Kontinuum-Mechanik ist ein Zweig der Mechanik, die sich mit der Analyse des kinematics und dem mechanischen Verhalten von Materialien modelliert als eine dauernde Masse aber nicht als getrennte Partikeln befasst. Der französische Mathematiker Augustin Louis Cauchy war erst, um solche Modelle im 19. Jahrhundert zu formulieren, aber die Forschung im Gebiet geht heute weiter.

Erklärung

Wenn es

einen Gegenstand weil modelliert, nimmt ein Kontinuum an, dass die Substanz des Gegenstands völlig den Raum füllt, den es besetzt. Das Modellieren von Gegenständen ignoriert auf diese Weise die Tatsache, dass Sache aus Atomen gemacht wird, und so nicht dauernd ist; jedoch, auf Länge-Skalen, die viel größer sind als dieser von Zwischenatomabständen, sind solche Modelle hoch genau. Grundsätzliche physische Gesetze wie die Bewahrung der Masse, die Bewahrung des Schwungs und die Bewahrung der Energie können auf solche Modelle angewandt werden, um Differenzialgleichungen abzuleiten, die das Verhalten solcher Gegenstände beschreiben, und etwas Information über das besondere studierte Material wird durch eine bestimmende Beziehung hinzugefügt.

Kontinuum-Mechanik befasst sich mit physikalischen Eigenschaften von Festkörpern und Flüssigkeiten, die jedes besonderen Koordinatensystems unabhängig sind, in dem sie beobachtet werden. Diese physikalischen Eigenschaften werden dann durch den Tensor vertreten, der mathematische Gegenstände ist, die das erforderliche Eigentum haben, des Koordinatensystems unabhängig zu sein. Dieser Tensor kann in Koordinatensystemen für die rechenbetonte Bequemlichkeit ausgedrückt werden.

Konzept eines Kontinuums

Materialien, wie Festkörper, Flüssigkeiten und Benzin, werden aus durch den leeren Raum getrennten Molekülen zusammengesetzt. Auf einer makroskopischen Skala haben Materialien Spalten und Diskontinuitäten. Jedoch können bestimmte physische Phänomene modelliert werden annehmend, dass die Materialien als ein Kontinuum bestehen, bedeutend, dass die Sache im Körper unaufhörlich verteilt wird und das komplette Gebiet des Raums füllt, den es besetzt. Ein Kontinuum ist ein Körper, der ständig in unendlich kleine Elemente mit Eigenschaften unterteilt werden kann, die diejenigen des Schüttgutes sind.

Die Gültigkeit der Kontinuum-Annahme kann durch eine theoretische Analyse nachgeprüft werden, in der entweder eine klare Periodizität identifiziert wird oder statistische Gleichartigkeit und ergodicity der Mikrostruktur besteht. Mehr spezifisch hängt die Kontinuum-Hypothese/Annahme von den Konzepten eines vertretenden Volumen-Elements (RVE) (manchmal genannt "vertretendes elementares Volumen") und Trennung von auf der Bedingung des Hügels-Mandel gestützten Skalen ab. Diese Bedingung stellt eine Verbindung zwischen einem experimentalist's und ein Gesichtspunkt eines Theoretikers auf bestimmenden Gleichungen (geradlinige und nichtlineare elastische/unelastische oder verbundene Felder) sowie ein Weg der räumlichen und statistischen Mittelwertbildung der Mikrostruktur zur Verfügung.

Wenn die Trennung von Skalen nicht hält, oder wenn man ein Kontinuum einer feineren Entschlossenheit einsetzen will als diese der RVE Größe, verwendet man ein statistisches Volumen-Element (SVE), das abwechselnd zu zufälligen Kontinuum-Feldern führt. Die Letzteren schaffen dann eine Mikromechanik-Grundlage für stochastische begrenzte Elemente (SFE). Die Niveaus von SVE und RVE verbinden Kontinuum-Mechanik mit der statistischen Mechanik. Der RVE kann nur auf eine beschränkte Weise über die experimentelle Prüfung bewertet werden: Wenn die bestimmende Antwort räumlich homogen wird.

Spezifisch für Flüssigkeiten wird die Zahl von Knudsen verwendet, um zu bewerten, inwieweit die Annäherung der Kontinuität gemacht werden kann.

Hauptgebiete der Kontinuum-Mechanik

Formulierung von Modellen

Kontinuum-Mechanik-Modelle beginnen durch das Zuweisen eines Gebiets im dreidimensionalen Euklidischen Raum zum materiellen Körper, der wird modelliert. Die Punkte innerhalb dieses Gebiets werden Partikeln oder materielle Punkte genannt. Verschiedene Konfigurationen oder Staaten des Körpers entsprechen verschiedenen Gebieten im Euklidischen Raum. Das Gebiet entsprechend der Konfiguration des Körpers in der Zeit wird etikettiert.

Eine besondere Partikel innerhalb des Körpers in einer besonderen Konfiguration wird durch einen Positionsvektoren charakterisiert

:

wo die Koordinatenvektoren in einem für das Problem gewählten Bezugssystem sind (Sieh Abbildung 1). Dieser Vektor kann als eine Funktion der Partikel-Position in einer Bezugskonfiguration, zum Beispiel die Konfiguration in der anfänglichen Zeit, so dass ausgedrückt werden

:.

