In der mathematischen Analyse ist ein Maß auf einem Satz eine systematische Weise, eine Zahl jeder passenden Teilmenge dieses Satzes zuzuteilen, der intuitiv als die Größe der Teilmenge interpretiert ist. In diesem Sinn ist ein Maß eine Generalisation der Konzepte der Länge, des Gebiets und des Volumens. Ein besonders wichtiges Beispiel ist das Maß von Lebesgue auf einem Euklidischen Raum, der die herkömmliche Länge, das Gebiet und das Volumen der Euklidischen Geometrie zu passenden Teilmengen des n-dimensional Euklidischen Raums R zuteilt. Zum Beispiel ist das Maß von Lebesgue des Zwischenraums [0, 1] in den reellen Zahlen seine Länge in der täglichen Bedeutung des Wortes, spezifisch 1.

Um sich als ein Maß zu qualifizieren (sieh Definition unten), muss eine Funktion, die eine nichtnegative reelle Zahl oder +  zu Teilmengen eines Satzes zuteilt, einige Bedingungen befriedigen. Eine wichtige Bedingung ist zählbare Additivität. Diese Bedingung stellt fest, dass die Größe der Vereinigung einer Folge von zusammenhanglosen Teilmengen der Summe der Größen der Teilmengen gleich ist. Jedoch ist es im allgemeinen Unmöglichen, um eine konsequente Größe zu jeder Teilmenge eines gegebenen Satzes zu vereinigen und auch die anderen Axiome eines Maßes zu befriedigen. Dieses Problem wurde durch das Definieren des Maßes nur auf einer Subsammlung aller Teilmengen aufgelöst; die Teilmengen, auf denen das Maß definiert werden soll, werden messbar genannt, und sie sind erforderlich, einen σ-algebra zu bilden, bedeutend, dass Vereinigungen, Kreuzungen und Ergänzungen von Folgen von messbaren Teilmengen messbar sind. Nichtmessbare Mengen in einem Euklidischen Raum, auf dem das Maß von Lebesgue durchweg nicht definiert werden kann, werden im Sinne des schlecht verwechselt mit ihren Ergänzungen notwendigerweise kompliziert; tatsächlich ist ihre Existenz eine nichttriviale Folge des Axioms der Wahl.

Maß-Theorie wurde in aufeinander folgenden Stufen während der späten 19. und frühen 20. Jahrhunderte von Émile Borel, Henri Lebesgue, Johann Radon und Maurice Fréchet, unter anderen entwickelt. Die Hauptanwendungen von Maßnahmen sind in den Fundamenten des Lebesgues integriert im axiomatisation von Andrey Kolmogorov der Wahrscheinlichkeitstheorie und in der ergodic Theorie. In der Integrationstheorie, ein Maß angebend, erlaubt, Integrale auf Räumen zu definieren, die allgemeiner sind als Teilmengen des Euklidischen Raums; außerdem ist das Integral in Bezug auf das Maß von Lebesgue auf Euklidischen Räumen allgemeiner und hat eine reichere Theorie als sein Vorgänger, der integrierte Riemann. Wahrscheinlichkeitstheorie denkt Maßnahmen, die dem ganzen Satz die Größe 1 zuteilen, und denkt, dass messbare Teilmengen Ereignisse sind, deren Wahrscheinlichkeit durch das Maß gegeben wird. Theorie von Ergodic denkt Maßnahmen, die invariant darunter sind, oder natürlich aus, ein dynamisches System entstehen.

Definition

Lassen Sie, ein σ-algebra über einen Satz zu sein. Eine Funktion von zur verlängerten Linie der reellen Zahl wird ein Maß genannt, wenn es die folgenden Eigenschaften befriedigt:

• Nichtnegativität:

: für den ganzen

• Zählbare Additivität (oder σ-additivity]]): Für alle zählbaren Sammlungen von zusammenhanglosem pairwise setzt ein:

:

• Ungültiger leerer Satz:

:

Man kann verlangen, dass mindestens ein Satz E begrenztes Maß hat. Dann hat die Nullmenge automatisch Maß-Null wegen der zählbaren Additivität, weil und begrenzt ist, wenn, und nur wenn der leere Satz Maß-Null hat.

