Im mathematischen Analyse-Lehrsatz von Fubini, genannt nach Guido Fubini, ist ein Ergebnis, das Bedingungen gibt, unter denen es möglich ist zu rechnen, hat ein doppeltes integriertes Verwenden Integrale wiederholt. Demzufolge erlaubt es der Ordnung der Integration, in wiederholten Integralen geändert zu werden.

Lehrsatz-Behauptung

Nehmen Sie A an, und B sind ganze Maß-Räume. Nehmen Sie an, dass f (x, y) &times ist; B messbar. Wenn

:

wo das Integral in Bezug auf ein Produktmaß auf dem Raum über &times genommen wird; B, dann

:

die ersten zwei Integrale werden wiederholt Integrale in Bezug auf zwei Maßnahmen, beziehungsweise, und das dritte, das ein Integral in Bezug auf ein Produkt dieser zwei Maßnahmen ist.

Wenn das obengenannte Integral des absoluten Werts nicht begrenzt ist, dann können die zwei wiederholten Integrale wirklich verschiedene Werte haben. Sieh unten für eine Illustration dieser Möglichkeit.

Folgeerscheinung

Wenn für einige Funktionen g und h, dann

:

das Integral auf der richtigen Seite, die in Bezug auf ein Produktmaß ist.

Abwechselnde Lehrsatz-Behauptung

Eine andere Version des Lehrsatzes von Fubini stellt das fest, wenn A und B σ-Finite-Maß-Räume, nicht notwendigerweise abgeschlossen, und wenn irgendein sind

:

dann

: und

:.

In dieser Version ist die Bedingung, dass die Maßnahmen σ-finite sind, notwendig.

Der Lehrsatz von Tonelli

Der Lehrsatz von Tonelli (genannt nach Leonida Tonelli) ist ein Nachfolger des Lehrsatzes von Fubini. Der Beschluss des Lehrsatzes von Tonelli ist zu diesem des Lehrsatzes von Fubini identisch, aber die Annahmen sind verschieden. Der Lehrsatz von Tonelli stellt fest, dass auf dem Produkt von zwei σ-Finite-Maß-Räumen ein integriertes Produktmaß über ein wiederholtes Integral für nichtnegative messbare Funktionen, unabhängig davon bewertet werden kann, ob sie begrenztes Integral haben.

Tatsächlich, die Existenz des ersten Integrals oben (das Integral des absoluten Werts), kann durch den Lehrsatz von Tonelli (sieh unten) versichert werden.

Eine formelle Behauptung des Lehrsatzes von Tonelli ist zu diesem des Lehrsatzes von Fubini identisch, außer dass die Voraussetzungen sind, jetzt wo (X, A, μ) und (Y, B, ν) σ-Finite-Maß-Räume sind, während f X×Y zu [0, ] kartografisch darstellt.

Ein Beispiel, wo der Lehrsatz von Tonelli verwendet wird, ist im Austausch der Summierungen, als darin, wo für den ganzen x und y nichtnegativ sind. Der Kernpunkt des Lehrsatzes ist, dass der Austausch der Ordnung der Summierung hält, ob die Reihe abweicht. Tatsächlich besteht die einzige Weise, wie eine Änderung in der Größenordnung von der Summierung die Summe ändern kann, darin, wenn dort einige Subfolgen bestehen, die zu und andere abweichen, die dazu abweichen. Mit allen nichtnegativen Elementen geschieht das im festgesetzten Beispiel nicht.

Kuratowski-Ulam Lehrsatz

Der Kuratowski-Ulam Lehrsatz, genannt nach polnischen Mathematikern Kazimierz Kuratowski und Stanisław Ulam, genannt auch Lehrsatz von Fubini nach der Kategorie, ist ein ähnliches Ergebnis für die willkürlichen zweiten zählbaren Räume von Baire.

Lassen Sie X und Y die zweiten zählbaren Räume von Baire (oder, insbesondere polnischen Räume) sein, und. Dann ist der folgende gleichwertig, wenn A das Eigentum von Baire hat:

1. A ist (beziehungsweise comeager) spärlich
2. Der Satz ist comeagre in X, wo, wo der Vorsprung auf Y ist.

Selbst wenn A das Eigentum von Baire, 2 nicht hat. folgt 1.

Bemerken Sie, dass der Lehrsatz noch (vielleicht ausdruckslos) für X - willkürlicher Raum von Hausdorff und Y - Hausdorff mit zählbarem π-base hält.

Der Lehrsatz ist dem regelmäßigen Lehrsatz von Fubini für den Fall analog, wo die überlegte Funktion eine charakteristische Funktion eines Satzes in einem Produktraum, mit üblichen Ähnlichkeiten - magerer Satz mit dem Satz der Maß-Null, comeagre Satz mit einem des vollen Maßes, ein Satz mit dem Eigentum von Baire mit einer messbaren Menge ist.

Anwendungen

Integrierter Gaussian

Eine Anwendung des Lehrsatzes von Fubini ist die Einschätzung von integriertem Gaussian, der die Basis für viel Wahrscheinlichkeitstheorie ist:

:

Um zu sehen, wie der Lehrsatz von Fubini verwendet wird, um das zu beweisen, sieh integrierten Gaussian.