Diese Funktion muss verschiedene Eigenschaften haben, so dass das Modell physischen Sinn hat. Bedürfnisse zu sein:

• dauernd rechtzeitig, so dass sich der Körper in einen Weg ändert, der, realistisch

ist

• allgemein invertible zu jeder Zeit, so dass der Körper sich, nicht durchschneiden kann
• Orientierungsbewahrung, weil Transformationen, die Spiegelnachdenken erzeugen, in der Natur nicht möglich sind.

Für die mathematische Formulierung des Modells, wird auch angenommen, zweimal unaufhörlich differentiable zu sein, so dass Differenzialgleichungen, die die Bewegung beschreiben, formuliert werden können.

Kräfte in einem Kontinuum

Kontinuum-Mechanik befasst sich mit verformbaren Körpern im Vergleich mit starren Körpern. Ein Festkörper ist ein verformbarer Körper, der Scherfestigkeit besitzt, sc. ein Festkörper kann unterstützen scheren Kräfte (Kraft-Parallele zur materiellen Oberfläche, auf der sie handeln). Flüssigkeiten stützen andererseits nicht scheren Kräfte. Für die Studie des mechanischen Verhaltens von Festkörpern und Flüssigkeiten, wie man annimmt, sind das dauernde Körper, was bedeutet, dass die Sache das komplette Gebiet des Raums füllt, den es besetzt, ungeachtet der Tatsache dass Sache aus Atomen gemacht wird, Leere hat und getrennt ist. Deshalb, wenn sich Kontinuum-Mechanik auf einen Punkt oder Partikel in einem dauernden Körper bezieht, beschreibt es keinen Punkt im Zwischenatomraum oder einer Atompartikel, eher ein idealisierter Teil des Körpers, der diesen Punkt besetzt.

Im Anschluss an die klassische Dynamik von Newton und Euler wird die Bewegung eines materiellen Körpers durch die Handlung äußerlich angewandter Kräfte erzeugt, die, wie man annimmt, von zwei Arten sind: Erscheinen Sie Kräfte und Körperkräfte. So kann die Gesamtkraft, die auf einen Körper oder auf einen Teil des Körpers angewandt ist, als ausgedrückt werden:

:

Oberflächenkräfte oder Kontakt-Kräfte, ausgedrückt als Kraft pro Einheitsgebiet, können entweder auf der begrenzenden Oberfläche des Körpers, infolge des mechanischen Kontakts mit anderen Körpern, oder auf imaginären inneren Oberflächen handeln, die Teile des Körpers, infolge der mechanischen Wechselwirkung zwischen den Teilen des Körpers zu jeder Seite der Oberfläche (der Betonungsgrundsatz von Euler-Cauchy) gebunden haben. Wenn ein Körper durch Außenkontakt-Kräfte gehandelt wird, werden innere Kontakt-Kräfte dann vom Punkt bis Punkt innerhalb des Körpers übersandt, um ihre Handlung, gemäß dem zweiten Gesetz von Newton der Bewegung der Bewahrung des geradlinigen Schwungs und winkeligen Schwungs zu erwägen (für dauernde Körper diese Gesetze werden die Gleichungen von Euler der Bewegung genannt). Die inneren Kontakt-Kräfte sind mit der Deformierung des Körpers durch bestimmende Gleichungen verbunden. Die inneren Kontakt-Kräfte können dadurch mathematisch beschrieben werden, wie sie sich auf die Bewegung des Körpers beziehen, der des materiellen Make-Ups des Körpers unabhängig ist.

Wie man

annimmt, ist der Vertrieb von inneren Kontakt-Kräften überall im Volumen des Körpers dauernd. Deshalb, dort besteht eine Kontakt-Kraft-Dichte oder Traktionsfeld von Cauchy, das diesen Vertrieb in einer besonderen Konfiguration des Körpers zu einem festgelegten Zeitpunkt vertritt. Es ist nicht ein Vektorfeld, weil es nicht nur von der Position eines besonderen materiellen Punkts, sondern auch auf der lokalen Orientierung des Oberflächenelements, wie definiert, durch seinen normalen Vektoren abhängt.

Jedes Differenzialgebiet mit dem normalen Vektoren einer gegebenen inneren Fläche, einen Teil des Körpers begrenzend, erfährt eine Kontakt-Kraft, die aus dem Kontakt zwischen beiden Teilen des Körpers auf jeder Seite dessen entsteht, und es wird durch gegeben

:

wo die Oberflächentraktion, auch genannt Betonungsvektoren, Traktion oder Traktionsvektoren ist. Der Betonungsvektor ist ein rahmengleichgültiger Vektor (sieh den Betonungsgrundsatz von Euler-Cauchy).

