In der Relativitätstheorie, einem vier-Vektoren- oder dem 4-Vektoren-ist ein Vektor in einem vierdimensionalen echten Vektorraum, genannt Raum von Minkowski. Es unterscheidet sich von einem Euklidischen Vektoren darin vier Vektoren verwandeln sich durch die Transformationen von Lorentz. Der Gebrauch des Vier-Vektoren-Namens nimmt stillschweigend an, dass sich seine Bestandteile auf eine Standardbasis beziehen. Die Bestandteile verwandeln sich zwischen diesen Basen als die Koordinatenunterschiede der Zeit und Raums, (cΔt, Δx, Δy, Δz) laut Raumübersetzungen, Raumfolgen, räumlich und Zeitinversionen und Zunahmen (eine Änderung durch eine unveränderliche Geschwindigkeit zu einem anderen Trägheitsbezugsrahmen). Der Satz aller dieser Übersetzungen, Folgen, Inversionen und Zunahmen (hat Transformationen von Poincaré genannt), bildet die Gruppe von Poincaré. Der Satz von Folgen, Inversionen und Zunahmen (Transformationen von Lorentz, die durch 4×4 matrices beschrieben sind), bildet die Gruppe von Lorentz.

Dieser Artikel denkt vier Vektoren im Zusammenhang der speziellen Relativität. Obwohl sich das Konzept von vier Vektoren auch bis zu die allgemeine Relativität ausstreckt, verlangen einige der in diesem Artikel festgesetzten Ergebnisse Modifizierung in der allgemeinen Relativität.

Mathematik von vier Vektoren

Allgemeine vier Vektoren

Ein vier-Vektoren-V wird als definiert:

:

wo der obere Index es anzeigt, um Kontravariante zu sein. Die kovariante Form kann mit dem metrischen Tensor g erhalten werden:

:

Häufig (aber nicht immer) ist das metrische diagonal, bedeutend, dass der einzige Unterschied zwischen kovarianten und kontravarianten Vier-Vektoren-Bestandteilen Zeichen ist, obwohl die Zeichen abhängen, der metrisch verwendet wird.

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt von zwei vier Vektoren und wird (verwendende Notation von Einstein) als definiert

:

\mathbf {U \cdot V }\

\eta_ {\\mu \nu} U^ {\\mu} V^ {\\nu }\

\left (\begin {matrix}-U^0 & U^1 & U^2 & U^3 \end {Matrix} \right)

\left (\begin {Matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\0 &-1 & 0 & 0 \\0 & 0 &-1 & 0 \\0 & 0 & 0 &-1 \end {Matrix} \right)

\left (\begin {matrix}-V^0 \\V^1 \\V^2 \\V^3 \end {Matrix} \right)

U^0 V^0 - U^1 V^1 - U^2 V^2 - U^3 V^3

</Mathematik>

wo der Zugang in der th Reihe und th Säule des metrischen Minkowskis ist. Manchmal wird dieses Skalarprodukt das Skalarprodukt von Minkowski genannt. Bemerken Sie, dass der metrische Minkowski nicht ein Euklidischer metrischer ist, weil es unbestimmt ist, und Vektor - im Allgemeinen - nichtpositive Länge haben kann. (Bemerken Sie: Einige Autoren definieren mit dem entgegengesetzten Zeichen:

:

\left (\begin {Matrix}-1 & 0 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1 \end {Matrix} \right)

</Mathematik>

in welchem Fall

:\mathbf {U \cdot V }\

- U^0 V^0 + U^1 V^1 + U^2 V^2 + U^3 V^3

</Mathematik>

Jede Tagung wird arbeiten, da die primäre Bedeutung des Skalarprodukts von Minkowski darin besteht, dass für irgendwelche zwei vier Vektoren sein Wert invariant für alle Beobachter ist.)