Das Paar wird einen messbaren Raum genannt, die Mitglieder dessen werden messbare Mengen genannt, und das dreifache wird a genannt.

Wenn nur die zweiten und dritten Bedingungen der Definition des Maßes oben entsprochen werden, und am grössten Teil von einen der Werte übernimmt, dann ein unterzeichnetes Maß genannt wird.

Ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist ein Maß mit dem Gesamtmaß ein (d. h.,); ein Wahrscheinlichkeitsraum ist ein Maß-Raum mit einem Wahrscheinlichkeitsmaß.

Für Maß-Räume, die auch topologische Räume sind, können verschiedene Vereinbarkeitsbedingungen für das Maß und die Topologie gelegt werden. Die meisten Maßnahmen entsprochen in der Praxis in der Analyse (und in vielen Fällen auch in der Wahrscheinlichkeitstheorie) sind Maßnahmen von Radon. Maßnahmen von Radon haben eine alternative Definition in Bezug auf geradlinigen functionals auf dem lokal konvexen Raum von dauernden Funktionen mit der Kompaktunterstützung. Diese Annäherung wird von Bourbaki (2004) und mehrere andere Autoren genommen. Weil mehr Details Radon sehen messen.

Eigenschaften

Mehrere weitere Eigenschaften können aus der Definition eines zählbar zusätzlichen Maßes abgeleitet werden.

Monomuskeltonus

Ein Maß μ ist monotonisch: Wenn E und E messbare Mengen mit E  E dann sind

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Maßnahmen von unendlichen Vereinigungen von messbaren Mengen

Ein Maß μ ist zählbar subzusätzlich: Wenn E, E, E, … eine zählbare Folge von Sätzen in Σ, nicht notwendigerweise zusammenhanglos, dann ist

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Ein Maß μ ist von unten dauernd: Wenn E, E, E, … messbare Mengen sind und E eine Teilmenge von E für den ganzen n ist, dann ist die Vereinigung der Sätze E, und messbar

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Maßnahmen von unendlichen Kreuzungen von messbaren Mengen

Ein Maß μ ist von oben dauernd: Wenn E, E, E, … messbare Mengen sind und E eine Teilmenge von E für den ganzen n ist, dann ist die Kreuzung der Sätze E messbar; außerdem, wenn mindestens ein der E begrenztes Maß, dann haben

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Dieses Eigentum ist ohne die Annahme falsch, dass mindestens ein der E begrenztes Maß haben. Zum Beispiel, für jeden n  N, lassen Sie

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der alle unendlichen Lebesgue messen lassen, aber die Kreuzung ist leer.

Mit dem Sigma begrenzte Maßnahmen

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Ein Maß-Raum (X, Σ, μ) wird begrenzt genannt, wenn μ (X) eine begrenzte reelle Zahl (aber nicht ) ist. Es wird σ-finite genannt, wenn X in eine zählbare Vereinigung von messbaren Mengen des begrenzten Maßes zersetzt werden kann. Ein Satz in einem Maß-Raum hat σ-Finite-Maß, wenn es eine zählbare Vereinigung von Sätzen mit dem begrenzten Maß ist.

Zum Beispiel sind die reellen Zahlen mit dem Standardmaß von Lebesgue σ-finite, aber nicht begrenzt. Denken Sie die geschlossenen Zwischenräume [k, k+1] für alle ganzen Zahlen k; es gibt zählbar viele solche Zwischenräume, jeder hat Maß 1, und ihre Vereinigung ist die komplette echte Linie. Denken Sie wechselweise die reellen Zahlen mit dem Zählen-Maß, das jedem begrenzten Satz von reals die Zahl von Punkten im Satz zuteilt. Dieser Maß-Raum ist nicht σ-finite, weil jeder Satz mit dem begrenzten Maß nur begrenzt viele Punkte enthält, und man unzählbar viele solche Sätze brauchen würde, um die komplette echte Linie zu bedecken. Die σ-Finite-Maß-Räume haben einige sehr günstige Eigenschaften; σ-finiteness kann in dieser Beziehung mit dem Eigentum von Lindelöf von topologischen Räumen verglichen werden. Von ihnen kann auch als eine vage Generalisation der Idee gedacht werden, dass ein Maß-Raum 'unzählbares Maß' haben kann.