Die Gesamtkontakt-Kraft auf der besonderen inneren Oberfläche wird dann als die Summe (Oberflächenintegral) von den Kontakt-Kräften auf allen Differenzialoberflächen ausgedrückt:

:

In der Kontinuum-Mechanik wird ein Körper stressfrei betrachtet, wenn die einzigen Kräfte präsentieren, sind jene Zwischenatomkräfte (ionisch, metallisch, und Kräfte von van der Waals) erforderlich, den Körper zusammenzuhalten und seine Gestalt ohne alle Außeneinflüsse einschließlich der Gravitationsanziehungskraft zu behalten. Betonungen, die während der Fertigung des Körpers zu einer spezifischen Konfiguration erzeugt sind, werden auch ausgeschlossen, wenn man Betonungen in einem Körper denkt. Deshalb sind die in der Kontinuum-Mechanik betrachteten Betonungen nur diejenigen, die durch die Deformierung des Körpers, sc. erzeugt sind, nur Verhältnisänderungen in Betonung, werden nicht die absoluten Werte der Betonung betrachtet.

Körperkräfte sind Kräfte, die aus Quellen außerhalb des Körpers entstehen, die dem Volumen (oder Masse) vom Körper folgen. Ausspruch, dass Körperkräfte wegen Außenquellen sind, deutet an, dass die Wechselwirkung zwischen verschiedenen Teilen des Körpers (innere Kräfte) durch die Kontakt-Kräfte allein manifestiert wird. Diese Kräfte entstehen aus der Anwesenheit des Körpers in Kraft-Feldern, z.B Schwerefeld (Gravitationskräfte) oder elektromagnetischem Feld (elektromagnetische Kräfte), oder von Trägheitskräften, wenn Körper in der Bewegung sind. Da, wie man annimmt, die Masse eines dauernden Körpers unaufhörlich verteilt wird, wird jede Kraft, die aus der Masse entsteht, auch unaufhörlich verteilt. So werden Körperkräfte durch Vektorfelder angegeben, die, wie man annimmt, über das komplette Volumen des Körpers, d. h. das Folgen jedem Punkt darin dauernd sind. Körperkräfte werden durch eine Körperkraft-Dichte vertreten (pro Einheit der Masse), der ein rahmengleichgültiges Vektorfeld ist.

Im Fall von Gravitationskräften hängt die Intensität der Kraft ab, oder ist zu, die Massendichte des Materials proportional, und es wird in Bezug auf die Kraft pro Einheitsmasse oder pro Einheitsvolumen angegeben. Diese zwei Spezifizierungen sind durch die materielle Dichte durch die Gleichung verbunden. Ähnlich hängt die Intensität von elektromagnetischen Kräften von der Kraft (elektrische Anklage) des elektromagnetischen Feldes ab.

Die auf einen dauernden Körper angewandte Gesamtkörperkraft wird als ausgedrückt

:

Körperkräfte und Kontakt-Kräfte, die dem Körper folgen, führen zu entsprechenden Momenten der Kraft (Drehmomente) hinsichtlich eines gegebenen Punkts. So wird das angewandte Gesamtdrehmoment über den Ursprung durch gegeben

:

In bestimmten Situationen, die nicht allgemein in der Analyse des mechanischen Verhaltens oder der Materialien betrachtet sind, wird es notwendig, zwei andere Typen von Kräften einzuschließen: Das sind Körpermomente und Paar-Betonungen (Oberflächenpaare, setzen Sie sich mit Drehmomenten in Verbindung). Körpermomente oder Körperpaare, sind Momente pro Einheitsvolumen oder pro auf das Volumen des Körpers angewandte Einheitsmasse. Paar-Betonungen sind Momente pro an eine Oberfläche angewandtes Einheitsgebiet. Beide sind in der Analyse der Betonung für einen polarisierten dielektrischen Festkörper unter der Handlung eines elektrischen Feldes, Materialien wichtig, wo die molekulare Struktur (z.B Knochen), Festkörper unter der Handlung eines magnetischen Außenfeldes und der Verlagerungstheorie von Metallen in Betracht gezogen wird.

Materialien, die Körperpaare und Paar-Betonungen zusätzlich zu Momenten erzeugt exklusiv durch Kräfte ausstellen, werden polare Materialien genannt. Nichtpolare Materialien sind dann jene Materialien mit nur Momenten von Kräften. In den klassischen Zweigen der Kontinuum-Mechanik basiert die Entwicklung der Theorie von Betonungen auf nichtpolaren Materialien.

So kann die Summe aller angewandten Kräfte und Drehmomente (in Bezug auf den Ursprung des Koordinatensystems) im Körper durch gegeben werden

::

Kinematics: Deformierung und Bewegung

Eine Änderung in der Konfiguration eines Kontinuum-Körpers läuft auf eine Versetzung hinaus. Die Versetzung eines Körpers hat zwei Bestandteile: eine Versetzung des starren Körpers und eine Deformierung. Eine Versetzung des starren Körpers besteht aus einer gleichzeitigen Übersetzung und Folge des Körpers, ohne seine Gestalt oder Größe zu ändern. Deformierung bezieht die Änderung in der Gestalt und/oder Größe des Körpers von einer anfänglichen oder unverformten Konfiguration bis eine aktuelle oder verformte Konfiguration (Abbildung 2) ein.

Die Bewegung eines Kontinuum-Körpers ist eine dauernde Zeitfolge von Versetzungen. So wird der materielle Körper verschiedene Konfigurationen zu verschiedenen Zeiten besetzen, so dass eine Partikel eine Reihe von Punkten im Raum besetzt, die einen pathline beschreiben.