Das Umordnen eines bedingt konvergenten wiederholten Integrals

Der Lehrsatz von Fubini sagt uns dass wenn das Integral des absoluten

Wert ist dann begrenzt die Ordnung der Integration ist nicht von Bedeutung;

wenn wir zuerst in Bezug auf x und dann mit der Rücksicht integrieren

zu y bekommen wir dasselbe Ergebnis, als ob wir zuerst mit integrieren

respektieren Sie zu y und dann in Bezug auf x. Die Annahme

dass das Integral des absoluten Werts begrenzt ist, ist

"Lebesgue integrability".

Der wiederholte integrierte

:

läuft absolut nicht zusammen (d. h. das Integral des

absoluter Wert ist nicht begrenzt):

:

\left |\frac {x^2-y^2} {(x^2+y^2) ^2 }\\Recht | \,\text {d} y \,\text {d} x =\infty. </math>

Dass die Annahme von Lebesgue integrability im Lehrsatz von Fubini

kann nicht fallen gelassen sein kann durch das Überprüfen dieses besonderen gesehen werden

wiederholtes Integral. Das Stellen "dx dy" im Platz

"dy dx" hat die Wirkung, den Wert von zu multiplizieren

das Integral durch 1 wegen der Antisymmetrie des

Funktion, die wird integriert. Deshalb, wenn der Wert des

integriert ist Null, "dx dy" im Platz von stellend

"dy dx" ändert wirklich den Wert des Integrals.

Das ist tatsächlich, was in diesem Fall geschieht.

Beweis

Eine Weise zu tun ist das, ohne den Lehrsatz von Fubini zu verwenden, wie folgt:

:

\begin {richten }\aus

& {} \quad \int_0^1\int_0^1

\left |\frac {x^2-y^2} {(x^2+y^2) ^2 }\\Recht | \,\text {d} x \,\text {d} y =\int_0^1\left [\int_0^y

\frac {y^2-x^2} {(x^2+y^2) ^2 }\\, \text {d} x +\int_y^1\frac {x^2-y^2} {(x^2+y^2) ^2 }\\, \text {d} x\right] \, \text {d} y \\

& = \int_0^1\left (\frac {1} {2y} + \frac {1} {2y}-\frac {1} {y^2+1 }\\Recht) \, \text {d} y =\int_0^1 \frac {1} {y }\\, \text {d} y-\int_0^1\frac {1} {1+y^2 }\\, \text {d} y.

\end {richten }\aus

</Mathematik>

Einschätzung

Erstens betrachten wir das "Innere" als integriert.

:\begin {richten }\aus

& {} \quad \int_0^1\frac {x^2-y^2} {(x^2+y^2) ^2 }\\, \text {d} y \\

& = \int_0^1 \frac {x^2 + y^2 - 2y^2} {(x^2 + y^2) ^2} \, \text {d} y \\

& = \int_0^1 \frac {1} {x^2 + y^2} \, \text {d} y + \int_0^1 \frac {-2y^2} {(x^2 + y^2) ^2} \, \text {d} y \\

& = \int_0^1 \frac {1} {x^2 + y^2} \, \text {d} y + \int_0^1 y \frac {d} {\\Text {d} y\\left (\frac {1} {x^2 + y^2 }\\Recht) \, \\

& = \int_0^1 \frac {1} {x^2 + y^2} \, \text {d} y + \left (\left [\frac {y} {x^2 + y^2 }\\Recht] _ {y=0} ^1 - \int_0^1 \frac {1} {x^2 + y^2} \, \text {d} y\right) \text {(durch Teile)} \\

& = \frac {1} {1 + x^2}.

\end {richten }\aus</Mathematik>

Das passt auf das in Bezug auf y integrierte "Innere" auf;

jetzt tun wir die in Bezug auf x integrierte "Außenseite":

:

\left [\arctan (x) \right] _0^1

\arctan (1)-\arctan (0)

\frac {\\Pi} {4}. </Mathematik>

So haben wir

:und:

Der Lehrsatz von Fubini deutet an, dass da sich diese zwei wiederholten Integrale unterscheiden, muss das Integral des absoluten Werts  sein.

Behauptung

Wenn

:

dann die zwei wiederholten Integrale

:

kann verschiedene begrenzte Werte haben.

Starke Versionen

Die stärkeren Versionen des Lehrsatzes von Fubini, wo, wie man nicht mehr annimmt, die Funktion messbar ist, aber bloß dass die zwei wiederholten Integrale gut definiert werden und bestehen, sind der Zermelo-Fraenkel Standardaxiome der Mengenlehre unabhängig. Das Axiom von Martin deutet an, dass dort eine Funktion auf dem Einheitsquadrat besteht, dessen wiederholte Integrale nicht gleich sind, während eine Variante des Axioms von Freiling der Symmetrie andeutet, dass ein starker Fubini-Typ-Lehrsatz für [0, 1] wirklich hält, und wann auch immer die zwei wiederholten Integrale bestehen, sind sie gleich. Sieh Liste von in ZFC unentscheidbaren Behauptungen.

Siehe auch

• Der Grundsatz von Cavalieri (ein besonderer Fall des Lehrsatzes von Fubini)
• Formel von Coarea

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