Vollständigkeit

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Eine messbare Menge X wird eine Nullmenge wenn μ (X) =0 genannt. Eine Teilmenge einer Nullmenge wird einen unwesentlichen Satz genannt. Ein unwesentlicher Satz braucht nicht messbar zu sein, aber jeder messbare unwesentliche Satz ist automatisch eine Nullmenge. Ein Maß wird abgeschlossen genannt, wenn jeder unwesentliche Satz messbar ist.

Ein Maß kann zu einem ganzen durch das Betrachten des σ-algebra von Teilmengen Y erweitert werden, die sich durch einen unwesentlichen Satz von einer messbaren Menge X, d. h. solch unterscheiden, dass der symmetrische Unterschied X und Y in einer Nullmenge enthalten wird. Man definiert μ (Y), um μ (X) gleichzukommen.

Additivität

Maßnahmen sind erforderlich, zählbar zusätzlich zu sein. Jedoch kann die Bedingung wie folgt gestärkt werden.

Für jeden Satz I und jeden Satz von nichtnegativem r, definieren Sie:

:

D. h. wir definieren die Summe, um das Supremum aller Summen von begrenzt vielen von ihnen zu sein.

Ein Maß darauf ist - Zusatz wenn für irgendwelchen

Bemerken Sie, dass die zweite Bedingung zur Behauptung gleichwertig ist, dass das Ideal von Nullmengen - abgeschlossen ist.

Beispiele

Einige wichtige Maßnahmen werden hier verzeichnet.

• Das Zählen-Maß wird durch μ (S) = Zahl der Elemente in S definiert.
• Das Lebesgue-Maß auf R ist ein ganzes Maß der Übersetzung-invariant auf einem σ-algebra, der die Zwischenräume in solchem R dass μ ([0,1]) = 1 enthält; und jedes andere Maß mit diesen Eigenschaften erweitert Maß von Lebesgue.
• Kreisförmiges Winkelmaß ist invariant unter der Folge, und Hyperbelwinkelmaß ist invariant unter dem kartografisch darstellenden Druck.
• Das Maß von Haar für eine lokal kompakte topologische Gruppe ist eine Generalisation des Maßes von Lebesgue (und auch des Zählens des Maßes und kreisförmigen Winkelmaßes) und hat ähnliche Einzigartigkeitseigenschaften.
• Das Hausdorff-Maß ist eine Generalisation des Maßes von Lebesgue zu Sätzen mit der Dimension der nichtganzen Zahl, insbesondere fractal Sätze.
• Jeder Wahrscheinlichkeitsraum verursacht ein Maß, das den Wert 1 auf dem ganzen Raum nimmt (und deshalb alle seine Werte im Einheitszwischenraum [0,1] nimmt). Solch ein Maß wird ein Wahrscheinlichkeitsmaß genannt. Sieh Wahrscheinlichkeitsaxiome.
• Die Dirac messen δ (vgl. Delta-Funktion von Dirac) wird durch δ (S) = χ (a) gegeben, wo χ die charakteristische Funktion von S ist. Das Maß eines Satzes ist 1, wenn es den Punkt a und 0 sonst enthält.

Andere 'genannte' in verschiedenen Theorien verwendete Maßnahmen schließen ein: Maß von Borel, Maß von Jordan, ergodic Maß, Maß von Euler, Maß von Gaussian, Maß von Baire, Maß von Radon und Maß von Young.

In der Physik ist ein Beispiel eines Maßes Raumvertrieb der Masse (sieh z.B, Ernst-Potenzial), oder ein anderes nichtnegatives umfassendes Eigentum, erhalten (sieh Bewahrungsgesetz für eine Liste von diesen), oder nicht. Negative Werte führen zu unterzeichneten Maßnahmen, sehen "Generalisationen" unten.

Maß von Liouville, bekannt auch als die natürliche Volumen-Form auf einer Symplectic-Sammelleitung, ist im klassischen statistisch und Mechanik von Hamiltonian nützlich.

Maß von Gibbs wird in der statistischen Mechanik, häufig unter dem Namen kanonisches Ensemble weit verwendet.