Es gibt Kontinuität während der Deformierung oder Bewegung eines Kontinuum-Körpers im Sinn dass:

• Die materiellen Punkte, die eine geschlossene Kurve in jedem Moment bilden, werden immer eine geschlossene Kurve in jeder nachfolgenden Zeit bilden.
• Die materiellen Punkte, die eine geschlossene Oberfläche in jedem Moment bilden, werden immer eine geschlossene Oberfläche in jeder nachfolgenden Zeit bilden, und die Sache innerhalb der geschlossenen Oberfläche wird immer innerhalb bleiben.

Es ist günstig, eine Bezugskonfiguration oder anfängliche Bedingung zu identifizieren, von der in allen nachfolgenden Konfigurationen Verweise angebracht wird. Die Bezugskonfiguration braucht nicht diejenige zu sein, die der Körper jemals besetzen wird. Häufig wird die Konfiguration daran als die Bezugskonfiguration betrachtet. Die Bestandteile des Positionsvektoren einer Partikel, die in Bezug auf die Bezugskonfiguration genommen ist, werden das Material oder die Bezugskoordinaten genannt.

Wenn

man die Deformierung oder Bewegung von Festkörpern oder den Fluss von Flüssigkeiten analysiert, ist es notwendig, die Folge oder Evolution von Konfigurationen im Laufe der Zeit zu beschreiben. Eine Beschreibung für die Bewegung wird in Bezug auf die materiellen oder Verweisungskoordinaten, genannt materielle Beschreibung oder Beschreibung von Lagrangian gemacht.

Beschreibung von Lagrangian

In der Beschreibung von Lagrangian werden die Position und physikalischen Eigenschaften der Partikeln in Bezug auf die materiellen oder Verweisungskoordinaten und Zeit beschrieben. In diesem Fall ist die Bezugskonfiguration die Konfiguration daran. Ein Beobachter-Stehen im Verweisungsbezugssystem beobachtet die Änderungen in der Position und den physikalischen Eigenschaften, als sich der materielle Körper im Raum bewegt, als Zeit fortschreitet. Die erhaltenen Ergebnisse sind der Wahl der anfänglichen Zeit und Bezugskonfiguration unabhängig. Diese Beschreibung wird normalerweise in der festen Mechanik verwendet.

In der Beschreibung von Lagrangian wird die Bewegung eines Kontinuum-Körpers durch die kartografisch darstellende Funktion (Abbildung 2), ausgedrückt

:

der ist der anfänglichen Konfiguration auf die aktuelle Konfiguration, das Geben einer geometrischen Ähnlichkeit zwischen ihnen, d. h. des Gebens des Positionsvektoren kartografisch darzustellen, den eine Partikel, mit einem Positionsvektoren in der unverformten Konfiguration oder Bezugskonfiguration, in der aktuellen oder verformten Konfiguration in der Zeit besetzen wird. Die Bestandteile werden die Raumkoordinaten genannt.

Physische und kinematische Eigenschaften, d. h. thermodynamische Eigenschaften und Geschwindigkeit, die beschreiben oder Eigenschaften des materiellen Körpers charakterisieren, werden als dauernde Funktionen der Position und Zeit ausgedrückt, d. h.

Die materielle Ableitung jedes Eigentums eines Kontinuums, das ein Skalar, Vektor oder Tensor sein kann, ist die Zeitrate der Änderung dieses Eigentums für eine spezifische Gruppe von Partikeln des bewegenden Kontinuum-Körpers. Die materielle Ableitung ist auch bekannt als die wesentliche Ableitung, oder comoving Ableitung oder convective Ableitung. Es kann als die Rate gedacht werden, an der sich das Eigentum, wenn gemessen, durch einen Beobachter ändert, der mit dieser Gruppe von Partikeln reist.

In der Beschreibung von Lagrangian ist die materielle Ableitung dessen einfach die partielle Ableitung in Bezug auf die Zeit, und der Positionsvektor wird festgehalten, weil es sich mit der Zeit nicht ändert. So haben wir

:

Die sofortige Position ist ein Eigentum einer Partikel, und seine materielle Ableitung ist die sofortige Geschwindigkeit der Partikel. Deshalb wird das Geschwindigkeitsfeld des Kontinuums durch gegeben

:

Ähnlich wird das Beschleunigungsfeld durch gegeben

:

Die Kontinuität in der Beschreibung von Lagrangian wird durch die räumliche und zeitliche Kontinuität ausgedrückt, von der Bezugskonfiguration bis die aktuelle Konfiguration der materiellen Punkte kartografisch darzustellen. Alle physischen Mengen, die das Kontinuum charakterisieren, werden dieser Weg beschrieben. In diesem Sinn wird die Funktion und einzeln geschätzt und dauernd, mit dauernden Ableitungen in Bezug auf die Zeit und Raum zu beliebiger Ordnung, ist gewöhnlich zum zweiten oder dritten erforderlich.

