In der Volkswirtschaft ist die Kurve von Lorenz eine grafische Darstellung der kumulativen Vertriebsfunktion der empirischen Wahrscheinlichkeitsvermögensverteilung; es ist ein Graph, das Verhältnis des Vertriebs zeigend, der durch den Boden y % der Werte angenommen ist. Es wird häufig verwendet, um Einkommen-Vertrieb zu vertreten, wo es für den Boden x % von Haushalten zeigt, welchen Prozentsatz y % des Gesamteinkommens sie haben. Der Prozentsatz von Haushalten wird auf der X-Achse, dem Prozentsatz des Einkommens auf der Y-Achse geplant. Es kann auch verwendet werden, um Vertrieb des Vermögens zu zeigen. In solchem Gebrauch denken viele Wirtschaftswissenschaftler, dass es ein Maß der sozialen Ungleichheit ist. Es wurde von Max O. Lorenz 1905 entwickelt, um Ungleichheit des Reichtum-Vertriebs zu vertreten.

Das Konzept ist im Beschreiben der Ungleichheit unter der Größe von Personen in der Ökologie, und in Studien der Artenvielfalt nützlich, wo das kumulative Verhältnis der Arten gegen das kumulative Verhältnis von Personen geplant wird. Es ist auch im Geschäftsmodellieren nützlich: Z.B, in der Verbraucherfinanz, um die wirkliche Kriminalität Y % der X % von Leuten mit schlechtesten vorausgesagten Risikohunderten zu messen.

Erklärung

Jeder Punkt auf der Kurve von Lorenz vertritt eine Behauptung wie "der Boden 20 % aller Haushalte haben 10 % des Gesamteinkommens." (sieh Grundsatz von Pareto). Ein vollkommen gleicher Einkommen-Vertrieb würde derjenige sein, in dem jede Person dasselbe Einkommen hat. In diesem Fall würde der Boden "N" % der Gesellschaft immer "N" % des Einkommens haben. Das kann durch die Gerade "y" = "x" gezeichnet werden; genannt die "Linie der vollkommenen Gleichheit."

Im Vergleich würde ein vollkommen ungleicher Vertrieb derjenige sein, in dem eine Person das ganze Einkommen hat und jeder sonst niemanden hat. In diesem Fall würde die Kurve an "y" = 0 für den ganzen "x", ich = 1 zu n sein, die in der nichtabnehmenden Ordnung mit einem Inhaltsverzeichnis versehen werden (y  y), ist die Kurve von Lorenz die dauernde piecewise geradlinige Funktion, die die Punkte (F, L), ich = 0 zu n, wo F = 0, L = 0, und weil ich = 1 zu n verbindet:

Für eine getrennte Wahrscheinlichkeitsfunktion f (y), lassen Sie y, ich = 1 zu n, die Punkte mit in der zunehmenden Ordnung mit einem Inhaltsverzeichnis versehenen Nichtnullwahrscheinlichkeiten zu sein (y < y). Die Kurve von Lorenz ist die dauernde piecewise geradlinige Funktion, die die Punkte (F, L), ich = 0 zu n, wo F = 0, L = 0, und weil ich = 1 zu n verbindet:

Für eine Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion f (x) mit der kumulativen Vertriebsfunktion F (x) wird durch die Kurve von Lorenz L (F (x)) gegeben:

Für eine kumulative Vertriebsfunktion F (x) mit dem Gegenteil x (F) wird durch die Kurve von Lorenz L (F) gegeben:

Das Gegenteil x (F) kann nicht bestehen, weil die kumulative Vertriebsfunktion Zwischenräume von unveränderlichen Werten hat. Jedoch kann die vorherige Formel noch durch die Generalisierung der Definition von x (F) gelten:

:x (F) = inf {y: F (y) ≥ F }\

Für ein Beispiel einer Kurve von Lorenz, sieh Vertrieb von Pareto.

Eigenschaften

Eine Kurve von Lorenz fängt immer an (0,0) an und endet an (1,1).

Die Kurve von Lorenz wird nicht definiert, wenn der bösartige vom Wahrscheinlichkeitsvertrieb Null oder unendlich ist.

Die Kurve von Lorenz für einen Wahrscheinlichkeitsvertrieb ist eine dauernde Funktion. Jedoch können Kurven von Lorenz, die diskontinuierliche Funktionen vertreten, als die Grenze von Kurven von Lorenz des Wahrscheinlichkeitsvertriebs, der Linie der vollkommenen Ungleichheit gebaut werden, die ein Beispiel ist.