Ein wichtiges Eigentum des Skalarprodukts besteht darin, dass es invariant, d. h. ein Skalar ist: Eine Änderung von Koordinaten läuft auf keine Wertänderung des Skalarprodukts hinaus.

Das Skalarprodukt wird häufig als die Wirkung des Doppelvektoren eines Vektoren auf dem anderen ausgedrückt:

:

Hier sind die s die Bestandteile des Doppelvektoren in der Doppelbasis und haben die kovarianten Koordinaten dessen genannt, während die ursprünglichen Bestandteile die kontravarianten Koordinaten genannt werden. Niedrigere und obere Indizes zeigen immer kovariante und kontravariante Koordinaten beziehungsweise an.

Die Beziehung zwischen den kovarianten und kontravarianten Koordinaten ist:

:.

Die vier Vektoren sind Pfeile auf dem Raum-Zeit-Diagramm oder Diagramm von Minkowski. In diesem Artikel wird auf vier Vektoren einfach als Vektoren verwiesen.

Vier Vektoren können entweder als raummäßig, zeitmäßig oder als ungültig klassifiziert werden. Und ungültige Raummäßigzeitmäßigvektoren sind, deren Skalarprodukt mit sich weniger ist als, größer als, und gleich der Null beziehungsweise (das Annehmen von Minkowski, der mit der Unterschrift metrisch ist).

In der speziellen Relativität (aber nicht allgemeinen Relativität) ist die Ableitung eines vier-Vektoren-in Bezug auf einen Skalar (invariant) selbst ein vier-Vektoren-.

Transformation von Lorentz

Für zwei Trägheitsbezugssysteme, in denen sich-Rahmen F' mit 3-Geschwindigkeiten-v (nicht 4-Geschwindigkeiten-) hinsichtlich F, meiner bewegt.. e. "F' wird mit der Geschwindigkeit v erhöht" verwandeln sich alle vier Vektoren ebenso gemäß der lorentz Transformationsmatrix Λ. Für die Verhältnisbewegung in einer willkürlichen Richtung ohne Folgen verwandelt sich ein Vier-Vektoren-U, wie beobachtet, in F zu U, der' in F' gemäß beobachtet ist

:

wo die Matrix Bestandteile hat

:

\Lambda_ {0i} & = \Lambda_ {i0} = - \gamma \beta_ {ich}, \\

\Lambda_ {ij} & = \Lambda_ {ji} = (\gamma - 1) \dfrac {\\beta_ {ich }\\beta_ {j}} {\\beta^ {2}} + \delta_ {ij} = (\gamma - 1) \dfrac {v_i v_j} {v^2} + \delta_ {ij}, \\

\end {richten }\aus

\\! </Mathematik>

der Reihe nach

:

ist der Faktor von Lorentz,

:

ist die Verhältnisgeschwindigkeit in Einheiten von c, und δ ist das Delta von Kronecker.

Für den Fall einer Zunahme in der X-Richtung nur kann die Matrix darauf reduziert werden;

:

\begin {pmatrix }\

U '^0 \\U '^1 \\U '^2 \\U '^3

\end {pmatrix }\

\begin {pmatrix }\

\cosh\phi &-\sinh\phi & 0 & 0 \\

- \sinh\phi & \cosh\phi & 0 & 0 \\

0 & 0 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 1 \\

\end {pmatrix }\\begin {pmatrix }\

U^0 \\U^1 \\U^2 \\U^3

\end {pmatrix}

</Mathematik>

und davon; ein interessanter Punkt ist, dass diese Matrix von Lorentz einer Hyperbelfolge entspricht. So, gerade als 3 Vektoren unter kreisförmigen Folgen in drei Dimensionen bewahrt werden:

:\begin {pmatrix }\

U '^1 \\U '^2 \\U '^3

\end {pmatrix }\\begin {pmatrix }\

\cos\phi &-\sin\phi & 0 \\

\sin\phi & \cos\phi & 0 \\

0 & 0 & 1 \\

\end {pmatrix }\\begin {pmatrix }\

U^1 \\U^2 \\U^3

\end {pmatrix }\\.

