In der Mathematik ist projektive Geometrie die Studie von geometrischen Eigenschaften, die invariant unter projektiven Transformationen sind. Das bedeutet, dass, im Vergleich zur elementaren Geometrie, projektive Geometrie eine verschiedene Einstellung, projektiven Raum und einen auswählenden Satz von grundlegenden geometrischen Konzepten hat. Die grundlegenden Intuitionen sind, dass projektiver Raum mehr Punkte hat als Euklidischer Raum, in einer gegebenen Dimension, und dass geometrische Transformationen erlaubt werden, die die Extrapunkte (genannt "Punkte an der Unendlichkeit") zu traditionellen Punkten, und umgekehrt bewegen.

In der projektiven Geometrie bedeutungsvolle Eigenschaften werden durch diese neue Idee von der Transformation respektiert, die in seinen Effekten radikaler ist als expressible durch eine Transformationsmatrix und Übersetzungen (die affine Transformationen). Das erste Problem für geometers ist, welche geometrische Sprache zur neuartigen Situation entsprechend ist? Es ist nicht möglich, über Winkel in der projektiven Geometrie zu sprechen, wie es in der Euklidischen Geometrie ist, weil Winkel ein Beispiel eines Konzepts nicht invariant unter projektiven Transformationen ist, wie klar in der Perspektivezeichnung gesehen wird. Eine Quelle für die projektive Geometrie war tatsächlich die Theorie der Perspektive. Ein anderer Unterschied zur elementaren Geometrie ist der Weg, auf den, wie man sagen kann, sich parallele Linien in einem Punkt an der Unendlichkeit treffen, einmal wird das Konzept in die Begriffe der projektiven Geometrie übersetzt. Wieder hat dieser Begriff eine intuitive Basis wie Eisenbahnspuren, die sich am Horizont in einer Perspektivezeichnung treffen. Sieh projektives Flugzeug für die Grundlagen der projektiven Geometrie in zwei Dimensionen.

Während die Ideen verfügbare frühere, projektive Geometrie waren, war hauptsächlich eine Entwicklung des neunzehnten Jahrhunderts. Ein riesiger Körper der Forschung hat es das am meisten vertretende Feld der Geometrie dieser Zeit gemacht. Das war die Theorie des komplizierten projektiven Raums, seitdem die Koordinaten verwendet haben (homogene Koordinaten) waren komplexe Zahlen. Mehrere Hauptufer der abstrakteren Mathematik (einschließlich der invariant Theorie, der italienischen Schule der algebraischen Geometrie und des Erlangen Programmes von Felix Klein, das zur Studie der klassischen Gruppen führt), haben auf projektive Geometrie gebaut. Es war auch ein Thema mit einer Vielzahl von Praktikern um seinetwillen unter der Schlagzeile der synthetischen Geometrie. Ein anderes Feld, das aus axiomatischen Studien der projektiven Geometrie erschienen ist, ist begrenzte Geometrie.

Das Feld der projektiven Geometrie wird selbst jetzt in viele Forschungsteilfelder geteilt, von denen zwei Beispiele projektive algebraische Geometrie (die Studie von projektiven Varianten) und projektiver Differenzialgeometrie (die Studie des Differenzials invariants von den projektiven Transformationen) sind.