Beschreibung von Eulerian

Kontinuität berücksichtigt das Gegenteil, umgekehrt zu verfolgen, wo die Partikel, die zurzeit daran gelegen ist, in der Initiale oder Verweise angebrachten Konfiguration gelegen wurde. In diesem Fall wird die Beschreibung der Bewegung in Bezug auf die Raumkoordinaten gemacht, in welchem Fall die Raumbeschreibung oder Beschreibung von Eulerian genannt wird, d. h. die aktuelle Konfiguration als die Bezugskonfiguration genommen wird.

Die Eulerian Beschreibung, die von D'Alembert eingeführt ist, konzentriert sich auf die aktuelle Konfiguration, Aufmerksamkeit darauf lenkend, was an einem festen Punkt im Raum vorkommt, als Zeit fortschreitet, anstatt Aufmerksamkeit auf individuelle Partikeln zu lenken, als sie sich durch die Zeit und Raum bewegen. Diese Annäherung wird in der Studie der Flüssigkeitsströmung günstig angewandt, wo das kinematische Eigentum vom größten Interesse die Rate ist, an der Änderung aber nicht die Gestalt des Körpers von Flüssigkeit in einer Bezugszeit stattfindet.

Mathematisch wird die Bewegung eines Kontinuums mit der Beschreibung von Eulerian durch die kartografisch darstellende Funktion ausgedrückt

:

der eine Nachforschung der Partikel zur Verfügung stellt, die jetzt die Position in der aktuellen Konfiguration zu seiner ursprünglichen Position in der anfänglichen Konfiguration besetzt.

Eine notwendige und genügend Bedingung für diese umgekehrte Funktion zu bestehen besteht darin, dass die Determinante der Jacobian Matrix, die häufig auf einfach als Jacobian verwiesen ist, von der Null verschieden sein sollte. So,

:

In der Beschreibung von Eulerian werden die physikalischen Eigenschaften als ausgedrückt

:

wo die funktionelle Form in der Beschreibung von Lagrangian nicht dasselbe als die Form in der Beschreibung von Eulerian ist.

Die materielle Ableitung, mit der Kettenregel, ist dann

:

Der erste Begriff auf der rechten Seite dieser Gleichung gibt den Anzeigenrabattpreis für ortsansässige Gewerbetreibende der Änderung des Eigentums, das an der Position vorkommt. Der zweite Begriff der Rechte ist die convective Rate der Änderung und drückt den Beitrag der Partikel-Ändern-Position im Raum (Bewegung) aus.

Die Kontinuität in der Beschreibung von Eulerian wird durch die räumliche und zeitliche Kontinuität und dauernden differentiability des Geschwindigkeitsfeldes ausgedrückt. Alle physischen Mengen werden dieser Weg in jedem Moment der Zeit in der aktuellen Konfiguration als eine Funktion der Vektor-Position definiert.

Versetzungsfeld

Der Vektor, der sich den Positionen einer Partikel in der unverformten Konfiguration und deformierten Konfiguration anschließt, wird den Versetzungsvektoren, in der Beschreibung von Lagrangian, oder in der Beschreibung von Eulerian genannt.

Ein Versetzungsfeld ist ein Vektorfeld aller Versetzungsvektoren für alle Partikeln im Körper, der die verformte Konfiguration mit der unverformten Konfiguration verbindet. Es ist günstig, die Analyse der Deformierung oder Bewegung eines Kontinuum-Körpers in Bezug auf das Versetzungsfeld Im Allgemeinen zu tun, das Versetzungsfeld wird in Bezug auf die materiellen Koordinaten als ausgedrückt

:

oder in Bezug auf die Raumkoordinaten als

:

wo die Richtungskosinus zwischen den materiellen und räumlichen Koordinatensystemen mit Einheitsvektoren und beziehungsweise sind. So

:

und die Beziehung dazwischen und wird dann durch gegeben

:

Das Wissen davon

:

dann

:

Es ist üblich, die Koordinatensysteme für die unverformten und verformten Konfigurationen superaufzuerlegen, der hinausläuft, und die Richtungskosinus Deltas von Kronecker werden, d. h.

:

So haben wir

:oder in Bezug auf die Raumkoordinaten als:

Regelung von Gleichungen

Kontinuum-Mechanik befasst sich mit dem Verhalten von Materialien, denen als dauernd für die bestimmte Länge und zeitlichen Rahmen näher gekommen werden kann. Die Gleichungen, die die Mechanik solcher Materialien regeln, schließen die Gleichgewicht-Gesetze für die Masse, den Schwung und die Energie ein. Kinematische Beziehungen und bestimmende Gleichungen sind erforderlich, um das System der Regelung von Gleichungen zu vollenden. Physische Beschränkungen der Form der bestimmenden Beziehungen können durch das Verlangen dass das zweite Gesetz der Thermodynamik Beschränkung angewandt werden, unter allen Bedingungen zufrieden sein. In der Kontinuum-Mechanik von Festkörpern ist das zweite Gesetz der Thermodynamik zufrieden, ob die Clausius-Duhem-Form der Wärmegewicht-Ungleichheit zufrieden ist.