</Mathematik>

der die Folge-Matrix über die Z-Achse in drei Dimensionen ist, werden 4 Vektoren unter Hyperbelfolgen in vier Dimensionen bewahrt.

Vier-Positionen-

Ein Punkt im Raum von Minkowski wird ein "Ereignis" genannt und wird in einer Standardbasis durch eine Reihe vier Koordinaten wie beschrieben

:

wo = 0, 1, 2, 3, die Raum-Zeit-Dimensionen etikettiert, und wo c die Geschwindigkeit des Lichtes ist. Die Definition stellt sicher, dass alle Koordinaten dieselben Einheiten (der Entfernung) haben. Diese Koordinaten sind die Bestandteile der für das Ereignis vier-Vektoren-Position.

Die vier-Vektoren-Versetzung wird definiert, um ein "Pfeil" zu sein, der zwei Ereignisse verbindet:

:

Bemerken Sie, dass der Positionsvektor der Versetzungsvektor ist, wenn eines der zwei Ereignisse der Ursprung des Koordinatensystems ist. Positionsvektoren sind relativ trivial; die allgemeine Theorie von vier Vektoren ist mit Versetzungsvektoren beschäftigt.

Das Skalarprodukt des 4-Positionen-mit sich ist;

:

der den Raum-Zeit-Zwischenraum s und richtige Zeit τ in der Raum-Zeit von Minkowski enthält, die invariant sind. Das Skalarprodukt des mit sich 4-Positionen-Differenzials ist:

:

das Linienelement enthaltend, erhöhen ds und richtige Zeit dτ.

Dynamik

Wenn

sie physische Phänomene denken, entstehen Differenzialgleichungen natürlich; jedoch, wenn man Ableitungen der Zeit und Raums von Funktionen denkt, ist es unklar, in Bezug auf welchen Bezugsrahmen diese Ableitungen genommen werden. Es wird zugegeben, dass Zeitableitungen in Bezug auf die richtige Zeit (τ) genommen werden. Da richtige Zeit ein invariant ist, versichert das, dass die richtige malige Ableitung von irgendwelchem vier-Vektoren-selbst ein vier-Vektoren-ist. Es ist dann wichtig, eine Beziehung zwischen dieser richtigen maligen Ableitung und einer anderen Zeitableitung (das Verwenden der Zeit eines Trägheitsbezugsrahmens) zu finden. Diese Beziehung wird als Transformation in den Transformationen von Lorentz zur Verfügung gestellt und ist:

:

wo γ der Faktor von Lorentz ist. Wichtige vier Vektoren in der Relativitätstheorie können jetzt definiert werden.

Vier-Geschwindigkeiten-

Die vier-Geschwindigkeiten-von einer Weltlinie wird definiert durch:

:

wo, mit der Nachsilbe-Notation,

:

dafür.

Mit dem Differenzial des 4-Positionen-kann der Umfang des 4-Geschwindigkeiten-erhalten werden;

:

in kurzem

:

Die geometrische Bedeutung von 4-Geschwindigkeiten-ist die Einheitsvektor-Tangente zur Weltlinie im Raum von Minkowski.

Vier-Beschleunigungen-

Durch den vier-Beschleunigungen-wird gegeben:

:

Da der Umfang dessen eine Konstante ist, ist die vier Beschleunigung (pseudo-) orthogonal zur vier Geschwindigkeit, d. h. das Skalarprodukt von Minkowski des vier-Beschleunigungen- und des vier-Geschwindigkeiten-ist Null:

:

der für alle Weltlinien wahr ist.

Die geometrische Bedeutung von 4-Beschleunigungen-ist der Krümmungsvektor der Weltlinie im Raum von Minkowski.

Vier-Schwünge-

Durch den vier-Schwünge-für eine massive Partikel wird gegeben:

:

wo M die invariant Masse der Partikel ist und p der relativistische Schwung ist.

