonacci ist ein nah zusammenhängendes für ganze Zahlen verwendetes Zählen-System. In diesem System werden nur Ziffern 0 und 1 verwendet, und die Platz-Werte der Ziffern sind die Fibonacci-Zahlen. Als mit base-φ wird die Ziffer-Folge "11" durch das Umordnen zu einer Standardform, das Verwenden der Wiederauftreten-Beziehung von Fibonacci F = F + F vermieden. Zum Beispiel

:: 30 = 1×21 + 0×13 + 1×8 + 0×5 + 0×3 + 0×2 + 1×1 + 0×1 = 10100010.

Siehe auch

• Beta encoder - hat Ursprünglich goldenen Verhältnis Basis verwendet

Links

• Das Verwenden von Mächten von Phi, Ganze Zahlen (Grundphi) zu vertreten