In der Rechnung ist die Quotientenregel eine Methode, die Ableitung einer Funktion zu finden, die der Quotient von zwei anderen Funktionen ist, für die Ableitungen bestehen.

Wenn die Funktion, die man unterscheiden möchte, als geschrieben werden kann

:

und dann stellt die Regel fest, dass die Ableitung dessen ist

:

Genauer, wenn alle x in einem offenen Satz, der die Zahl a enthält, befriedigen, und und beide bestehen, dann besteht ebenso und

:

Und das kann erweitert werden, um die zweite Ableitung ebenso zu berechnen (Sie können das beweisen, indem Sie die Ableitung zweimal nehmen). Das Ergebnis davon ist:

:

Die Quotientenregel-Formel kann aus der Produktregel und Kettenregel abgeleitet werden.

Beispiele

Die Ableitung dessen ist:

:

& = \frac {(4x^2 + 4) - (8x^2 - 4x)} {(x^2 + 1) ^2} = \frac {-4x^2 + 4x + 4} {(x^2 + 1) ^2 }\\Ende {richten} </Mathematik> {aus}

Im Beispiel oben, die Wahlen

::

wurden gemacht. Analog ist die Ableitung der Sünde (x)/x (wenn x  0):

:

Ein anderes Beispiel ist:

:

wohingegen und, und und.

Die Ableitung dessen wird wie folgt bestimmt:

:

Das kann durch das Verwenden von Gesetzen von Hochzahlen und der Macht-Regel überprüft werden:

::

Beschränkungen

Die Quotientenregel ist an Punkten nicht nützlich, wo entweder der Zähler oder Nenner nicht differentiable sind; es ist möglich, dass der Quotient differentiable an solchen Punkten sein kann. Denken Sie zum Beispiel die Funktion:

wo |x den absoluten Wert von x anzeigt. Das, ist natürlich, einfach die Funktion f (x) = 1, so ist es differentiable überall und in besonderem f' (0) = 0. Wenn wir versuchen, die Quotientenregel zu verwenden, f' (0), jedoch zu schätzen, wird ein unbestimmter Wert resultieren, da |x nondifferentiable an x = 0 ist.

Beweise

Algebraischer Beweis

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Vom Unterschied-Quotienten des Newtons

Nehmen Sie an, wo und und differentiable sind.

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Wir steigen aus und verbinden die Bruchteile im Zähler:

:

Beitragend und im Zähler Abstriche machend:

:

Wir Faktor das und multiplizieren durch den Zähler:

:

Jetzt bewegen wir die Grenze durch:

:

Durch die Definition der Ableitung sind die Grenzen von Unterschied-Quotienten im Zähler Ableitungen. Die Grenze im Nenner ist h (x), weil Differentiable-Funktionen dauernd sind. So kommen wir:

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Das Verwenden der Kettenregel

Denken Sie die Identität

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Dann

:

Das Führen

:

Das Multiplizieren führt

zu:

Schließlich verlässt Einnahme eines gemeinsamen Nenners uns mit dem erwarteten Ergebnis

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Das Verwenden der Produktregel

Lassen Sie

Das Neuschreiben in Indizes bildet

Das Verwenden der Produktregel und der Kettenregel zu differenzieren führt uns zu,

:

Das Multiplizieren des Zählers des ersten Bruchteils und Nenners mit kommen uns,

:

Der die Quotientenregel ist.

Durch Gesamtdifferenziale

Ein noch eleganterer Beweis ist eine Folge des Gesetzes über Gesamtdifferenziale, das dass das Gesamtdifferenzial, feststellt

:

jeder Funktion in jedem Satz von Mengen ist auf diese Weise zerlegbar, egal was die unabhängigen Variablen in einer Funktion sind (d. h., macht dir nichts aus dem Variablen genommen werden, so dass sie als Funktionen anderer Variablen nicht ausgedrückt werden dürfen). Das bedeutet, dass, wenn N und D beide Funktionen einer unabhängigen Variable x und F = N (x)/D (x) sind, dann muss es beide das wahr

sein:

und das

:

Aber wir wissen das und

Wenn wir

vertreten und diese zwei Gesamtdifferenziale setzen, die einander gleich sind (da sie Grenzen vertreten, die wir manipulieren können), erhalten wir die Gleichung

:

der das verlangt

:

Wir schätzen den partials rechts:

::

Wenn wir sie in (#), einsetzen

::

der uns die Quotientenregel, seitdem, durch (*), gibt

:

Dieser Beweis ist natürlich gerade ein anderer, systematischer (selbst wenn unmodern) Weise, den Lehrsatz in Bezug auf Grenzen zu beweisen, und ist deshalb zum ersten Beweis oben gleichwertig - und nimmt sogar dazu ab, wenn Sie die richtigen Ersetzungen in den richtigen Plätzen machen. Studenten der mehrvariablen Rechnung werden es als eine der Kettenregeln für Funktionen von vielfachen Variablen anerkennen.

Siehe auch

• Kettenregel
• Unterschied-Quotient
• Produktregel
• Gegenseitige Regel