Die Gleichgewicht-Gesetze drücken die Idee aus, dass die Rate der Änderung einer Menge (Masse, Schwung, Energie) in einem Volumen aus drei Ursachen entstehen muss:

1. die physische Menge selbst fließt durch die Oberfläche, die das Volumen, begrenzt
2. es gibt eine Quelle der physischen Menge auf der Oberfläche des Volumens, oder/und,
3. es gibt eine Quelle der physischen Menge innerhalb des Volumens.

Lassen Sie, der Körper (eine offene Teilmenge des Euklidischen Raums) zu sein und zu lassen, seine Oberfläche (die Grenze) zu sein.

Lassen Sie die Bewegung von materiellen Punkten im Körper durch die Karte beschrieben werden

:

\mathbf {x} = \boldsymbol {\\chi} (\mathbf {X}) = \mathbf {x} (\mathbf {X})

</Mathematik>

wo die Position eines Punkts in der anfänglichen Konfiguration ist und die Position desselben Punkts in der verformten Konfiguration ist.

Der Deformierungsanstieg wird durch gegeben

:

\boldsymbol {F} = \frac {\\teilweiser \mathbf {x}} {\\teilweiser \mathbf {X}} = \boldsymbol {\\mathbf {x}} \cdot \nabla ~.

</Mathematik>

Gleichgewicht-Gesetze

Lassen Sie, eine physische Menge zu sein, die durch den Körper fließt. Lassen Sie, Quellen auf der Oberfläche des Körpers zu sein und zu lassen, Quellen innerhalb des Körpers zu sein. Lassen Sie, die äußere zur Oberfläche normale Einheit zu sein. Lassen Sie, die Geschwindigkeit der physischen Partikeln zu sein, die die physische Menge tragen, die fließt. Lassen Sie außerdem die Geschwindigkeit, an der sich die begrenzende Oberfläche bewegt (in der Richtung) sein.

Dann können Gleichgewicht-Gesetze in der allgemeinen Form ausgedrückt werden

:

\cfrac {d} {dt }\\hat [\int_ {\\Omega} f (\mathbf {x}, t) ~ \text {dV }\\Recht] = verlassen

\int_ {\\teilweiser \Omega} f (\mathbf {x}, t) [u_n (\mathbf {x}, t) - \mathbf {v} (\mathbf {x}, t) \cdot\mathbf {n} (\mathbf {x}, t)] ~ \text {dA} +

\int_ {\\teilweiser \Omega} g (\mathbf {x}, t) ~ \text {dA} + \int_ {\\Omega} h (\mathbf {x}, t) ~ \text {dV} ~.

</Mathematik>

Bemerken Sie, dass die Funktionen, und Skalar geschätzt, Vektor geschätzt, oder Tensor geschätzt - abhängig von der physischen Menge sein können, mit der sich die Gleichgewicht-Gleichung befasst. Wenn es innere Grenzen im Körper gibt, müssen Sprung-Diskontinuitäten auch in den Gleichgewicht-Gesetzen angegeben werden.

Wenn wir den Gesichtspunkt von Lagrangian nehmen, kann es gezeigt werden, dass die Gleichgewicht-Gesetze der Masse, des Schwungs und der Energie für einen Festkörper als geschrieben werden können

:

{\

\begin {richten }\aus

\dot {\\rho} + \rho ~\boldsymbol {\\nabla} \cdot \mathbf {v} & = 0

& & \qquad\text {Gleichgewicht der Masse} \\

\rho ~\dot {\\mathbf {v}} - \boldsymbol {\\nabla} \cdot \boldsymbol {\\Sigma} - \rho ~\mathbf {b} & = 0

& & \qquad\text {Gleichgewicht des geradlinigen Schwungs} \\

\boldsymbol {\\Sigma} & = \boldsymbol {\\Sigma} ^T

& & \qquad\text {Gleichgewicht des winkeligen Schwungs} \\

\rho ~\dot {e} - \boldsymbol {\\Sigma} :(\boldsymbol {\\nabla }\\mathbf {v}) + \boldsymbol {\\nabla} \cdot \mathbf {q} - \rho~s & = 0

& & \qquad\text {Gleichgewicht von Energy. }\

\end {richten }\aus

}\

</Mathematik>

In den obengenannten Gleichungen ist die Massendichte (Strom), ist die materielle Zeitableitung dessen, ist die Partikel-Geschwindigkeit, ist die materielle Zeitableitung dessen, ist der Spannungstensor von Cauchy, ist die Körperkraft-Dichte, ist die innere Energie pro Einheitsmasse, ist die materielle Zeitableitung dessen, ist der Hitzefluss-Vektor, und ist eine Energiequelle pro Einheitsmasse.