Übersicht

Projektive Geometrie ist eine elementare nichtmetrische Form der Geometrie, bedeutend, dass es auf einem Konzept der Entfernung nicht basiert. In zwei Dimensionen beginnt es mit der Studie von Konfigurationen von Punkten und Linien. Dass es tatsächlich etwas geometrisches Interesse an dieser spärlichen Einstellung gibt, wurde gesehen, weil projektive Geometrie von Desargues und anderen in ihrer Erforschung der Grundsätze der Perspektivekunst entwickelt wurde. In höheren dimensionalen Räumen dort werden als Hyperflugzeuge betrachtet (die sich immer treffen), und andere geradlinige Subräume, die den Grundsatz der Dualität ausstellen. Die einfachste Illustration der Dualität ist im projektiven Flugzeug, wo die Behauptungen "zwei verschiedene Punkte beschließen, dass eine einzigartige Linie" (d. h. die Linie durch sie) und "zwei verschiedenen Linien beschließen, dass ein einzigartiger Punkt" (d. h. ihr Punkt der Kreuzung) dieselbe Struktur wie Vorschläge zeigen. Projektive Geometrie kann auch als eine Geometrie von Aufbauten mit einem Haarlineal allein gesehen werden. Da projektive Geometrie Kompass-Aufbauten ausschließt, gibt es keine Kreise, keine Winkel, keine Maße, keine Parallelen und kein Konzept dessen. Es wurde begriffen, dass die Lehrsätze, die wirklich in der projektiven Geometrie halten, einfachere Behauptungen sind. Zum Beispiel sind die verschiedenen konischen Abteilungen die ganze Entsprechung in (der komplizierten) projektiven Geometrie, und einige Lehrsätze über Kreise können als spezielle Fälle dieser allgemeinen Lehrsätze gesehen werden.

Am Anfang des 19. Jahrhunderts die Arbeit von Poncelet haben Lazare Carnot und andere projektive Geometrie als ein unabhängiges Feld der Mathematik eingesetzt

. Seine strengen Fundamente wurden von Karl von Staudt gerichtet und von Italienern Giuseppe Peano, Mario Pieri, Alessandro Padoa und Gino Fano gegen Ende des 19. Jahrhunderts vervollkommnet. Projektive Geometrie, wie affine und Euklidische Geometrie, kann auch aus dem Programm von Erlangen von Felix Klein entwickelt werden; projektive Geometrie wird durch invariants unter Transformationen der projektiven Gruppe charakterisiert.

Nach viel Arbeit an der sehr hohen Zahl von Lehrsätzen im Thema, deshalb, sind die Grundlagen der projektiven Geometrie verstanden geworden. Die Vorkommen-Struktur und das Quer-Verhältnis sind grundsätzlicher invariants unter projektiven Transformationen. Projektive Geometrie kann durch das affine Flugzeug (oder den affine Raum) plus eine Linie (Hyperflugzeug) "an der Unendlichkeit" und dann dem Behandeln dass Linie (oder Hyperflugzeug) als "gewöhnlich" modelliert werden. Ein algebraisches Modell, um projektive Geometrie im Stil der analytischen Geometrie zu tun, wird durch homogene Koordinaten gegeben. Andererseits haben axiomatische Studien die Existenz von non-Desarguesian Flugzeugen, Beispiele offenbart, um zu zeigen, dass die Axiome des Vorkommens (in zwei Dimensionen nur) durch Strukturen modelliert werden können, die für das Denken durch homogene Koordinatensysteme nicht zugänglich sind.

In einem foundational Sinn sind projektive Geometrie und bestellte Geometrie elementar, da sie ein Minimum von Axiomen einschließen und irgendein als das Fundament für affine und Euklidische Geometrie verwendet werden kann. Projektive Geometrie wird nicht "bestellt", und so ist es ein verschiedenes Fundament für die Geometrie.