Vier-Kräfte-

Der vier-Kräfte-wird definiert durch:

:

Für eine Partikel der unveränderlichen Masse ist das zu gleichwertig

:wo:.

Elektromagnetismus

Beispiele von vier Vektoren im Elektromagnetismus schließen das folgende ein.

Vier-Ströme-

Der vier-Ströme-wird durch definiert

:

gebildet von der aktuellen Dichte j und Anklage-Dichte ρ.

Vier-Potenziale-

Der elektromagnetische durch definierte vier-Potenziale-

:

gebildet vom Vektor-Potenzial a und dem Skalarpotenzial. Der vier-Potenziale-wird nicht einzigartig bestimmt, weil es von einer Wahl des Maßes abhängt.

Vier-Frequenzen-

Ein Flugzeug elektromagnetische Welle kann durch den vier-Frequenzen-definiert als beschrieben werden

:

wo die Frequenz der Welle ist und n ein Einheitsvektor in der Reiserichtung der Welle ist. Bemerken Sie das

:

so dass der vier-Frequenzen-immer ein ungültiger Vektor ist.

Vier-wavevector

Ein Welle-Paket fast des monochromatischen Lichtes kann durch den Welle-Vektoren oder vier-wavevector charakterisiert werden

:

Das 4-Impulse-vom einzelnen Foton ist

:

namentlich die Vier-Vektoren-Version der Beziehung von De Broglie.

Quant-Theorie

In der relativistischen Quant-Mechanik ist der 4-Wahrscheinlichkeiten-Strom:

:

wo ρ die Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion entsprechend dem Zeitbestandteil ist, der Reihe nach ist Ψ der wavefunction, und j ist der Wahrscheinlichkeitsstrom-Vektor.

Physik von vier Vektoren

Die Macht und Anmut des Vier-Vektoren-Formalismus können durch das Sehen demonstriert werden, dass bekannte Beziehungen zwischen Energie und Sache darin eingebettet werden.

Energie von massiven Partikeln

Hier, ein Ausdruck für die Gesamtenergie einer Partikel

:

wird abgeleitet. Die kinetische Energie (K) einer Partikel wird analog zur klassischen Definition, nämlich als definiert

:

mit f als oben. Bemerkend, dass und das ausbreitend, wir bekommen

:

Folglich

:

der nachgibt

:

für einen unveränderlichen S. Wenn die Partikel beruhigt ist (u = 0), nehmen wir seine kinetische Energie, Null (K = 0) zu sein. Das gibt

:

So interpretieren wir die Gesamtenergie E von der Partikel, wie zusammengesetzt, aus seiner kinetischen Energie K und seiner Rest-Energie M c. So haben wir

:

Gesamtenergie und invariant Masse

Wir können auch ableiten

:

das Verwenden des Vier-Vektoren-Formalismus. Das Verwenden der Beziehung

:

wir können den vier-Schwünge-als schreiben

:.

Das Skalarprodukt des vier-Schwünge-mit sich auf zwei verschiedene Weisen nehmend, erhalten wir die Beziehung

:

das Reduzieren auf

:Folglich:

Diese letzte Beziehung ist in vielen Gebieten der Physik nützlich.

Siehe auch

• vier-Geschwindigkeiten-
• vier-Beschleunigungen-
• vier-Schwünge-
• vier-Kräfte-
• vier-Ströme-
• elektromagnetischer vier-Potenziale-
• vier-Anstiege-
• vier-Frequenzen-
• Paravektor
• Welle-Vektor
• Staub (Relativität) Zahl-Fluss vier-Vektoren-
• Grundlegende Einführung in die Mathematik der gekrümmten Raum-Zeit
• Raum von Minkowski
• Rindler, W. Einführung in die Spezielle Relativität (2. edn.) (1991) internationale Standardbuchnummer von Clarendon Press Oxford 0-19-853952-5