Die Information in einer Kurve von Lorenz kann durch den Koeffizienten von Gini und den Asymmetrie-Koeffizienten von Lorenz zusammengefasst werden.

Wenn die Variable, die wird misst, negative Werte, die Kurve von Lorenz nicht nehmen kann:

• kann sich über der Linie der vollkommenen Gleichheit, nicht erheben
• kann unter der Linie der vollkommenen Ungleichheit, nicht sinken
• nimmt und konvex zu.

Die Kurve von Lorenz ist invariant unter dem positiven Schuppen. Wenn X eine zufällige Variable ist, für jede positive Zahl c die zufällige Variable c X lässt sich denselben Lorenz wie X biegen.

Die Kurve von Lorenz wird zweimal, einmal über F = 0.5 und einmal über L = 0.5, durch die Ablehnung geschnipst. Wenn X eine zufällige Variable mit Lorenz Kurve-L (F) ist, dann −X lässt sich den Lorenz biegen:

: L = 1 − L (1 − F)

Die Kurve von Lorenz wird durch Übersetzungen so dass die Gleichheitslücke F &minus geändert; L ändert sich (F) ins Verhältnis zum Verhältnis der ursprünglichen und übersetzten Mittel. Wenn X eine zufällige Variable mit einem Lorenz ist, biegen L (F) und bedeuten μ, dann für jeden unveränderlichen c  − X + ließ c eine Kurve von Lorenz definieren durch:

Weil ein kumulativer Vertrieb F (x) mit Mittel-μ und (verallgemeinertem) Gegenteil x (F), dann für jeden F mit 0 &lt fungiert; F < 1:

• Wenn die Kurve von Lorenz differentiable ist:

• Wenn die Kurve von Lorenz zweimal differentiable ist, dann besteht die Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion f (x) an diesem Punkt und:

• Wenn L (F) unaufhörlich differentiable ist, dann ist die Tangente von L (F) zur Linie der vollkommenen Gleichheit am Punkt F (μ) parallel. Das ist auch der Punkt an der die Gleichheitslücke F − L ist (F), die vertikale Entfernung zwischen der Kurve von Lorenz und der Linie der vollkommenen Gleichheit, am größten. Die Größe der Lücke ist der Hälfte der Verhältnismittelabweichung gleich:

Siehe auch

• Vertrieb (Volkswirtschaft)
• Vermögensverteilung
• Sozialfürsorge-Volkswirtschaft
• Einkommen-Ungleichheitsmetrik
• Koeffizient von Gini
• Index von Robin Hood
• ROC Analyse
• Soziale Sozialfürsorge (Staatswissenschaft)
• Wirtschaftsungleichheit
• Das Gesetz von Zipf
• Vertrieb von Pareto
• Mittelabweichung

Weiterführende Literatur

Links

• WIID: Welteinkommen-Ungleichheitsdatenbank, die umfassendste Informationsquelle auf der Ungleichheit, die durch den BREITEREN (Weltinstitut für die Entwicklungswirtschaftforschung, den Teil der Universität der Vereinten Nationen) gesammelt ist
• glcurve: Modul von Stata, um Kurve von Lorenz zu planen (Typ "findit glcurve" oder "ssc installieren glcurve" in Stata, der schnell ist, um zu installieren)
• Die freie Erweiterung zu STATA, um Ungleichheit und Armut zu schätzen, misst
• Gratis online schätzt Software (Rechenmaschine) den Gini Koeffizienten, plant die Kurve von Lorenz, und schätzt viele andere Maßnahmen der Konzentration für jeden dataset
• Freie Rechenmaschine: Herunterladbare und Online-Schriften (Python und Lua) für Atkinson, Gini und Ungleichheit von Hoover
• Benutzer der R Datenanalyse-Software können das "ineq" Paket installieren, das Berechnung einer Vielfalt von Ungleichheitsindizes einschließlich Gini, Atkinsons, Theil berücksichtigt.
• Ein MATLAB Ungleichheitspaket, einschließlich des Codes, für Gini, Atkinson, Indizes von Theil zu schätzen und für die Kurve von Lorenz zu planen. Viele Beispiele sind verfügbar.
• Ein ganzer handhout� über die Kurve von Lorenz einschließlich verschiedener Anwendungen, einschließlich eines Übertreffen Spreadsheets, das Lorenz grafisch darstellt, biegt sich und Koeffizienten von Gini sowie Koeffizienten der Schwankung berechnend.
• LORENZ 3.0 ist ein Notizbuch von Mathematica, die Probe ziehen, biegt Lorenz und berechnet Koeffizienten von Gini und Asymmetrie-Koeffizienten von Lorenz von Daten in einer Übertreffen Platte.