Geschichte

Die ersten geometrischen Eigenschaften einer projektiven Natur wurden im dritten Jahrhundert von Pappus Alexandrias entdeckt. Filippo Brunelleschi (1404-1472) hat angefangen, die Geometrie der Perspektive 1425 zu untersuchen (sieh die Geschichte der Perspektive für eine gründlichere Diskussion der Arbeit in den schönen Künsten, die viel von der Entwicklung der projektiven Geometrie motiviert haben). Johannes Kepler (1571-1630) und Gérard Desargues (1591-1661) haben unabhängig das Angelkonzept des "Punkts an der Unendlichkeit" entwickelt. Desargues hat eine alternative Weise entwickelt, Perspektivezeichnungen zu bauen, indem er den Gebrauch von verschwindenden Punkten verallgemeinert hat, um den Fall einzuschließen, wenn diese ungeheuer weit weg sind. Er hat Euklidische Geometrie gemacht, wo parallele Linien in einen speziellen Fall eines vollumfassenden geometrischen Systems aufrichtig parallel sind. Die Studie von Desargues auf konischen Abteilungen hat die Aufmerksamkeit von 16-jährigem altem Blaise Pascal gelenkt und hat ihm geholfen, den Lehrsatz von Pascal zu formulieren. Die Arbeiten von Gaspard Monge am Ende des 18. und beginnenden vom 19. Jahrhundert waren für die nachfolgende Entwicklung der projektiven Geometrie wichtig. Die Arbeit von Desargues wurde ignoriert, bis Michel Chasles auf eine handschriftliche Kopie 1845 gestoßen ist. Inzwischen hatte Jean-Victor Poncelet die foundational Abhandlung auf der projektiven Geometrie 1822 veröffentlicht. Poncelet hat die projektiven Eigenschaften von Gegenständen in der individuellen Klasse und dem Herstellen einer Beziehung zwischen metrischen und projektiven Eigenschaften getrennt. Die nicht-euklidische Geometrie entdeckt wurde schließlich kurz danach demonstriert, um Modelle wie das Modell von Klein des Hyperbelraums in Zusammenhang mit der projektiven Geometrie zu haben.

Dieses frühe 19. Jahrhundert projektive Geometrie war ein Sprungbrett von der analytischen Geometrie bis algebraische Geometrie. Wenn behandelt, in Bezug auf homogene Koordinaten sieht projektive Geometrie wie eine Erweiterung oder technische Verbesserung des Gebrauches von Koordinaten aus, um geometrische Probleme auf die Algebra, eine Erweiterung zu reduzieren, die die Anzahl von speziellen Fällen vermindert. Die ausführliche Studie von quadrics und der "Liniengeometrie" von Julius Plücker bildet noch einen reichen Satz von Beispielen für geometers, der mit mehr Gesamtkonzepten arbeitet.

Die Arbeit von Poncelet, Steiner und anderen war nicht beabsichtigt, um analytische Geometrie zu erweitern. Techniken haben synthetisch sein sollen: Tatsächlich sollte projektiver Raum, wie jetzt verstanden, axiomatisch eingeführt werden. Infolgedessen arbeitet die Wiederformulierung früh in der projektiven Geometrie, so dass es befriedigt, dass aktuelle Standards der Strenge etwas schwierig sein können. Sogar im Fall vom projektiven Flugzeug allein kann die axiomatische Annäherung auf über die geradlinige Algebra nicht beschreibbare Modelle hinauslaufen.

Diese Periode in der Geometrie wurde durch die Forschung über die allgemeine algebraische Kurve von Clebsch, Riemann, Max Noether und anderen eingeholt, die vorhandene Techniken, und dann durch die invariant Theorie gestreckt haben. Zum Ende des Jahrhunderts hat die italienische Schule der algebraischen Geometrie (Enriques, Segre, Severi) aus dem traditionellen Gegenstand in ein Gebiet gebrochen, das tiefere Techniken fordert.

Im späteren Teil des 19. Jahrhunderts ist die ausführliche Studie der projektiven Geometrie weniger modisch geworden, obwohl die Literatur umfangreich ist. Etwas wichtige Arbeit wurde in der enumerative Geometrie insbesondere von Schubert getan, der jetzt als das Vorwegnehmen der Theorie von Klassen von Chern gesehen wird, die als das Darstellen der algebraischen Topologie von Grassmannians genommen sind.

Paul Dirac hat projektive Geometrie studiert und hat sie als eine Basis verwendet, um seine Konzepte der Quant-Mechanik zu entwickeln, obwohl seine veröffentlichten Ergebnisse immer in der algebraischen Form waren. Sieh einen blog Artikel sich auf einen Artikel und ein Buch auf diesem Thema auch zu einem Gespräch beziehen, das Dirac einem allgemeinen Publikum 1972 in Boston über die projektive Geometrie ohne Details betreffs seiner Anwendung in seiner Physik gegeben hat.