In Bezug auf die Bezugskonfiguration können die Gleichgewicht-Gesetze als geschrieben werden

: {\ \begin {richten }\aus

\rho ~\det (\boldsymbol {F}) - \rho_0 &= 0 & & \qquad \text {Gleichgewicht der Masse} \\

\rho_0 ~\ddot {\\mathbf {x}} - \boldsymbol {\\nabla} _ {\\circ }\\cdot\boldsymbol {P} ^T-\rho_0 ~\mathbf {b} & = 0 & &

\qquad \text {Gleichgewicht des geradlinigen Schwungs} \\

\boldsymbol {F }\\cdot\boldsymbol {P} ^T & = \boldsymbol {P }\\cdot\boldsymbol {F} ^T & &

\qquad \text {Gleichgewicht des winkeligen Schwungs} \\

\rho_0 ~\dot {e} - \boldsymbol {P} ^T:\dot {\\boldsymbol {F}} + \boldsymbol {\\nabla} _ {\\circ }\\cdot\mathbf {q} - \rho_0~s & = 0

& & \qquad\text {Gleichgewicht von Energy.}

\end {richten }\aus }\ </Mathematik>

Im obengenannten, ist der erste Spannungstensor von Piola-Kirchhoff, und ist die Massendichte in der Bezugskonfiguration. Der erste Spannungstensor von Piola-Kirchhoff ist mit dem Spannungstensor von Cauchy durch verbunden

:

\boldsymbol {P} = J ~\boldsymbol {\\Sigma }\\cdot\boldsymbol {F} ^ {-T }\

~ \text {wo} ~ J = \det (\boldsymbol {F})

</Mathematik>

Wir können den nominellen Spannungstensor wechselweise definieren, der das Umstellen des ersten solchen Spannungstensors von Piola-Kirchhoff dass ist

:

\boldsymbol {N} = \boldsymbol {P} ^T = J ~\boldsymbol {F} ^ {-1 }\\cdot\boldsymbol {\\Sigma} ~.

</Mathematik>

Dann werden die Gleichgewicht-Gesetze

: {\ \begin {richten }\aus \rho ~\det (\boldsymbol {F}) - \rho_0 &= 0 & & \qquad \text {Gleichgewicht der Masse} \\

\rho_0 ~\ddot {\\mathbf {x}} - \boldsymbol {\\nabla} _ {\\circ }\\cdot\boldsymbol {N}-\rho_0 ~\mathbf {b} & = 0 & &

\qquad \text {Gleichgewicht des geradlinigen Schwungs} \\

\boldsymbol {F }\\cdot\boldsymbol {N} & = \boldsymbol {N} ^T\cdot\boldsymbol {F} ^T & &

\qquad \text {Gleichgewicht des winkeligen Schwungs} \\

\rho_0 ~\dot {e} - \boldsymbol {N}:\dot {\\boldsymbol {F}} + \boldsymbol {\\nabla} _ {\\circ }\\cdot\mathbf {q} - \rho_0~s & = 0

& & \qquad\text {Gleichgewicht von Energy.} \end {richten }\aus }\ </Mathematik>

Die Maschinenbediener in den obengenannten Gleichungen werden als solch dass definiert

:

\boldsymbol {\\nabla} \mathbf {v} = \sum_ {ich, j = 1} ^3 \frac {\\teilweiser v_i} {\\teilweiser x_j }\\mathbf {e} _i\otimes\mathbf {e} _j =

v_ {ich, j }\\mathbf {e} _i\otimes\mathbf {e} _j ~; ~~

\boldsymbol {\\nabla} \cdot \mathbf {v} = \sum_ {i=1} ^3 \frac {\\teilweiser v_i} {\\teilweiser x_i} = v_ {ich, ich} ~; ~~

\boldsymbol {\\nabla} \cdot \boldsymbol {S} = \sum_ {ich, j=1} ^3 \frac {\\teilweiser S_ {ij}} {\\teilweiser x_j} ~ \mathbf {e} _i

= \sigma_ {ij, j} ~ \mathbf {e} _i ~.

</Mathematik>

wo ein Vektorfeld ist, ein Tensor-Feld der zweiten Ordnung ist, und die Bestandteile einer orthonormalen Basis in der aktuellen Konfiguration sind. Außerdem

:

\boldsymbol {\\nabla} _ {\\circ} \mathbf {v} = \sum_ {ich, j = 1} ^3 \frac {\\teilweiser v_i} {\\teilweiser X_j }\\mathbf {E} _i\otimes\mathbf {E} _j =

v_ {ich, j }\\mathbf {E} _i\otimes\mathbf {E} _j ~; ~~

\boldsymbol {\\nabla} _ {\\circ }\\cdot\mathbf {v} = \sum_ {i=1} ^3 \frac {\\teilweiser v_i} {\\teilweiser X_i} = v_ {ich, ich} ~; ~~

\boldsymbol {\\nabla} _ {\\circ }\\cdot\boldsymbol {S} = \sum_ {ich, j=1} ^3 \frac {\\teilweiser S_ {ij}} {\\teilweiser X_j} ~ \mathbf {E} _i = S_ {ij, j} ~ \mathbf {E} _i

</Mathematik>

wo ein Vektorfeld ist, ein Tensor-Feld der zweiten Ordnung ist, und die Bestandteile einer orthonormalen Basis in der Bezugskonfiguration sind.

Das Skalarprodukt wird als definiert

:

\boldsymbol {Ein}:\boldsymbol {B} = \sum_ {ich, j=1} ^3 A_ {ij} ~B_ {ij} = Spur (\boldsymbol {Ein }\\boldsymbol {B} ^T) ~.