Nichtmessbare Mengen

:

Wenn, wie man annimmt, das Axiom der Wahl, nicht wahr ist, sind alle Teilmengen des Euklidischen Raums messbarer Lebesgue; Beispiele solcher Sätze schließen den Satz von Vitali und die nichtmessbaren Mengen ein, die durch das Paradox von Hausdorff und das Paradox von Banach-Tarski verlangt sind.

Generalisationen

Zu bestimmten Zwecken ist es nützlich, ein "Maß" zu haben, dessen Werte auf den nichtnegativen reals oder die Unendlichkeit nicht eingeschränkt werden. Zum Beispiel wird eine zählbar zusätzliche Satz-Funktion mit Werten in den (unterzeichneten) reellen Zahlen ein unterzeichnetes Maß genannt, während solch eine Funktion mit Werten in den komplexen Zahlen ein kompliziertes Maß genannt wird. Maßnahmen, die Werte in Banachräumen nehmen, sind umfassend studiert worden. Ein Maß, das Werte im Satz von selbst adjungierten Vorsprüngen auf einem Raum von Hilbert nimmt, wird ein Vorsprung-geschätztes Maß genannt; diese werden in der Funktionsanalyse für den geisterhaften Lehrsatz verwendet. Wenn es notwendig ist, die üblichen Maßnahmen zu unterscheiden, die nichtnegative Werte von Generalisationen, der Begriff nehmen, wird positives Maß verwendet. Positive Maßnahmen werden unter der konischen Kombination, aber nicht allgemeinen geradlinigen Kombination geschlossen, während unterzeichnete Maßnahmen der geradlinige Verschluss von positiven Maßnahmen sind.

Eine andere Generalisation ist das begrenzt zusätzliche Maß, die manchmal Inhalt genannt werden. Das ist dasselbe als ein Maß, außer dass, anstatt zählbare Additivität zu verlangen, wir nur begrenzte Additivität verlangen. Historisch wurde diese Definition zuerst verwendet. Es stellt sich heraus, dass im Allgemeinen begrenzt zusätzliche Maßnahmen mit Begriffen wie Grenzen von Banach, der Doppel-von L und Stein-Čech compactification verbunden werden. Alle werden diese so oder so mit dem Axiom der Wahl verbunden.

Eine Anklage ist eine Generalisation in beiden Richtungen: Es ist ein begrenzt zusätzliches, unterzeichnetes Maß.

Siehe auch

• Fast überall
• Erweiterungslehrsatz von Caratheodory
• Der Lehrsatz von Fubini
• Krause Maß-Theorie
• Geometrische Maß-Theorie
• Hausdorff messen
• Inneres Maß
• Integration von Lebesgue
• Lebesgue messen
• Das Heben der Theorie
• Messbare Funktion
• Außenmaß
• Produktmaß
• Pushforward messen
• Vektor-Maß
• Volumen-Form
• Messbarer grundsätzlicher
• Robert G. Bartle (1995) die Elemente des Integrations- und Lebesgue-Maßes, Zwischenwissenschaft von Wiley.

• Kapitel III.
• R. M. Dudley, 2002. Echte Analyse und Wahrscheinlichkeit. Universität von Cambridge Presse.

• Die zweite Ausgabe.
• D. H. Fremlin, 2000. Maß-Theorie. Torres Fremlin.
• Paul Halmos, 1950. Maß-Theorie. Van Nostrand and Co.
• R. Duncan Luce und Louis Narens (1987). "Maß, Theorie,", v. 3, Seiten 428-32.
• M. E. Munroe, 1953. Einführung ins Maß und die Integration. Addison Wesley.
• Shilov, G. E. und Gurevich, B. L., 1978. Integriert, Maß und Ableitung: Eine Vereinigte Annäherung, Richard A. Silverman, trans. Veröffentlichungen von Dover. Internationale Standardbuchnummer 0-486-63519-8. Betont integrierten Daniell.

Links

• Tutorenkurs: Maß-Theorie für Modepuppen
• Und doch ein anderer, noch sehr leserfreundlich, Einführung in die Maß-Theorie (mit der Anwendung auf die quantitative Finanz im Sinn)