Beschreibung

Projektive Geometrie ist weniger einschränkend entweder als die Euklidische Geometrie oder als affine Geometrie. Es ist eine wirklich nichtmetrische Geometrie, deren Tatsachen jeder metrischen Struktur unabhängig sind. Unter den projektiven Transformationen werden die Vorkommen-Struktur und das Quer-Verhältnis bewahrt. Projektive Geometrie formalisiert einen der Hauptgrundsätze der Perspektivekunst: Dieser treffen sich parallele Linien an der Unendlichkeit, und werden deshalb dieser Weg gezogen. Hauptsächlich kann von einer projektiven Geometrie als eine Erweiterung der Euklidischen Geometrie gedacht werden, in die die "Richtung" jeder Linie innerhalb der Linie als ein Extra"Punkt" untergeordnet wird, und in dem ein "Horizont" von Richtungen entsprechend coplanar Linien als eine "Linie" betrachtet wird. So treffen sich zwei parallele Linien auf einer Horizont-Linie auf Grund von ihrem Besitzen derselben Richtung.

Idealisierte Richtungen werden Punkte an der Unendlichkeit genannt, während idealisierte Horizonte Linien an der Unendlichkeit genannt werden. Der Reihe nach liegen alle diese Linien im Flugzeug an der Unendlichkeit. Jedoch ist Unendlichkeit ein metrisches Konzept, so sucht eine rein projektive Geometrie keine Punkte, Linien oder Flugzeug in dieser Beziehung aus — werden diejenigen an der Unendlichkeit gerade wie irgendwelcher andere behandelt.

Weil eine Euklidische Geometrie innerhalb einer Projektiven Geometrie mit der Projektiven Geometrie enthalten wird, die ein einfacheres Fundament hat, können allgemeine Ergebnisse in der Euklidischen Geometrie auf eine durchsichtigere Mode erreicht werden, wo getrennte, aber ähnliche Lehrsätze in der Euklidischen Geometrie insgesamt innerhalb des Fachwerks der projektiven Geometrie behandelt werden können. Zum Beispiel brauchen parallele und nichtparallele Linien nicht als getrennte Fälle behandelt zu werden - wir suchen ein willkürliches projektives Flugzeug als das ideale Flugzeug aus und machen es "an der Unendlichkeit" das Verwenden homogener Koordinaten ausfindig.

Zusätzliche Eigenschaften der grundsätzlichen Wichtigkeit schließen den Lehrsatz von Desargues und den Lehrsatz von Pappus ein. In projektiven Räumen der Dimension 3 oder größer gibt es einen Aufbau, der erlaubt, den Lehrsatz von Desargues zu beweisen. Aber für die Dimension 2 muss es getrennt verlangt werden.

Unter dem Lehrsatz von Desargues, der mit den anderen Axiomen verbunden ist, ist es möglich, die grundlegenden Operationen der Arithmetik geometrisch zu definieren. Die resultierenden Operationen befriedigen die Axiome eines Feldes — außer dass der commutativity der Multiplikation den Sechseck-Lehrsatz von Pappus verlangt. Infolgedessen sind die Punkte jeder Linie in einer zu einer Ähnlichkeit mit einem gegebenen Feld, F, ergänzt durch ein zusätzliches Element, W, solch dass rW = W, W = W, r+W = W, r/0 = W, r/W = 0, Wr = rW = W. Jedoch bleiben 0/0, W/W, W+W, WW, 0W und W0 unbestimmt.

Projektive Geometrie schließt auch eine volle Theorie von konischen Abteilungen, ein in der Euklidischen Geometrie bereits sehr gut entwickeltes Thema ein. Es gibt klare Vorteile im im Stande Sein, an eine Hyperbel und eine Ellipse, wie bemerkenswert, nur zu denken, in der Weise die Hyperbel über die Linie an der Unendlichkeit liegt; und dass eine Parabel bemerkenswert ist, indem nur sie Tangente zu derselben Linie gewesen wird. Die ganze Familie von Kreisen kann als conics das Durchführen von zwei gegebenen Punkten auf der Linie an der Unendlichkeit — auf Kosten des Verlangens komplizierter Koordinaten gesehen werden. Da Koordinaten nicht "synthetisch" sind, ersetzt man sie, indem man eine Linie und zwei Punkte darauf heftet, und das geradlinige System des ganzen conics denkt, der jene Punkte als der grundlegende Gegenstand der Studie durchführt. Diese Annäherung hat sich sehr attraktiv für talentierten geometers erwiesen, und das Feld wurde gründlich gearbeitet. Ein Beispiel dieser Annäherung ist die Mehrvolumen-Abhandlung durch H. F. Baker.