</Mathematik>

Clausius-Duhem Ungleichheit

Die Clausius-Duhem Ungleichheit kann verwendet werden, um das zweite Gesetz der Thermodynamik für Elastisch-Plastikmaterialien auszudrücken. Diese Ungleichheit ist eine Behauptung bezüglich der Nichtumkehrbarkeit von natürlichen Prozessen besonders, wenn Energieverschwendung beteiligt wird.

Gerade wie in den Gleichgewicht-Gesetzen in der vorherigen Abteilung nehmen wir an, dass es einen Fluss einer Menge, eine Quelle der Menge und eine innere Dichte der Menge pro Einheitsmasse gibt. Die Menge von Interesse ist in diesem Fall das Wärmegewicht. So nehmen wir an, dass es einen Wärmegewicht-Fluss, eine Wärmegewicht-Quelle und eine innere Wärmegewicht-Dichte pro Einheitsmasse im Gebiet von Interesse gibt.

Lassen Sie, solch ein Gebiet zu sein und zu lassen, seine Grenze zu sein. Dann stellt das zweite Gesetz der Thermodynamik fest, dass die Rate der Zunahme in diesem Gebiet größer oder gleich der Summe davon ist, das (als ein Fluss oder von inneren Quellen) und die Änderung der inneren Wärmegewicht-Dichte wegen des materiellen Fließens in und aus dem Gebiet geliefert ist.

Lassen Sie Bewegung mit einer Geschwindigkeit und lassen Sie Partikeln innen Geschwindigkeiten haben. Lassen Sie, die Einheit äußer normal zur Oberfläche zu sein. Lassen Sie, die Dichte der Sache im Gebiet zu sein, der Wärmegewicht-Fluss an der Oberfläche zu sein, und die Wärmegewicht-Quelle pro Einheitsmasse zu sein.

Dann kann die Wärmegewicht-Ungleichheit als geschrieben werden

:

\cfrac {d} {dt }\\ist (\int_ {\\Omega} \rho ~\eta ~\text {dV }\\Recht) \ge abgereist

\int_ {\\teilweiser \Omega} \rho ~\eta ~ (u_n - \mathbf {v }\\cdot\mathbf {n}) ~ \text {dA} +

\int_ {\\teilweiser \Omega} \bar {q} ~ \text {dA} + \int_ {\\Omega} \rho~r ~\text {dV}.

</Mathematik>

Der Skalarwärmegewicht-Fluss kann mit dem Vektorfluss an der Oberfläche durch die Beziehung verbunden sein. Unter der Annahme zusätzlich isothermischer Bedingungen haben wir

:

\boldsymbol {\\psi} (\mathbf {x}) = \cfrac {\\mathbf {q} (\mathbf {x})} {T} ~; ~~ r = \cfrac {s} {T }\

</Mathematik>

wo der Hitzefluss-Vektor ist, eine Energiequelle pro Einheitsmasse ist, und die absolute Temperatur eines materiellen Punkts an in der Zeit ist.

Wir haben dann die Clausius-Duhem Ungleichheit in der integrierten Form:

: {\ \cfrac {d} {dt }\\ist (\int_ {\\Omega} \rho ~\eta ~\text {dV }\\Recht) \ge abgereist

\int_ {\\teilweiser \Omega} \rho ~\eta ~ (u_n - \mathbf {v }\\cdot\mathbf {n}) ~ \text {dA} -

\int_ {\\teilweiser \Omega} \cfrac {\\mathbf {q }\\cdot\mathbf {n}} {T} ~ \text {dA} + \int_\Omega \cfrac {\\rho~s} {T} ~ \text {dV}.

}\ </Mathematik>

Wir können zeigen, dass die Wärmegewicht-Ungleichheit in der Differenzialform als geschrieben werden kann

: {\

\rho ~\dot {\\eta} \ge - \boldsymbol {\\nabla} \cdot \left (\cfrac {\\mathbf {q}} {T }\\Recht)

+ \cfrac {\\rho~s} {T}.

}\ </Mathematik>

In Bezug auf die Betonung von Cauchy und die innere Energie kann die Clausius-Duhem Ungleichheit als geschrieben werden

: {\

\rho ~ (\dot {e} - T ~\dot {\\eta}) - \boldsymbol {\\Sigma}:\boldsymbol {\\nabla }\\mathbf {v} \le

- \cfrac {\\mathbf {q }\\cdot\boldsymbol {\\nabla} T\{T}.

}\ </Mathematik>

Anwendungen

• Mechanik
• Feste Mechanik
• Flüssige Mechanik
• Technik
• Maschinenbau
• Hoch- und Tiefbau
• Raumfahrttechnik

Siehe auch

• Begrenzter Deformierungstensor
• Begrenzte Beanspruchungstheorie
• Betonung (Physik)
• Betonung misst
• Hyperelastisches Material
• Cauchy elastisches Material
• Gleichung des Staates
• Theorie der Elastizität
• Der Grundsatz von Bernoulli
• Peridynamics (eine nichtlokale Kontinuum-Theorie, die zu Integralgleichungen führt)
• Tensor-Rechnung
• Krummlinige Koordinaten
• Tensor-Ableitung (Kontinuum-Mechanik)
• Beweglicher Zellautomat
• Lagrangian und Spezifizierung von Eulerian des Fluss-Feldes

Referenzen