Es gibt viele projektive Geometrie, die in den getrennten und das dauernde geteilt werden kann: Eine getrennte Geometrie umfasst eine Reihe von Punkten, die können oder in der Zahl nicht begrenzt sein können, während eine dauernde Geometrie ungeheuer viele Punkte ohne Lücken zwischen hat.

Die einzige projektive Geometrie der Dimension 0 ist ein einzelner Punkt. Eine projektive Geometrie der Dimension 1 besteht aus einer einzelnen Linie, die mindestens 3 Punkte enthält. Der geometrische Aufbau von arithmetischen Operationen kann in keinem dieser Fälle ausgeführt werden. Für die Dimension 2 gibt es eine reiche Struktur auf Grund von der Abwesenheit des Lehrsatzes von Desargues.

Gemäß Greenberg (1999) und andere ist die einfachste 2-dimensionale projektive Geometrie das Flugzeug von Fano, das 3 Punkte auf jeder Linie, mit 7 Punkten und Linien insgesamt eingeordnet mit der folgenden Liste von collinearities hat:

• [ABC]
• [ADE]
• [AFG]
• [BDG]
• [BEF]
• [CDF]
• [CEG]

mit den affine Koordinaten A = {0,0}, B = {0,1}, C = {0, W} = {1, W}, D = {1,0}, E = {W, 0} = {W, 1}, F = {1,1}, G = {W, W}. Die Koordinaten in einem Flugzeug von Desarguesian für die Punkte, die benannt sind, um die Punkte an der Unendlichkeit (in diesem Beispiel zu sein: C, E und werden allgemein G) ziemlich zweideutig definiert.

In der Standardnotation ist eine begrenzte projektive Geometrie schriftliche Parentale Guidance (a, b) wo:

: des projektiven (oder geometrisch) Dimension und zu sein

: b ist derjenige weniger als die Zahl von Punkten auf einer Linie (hat die Ordnung der Geometrie genannt).

So ist das Beispiel, das nur 7 Punkte hat, schriftliche Parentale Guidance (2,2).

Der Begriff "projektive Geometrie" wird manchmal gebraucht, um die verallgemeinerte zu Grunde liegende abstrakte Geometrie anzuzeigen, und manchmal eine besondere Geometrie vom breiten Interesse wie die metrische Geometrie des flachen Raums anzuzeigen, den wir durch den Gebrauch von homogenen Koordinaten analysieren, und in dem Euklidische Geometrie (folglich sein Name, Verlängertes Euklidisches Flugzeug) eingebettet werden kann.

Das grundsätzliche Eigentum, das die ganze projektive Geometrie aussucht, ist das elliptische Vorkommen-Eigentum, das irgendwelche zwei verschiedenen Linien L und M im projektiven Flugzeug an genau einem Punkt P durchschneiden. Der spezielle Fall in der analytischen Geometrie von parallelen Linien wird in die glattere Form einer Linie an der Unendlichkeit untergeordnet, auf der P liegt. Die Linie an der Unendlichkeit ist so eine Linie wie irgendwelcher anderer in der Theorie: Es ist keineswegs speziell oder ausgezeichnet. (Im späteren Geist des Programmes von Erlangen konnte man zur Weise hinweisen, wie die Gruppe von Transformationen jede Linie zur Linie an der Unendlichkeit bewegen kann).

In Anbetracht einer Linie l und eines Punkts P nicht auf der Linie hebt sich das elliptische parallele Eigentum von den Euklidischen und hyperbolischen parallelen Eigenschaften wie folgt ab:

Das elliptische parallele Eigentum ist die Schlüsselidee, die zum Grundsatz der projektiven Dualität, vielleicht das wichtigste Eigentum führt, das die ganze projektive Geometrie gemeinsam hat.

Dualität

1825 hat Joseph Gergonne den Grundsatz der Dualität bemerkt, die projektive Flugzeug-Geometrie charakterisiert: In Anbetracht jedes Lehrsatzes oder Definition dieser Geometrie, gegen Punkt die Linie auswechselnd, liegen auf dafür, gehen collinear für den gleichzeitigen durch, die Kreuzung für die Verbindungslinie, oder umgekehrt, läuft auf einen anderen Lehrsatz oder gültige Definition, die "Doppel-" von den ersten hinaus. Ähnlich in 3 Dimensionen hält die Dualitätsbeziehung zwischen Punkten und Flugzeugen, jedem Lehrsatz erlaubend, durch das Tauschen des Punkts und Flugzeugs umgestaltet zu werden, wird dadurch enthalten und enthält. Mehr allgemein, für projektive Räume der Dimension N, gibt es eine Dualität zwischen den Subräumen der Dimension R und Dimension NR1. Für N = 2 spezialisiert sich das zur meistens bekannten Form der Dualität — das zwischen Punkten und Linien.

Der Dualitätsgrundsatz wurde auch unabhängig von Jean-Victor Poncelet entdeckt.

Dualität zu gründen, verlangt nur Herstellen-Lehrsätze, die die Doppelversionen der Axiome für die fragliche Dimension sind. So, für 3-dimensionale Räume, muss man zeigen, dass (1 *) jeder Punkt in 3 verschiedenen Flugzeugen liegt, (2 *), schneiden sich alle zwei Flugzeuge in einer einzigartigen Linie und einer Doppelversion (3 *) zur Wirkung: Wenn die Kreuzung des Flugzeugs P und Q coplanar mit der Kreuzung des Flugzeugs R und S ist, dann auch sind die jeweiligen Kreuzungen von Flugzeugen P und R, Q und S (das Annehmen von Flugzeugen P, und S sind von Q und R verschieden).

In der Praxis erlaubt der Grundsatz der Dualität uns, eine Doppelähnlichkeit zwischen zwei geometrischen Aufbauten aufzustellen. Der berühmteste von diesen ist die Widersprüchlichkeit oder Reziprozität von zwei Zahlen in einer konischen Kurve (in 2 Dimensionen) oder eine Quadric-Oberfläche (in 3 Dimensionen). Wie man findet, erhält ein alltägliches Beispiel in der Erwiderung eines symmetrischen Polyeders in einem konzentrischen Bereich das Doppelpolyeder.

Axiome der projektiven Geometrie

Jede gegebene Geometrie kann aus einem passenden Satz von Axiomen abgeleitet werden. Projektive Geometrie wird durch das "elliptische parallele" Axiom charakterisiert, dass sich irgendwelche zwei Flugzeuge immer in gerade einer Linie, oder im Flugzeug treffen, treffen sich irgendwelche zwei Linien immer in gerade einem Punkt. Mit anderen Worten gibt es keine solche Dinge wie parallele Linien oder Flugzeuge in der projektiven Geometrie. Viele alternative Sätze von Axiomen für die projektive Geometrie sind vorgeschlagen worden (sieh zum Beispiel Coxeter 2003, Hilbert & Cohn-Vossen 1999, Greenberg 1980).

Die Axiome von Whitehead

Diese Axiome basieren auf Whitehead, "Die Axiome der Projektiven Geometrie". Es gibt zwei Typen, Punkte und Linien und eine "Vorkommen"-Beziehung zwischen Punkten und Linien. Die drei Axiome sind:

• G1: Jede Linie enthält mindestens 3 Punkte
• G2: Alle zwei Punkte, A und B, liegen auf einer einzigartigen Linie, AB.
• G3: Wenn Linien, die AB und CD durchschneiden, dann so tun Linien AC und BD (wo es angenommen wird, dass A und D von B und C verschieden sind).

Der Grund, wie man annimmt, enthält jede Linie mindestens 3 Punkte, soll einige degenerierte Fälle beseitigen. Die Räume, die diese befriedigen

drei Axiome entweder haben höchstens eine Linie, oder sind projektive Räume von einer Dimension über einen Abteilungsring, oder sind non-Desarguesian Flugzeuge.

Man kann weitere Axiome hinzufügen, die die Dimension oder den Koordinatenring einschränken. Zum Beispiel ruft die Projektive Geometrie von Coxeter, Verweisungen Veblen in den drei Axiomen oben, zusammen mit weiter 5 Axiomen, die die Dimension 3 und die Koordinate machen, ein Ersatzfeld der Eigenschaft nicht 2 an.

Axiome mit einer dreifältigen Beziehung

Man kann axiomatization verfolgen, indem man eine dreifältige Beziehung, [Abc] verlangt, um anzuzeigen, wenn drei Punkte (nicht alle notwendigerweise verschieden) collinear sind. Ein axiomatization kann in Bezug auf diese Beziehung ebenso niedergeschrieben werden:

• C0: [ABA]
• C1: Wenn A und B zwei solche Punkte dass [Abc] und [ABD] dann [BDC] sind
• C2: Wenn A und B zwei Punkte dann sind, gibt es einen dritten Punkt C solch dass [Abc]
• C3: Wenn A und C zwei Punkte, B und D auch, mit [BCE], [ADE] sind, aber nicht [ABE] dann gibt es einen Punkt F solch dass [ACF] und [BDF].

Für zwei verschiedene Punkte, A und B, die Linie wird AB als bestehend aus allen Punkten C für der [Abc] definiert. Die Axiome C0 und C1 stellen dann eine Formalisierung von G2 zur Verfügung; C2 für G1 und C3 für G3.

Das Konzept der Linie verallgemeinert zu Flugzeugen und höheren dimensionalen Subräumen. Ein Subraum, AB … XY kann so in Bezug auf den Subraum AB … X als dieser rekursiv definiert werden, alle Punkte aller Linien YZ enthaltend, weil Z Reihen über AB … X. Collinearity dann zur Beziehung "der Unabhängigkeit" verallgemeinert. Ein Satz {A, B, …, Z} Punkte, ist [AB … Z] unabhängig, wenn {A, B, …, Z} eine minimale Erzeugen-Teilmenge für den Subraum AB … Z ist.

Die projektiven Axiome können durch weitere Axiome ergänzt werden, die Grenzen auf der Dimension des Raums verlangen. Die minimale Dimension wird durch die Existenz eines unabhängigen Satzes der erforderlichen Größe bestimmt. Für die niedrigsten Dimensionen können die relevanten Bedingungen in gleichwertigem festgesetzt werden

Form wie folgt. Ein projektiver Raum ist:

• (L1) dimensionieren mindestens 0, wenn es mindestens 1 Punkt, hat
• (L2) dimensionieren mindestens 1, wenn es mindestens 2 verschiedene Punkte (und deshalb eine Linie), hat
• (L3) dimensionieren mindestens 2, wenn es mindestens 3 Non-Collinear-Punkte (oder zwei Linien, oder eine Linie und einen Punkt nicht auf der Linie), hat
• (L4) dimensionieren mindestens 3, wenn es mindestens 4 Non-Coplanar-Punkte hat.

Die maximale Dimension kann auch auf eine ähnliche Mode bestimmt werden. Für die niedrigsten Dimensionen übernehmen sie die folgenden Formen. Ein projektiver Raum ist:

• (M1) am grössten Teil der Dimension 0, wenn es nicht mehr als 1 Punkt, hat
• (M2) am grössten Teil der Dimension 1, wenn es nicht mehr als 1 Linie, hat
• (M3) am grössten Teil der Dimension 2, wenn es nicht mehr als 1 Flugzeug, hat

und so weiter. Es ist ein allgemeiner Lehrsatz (eine Folge des Axioms (3)), den alle coplanar Linien — der wirkliche Grundsatz durchschneiden, den Projektive Geometrie ursprünglich beabsichtigt war, um aufzunehmen. Deshalb kann Eigentum (M3) gleichwertig festgesetzt werden, dass alle Linien einander durchschneiden.

Es wird allgemein angenommen, dass projektive Räume von mindestens der Dimension 2 sind. In einigen Fällen, wenn der Fokus auf projektiven Flugzeugen ist, kann eine Variante von M3 verlangt werden. Die Axiome (Vorabende 1997: 111), zum Beispiel, schließen (1), (2), (L3) und (M3) ein. Axiom (3) wird ausdruckslos wahr unter (M3) und ist deshalb in diesem Zusammenhang nicht erforderlich.

Axiome für projektive Flugzeuge

In der Vorkommen-Geometrie geben die meisten Autoren eine Behandlung, die die Parentale Flugzeug-Guidance von Fano (2, 2) als das minimale begrenzte projektive Flugzeug umarmt. Ein Axiom-System, das das erreicht, ist wie folgt:

• (P1) Irgendwelche zwei verschiedenen Punkte liegen auf einer einzigartigen Linie.
• (P2) Irgendwelche zwei verschiedenen Linien treffen sich in einem einzigartigen Punkt.
• (P3) Dort bestehen mindestens vier Punkte, von denen keine drei collinear sind.

Die Einführung von Coxeter in die Geometrie gibt eine Liste von fünf Axiomen für ein einschränkenderes Konzept eines projektiven Bachmann zugeschriebenen Flugzeugs, den Lehrsatz von Pappus zur Liste von Axiomen oben hinzufügend (der non-Desarguesian Flugzeuge beseitigt) und projektiver Flugzeuge über Felder der Eigenschaft 2 ausschließend (diejenigen, die das Axiom von Fano nicht befriedigen). Die eingeschränkten Flugzeuge, die auf diese Weise näher gegeben sind, ähneln dem echten projektiven Flugzeug.

Siehe auch

• Projektive Linie
• Projektives Flugzeug
• Projektiver Raum
• Vorkommen
• Quer-Verhältnis
• Transformation von Möbius
• Projektive Transformation
• Homogene Koordinaten
• Dualität (projektive Geometrie)
• Hauptsatz der projektiven Geometrie
• Projektive Konfiguration
• Ganzes Viereck
• Der Lehrsatz von Desargues
• Der Sechseck-Lehrsatz von Pappus
• Der Lehrsatz des Pascal
• Umkehrende Ringgeometrie
• Joseph Wedderburn
• Grassmann-Cayley Algebra

Referenzen

• Coxeter, H. S. M., 1995. Das Echte Projektive Flugzeug, 3. Hrsg. Springer Verlag.
• Howard Eves, 1997. Fundamente und Grundsätzliche Konzepte der Mathematik, 3. Hrsg. Dover.
• Greenberg, M.J. 2007. Euklidische und nicht-euklidische Geometrie, 4. Hrsg. Freeman.
• Richard Hartley und Andrew Zisserman, 2003. Vielfache Ansicht-Geometrie in der Computervision, 2. Hrsg. Universität von Cambridge Presse. Internationale Standardbuchnummer 0-521-54051-8
• Hartshorne, Rotkehlchen, 2009. Fundamente der Projektiven Geometrie, 2. Hrsg. Ishi Press. Internationale Standardbuchnummer 978-4-87187-837-1
• Hartshorne, Rotkehlchen, 2000. Geometrie: Euklid und Darüber hinaus. Springer.
• Hilbert, D. und Cohn-Vossen, S., 1999. Geometrie und die Einbildungskraft, 2. Hrsg. Chelsea.

Links

• Projektive Geometrie für die Maschinenvision — Tutorenkurs durch Joe Mundy und Andrew Zisserman.
• Referenzen haben auf Coxeter Das Echte Projektive Flugzeug gestützt.
• Projektive Geometrie für die Bildanalyse — freier Tutorenkurs durch Roger Mohr und Bill Triggs.
• Projektive Geometrie. — freier Tutorenkurs durch Tom Davis.