In der komplizierten Analyse, einem Zweig der Mathematik, beschreibt der Casorati-Weierstrass Lehrsatz das Verhalten von Meromorphic-Funktionen in der Nähe von wesentlichen Eigenartigkeiten. Es wird für Karl Theodor Wilhelm Weierstrass und Felice Casorati genannt. In der russischen Literatur ist es

der Lehrsatz von genanntem Sokhotski.

Formelle Behauptung des Lehrsatzes

Fangen Sie mit einer offenen Teilmenge U im komplizierten Flugzeug an, das die Nummer z und eine Funktion f enthält, der holomorphic auf U \{z} ist, aber eine wesentliche Eigenartigkeit an z hat. Der Casorati-Weierstrass Lehrsatz setzt dann das fest

:if V ist jede Nachbarschaft von in U enthaltenem z, dann f (V \{z}) ist in C dicht.

Das kann auch wie folgt festgesetzt werden:

:for irgendwelcher ε> 0, δ> 0, und komplexe Zahl w, dort besteht eine komplexe Zahl z in U mit |z − z.

Diese Form des Lehrsatzes gilt auch, wenn f nur meromorphic ist.

Der Lehrsatz wird durch den großen Lehrsatz von Picard beträchtlich gestärkt, der in der Notation oben festsetzt, dass f jeden komplizierten Wert, mit einer möglicher Ausnahme, ungeheuer häufig auf V annimmt.

Im Fall, dass f eine komplette Funktion und a=&infin ist; der Lehrsatz sagt dass die Werte f (z)

nähern Sie sich jeder komplexen Zahl und ∞ da z zur Unendlichkeit neigt.

Es ist bemerkenswert, dass das für Holomorphic-Karten in höheren Dimensionen, nicht hält

als das berühmte Beispiel von Shows von Pierre Fatou.

Beispiele

Die Funktion f (z) = exp (1/z) hat eine wesentliche Eigenartigkeit an 0, aber die Funktion g (z) = 1/z tut nicht (es hat einen Pol an 0).

Denken Sie die Funktion

Diese Funktion hat die folgende Reihe von Laurent über den wesentlichen einzigartigen Punkt an 0:

Weil für alle Punkte z  0 besteht, wissen wir, dass ƒ (z) in der durchstochenen Nachbarschaft von z = 0 analytisch ist. Folglich ist es eine isolierte Eigenartigkeit, sowie eine wesentliche Eigenartigkeit zu sein.

Mit einer Änderung der Variable zu Polarkoordinaten unsere Funktion wird ƒ (z) = e:

Die Einnahme des absoluten Werts beider Seiten:

So, für Werte von θ solch das, weil θ> 0, wir als, und dafür haben

Denken Sie, was zum Beispiel geschieht, wenn z Werte auf einem Kreis des Diameters 1/R Tangente zur imaginären Achse nimmt. Dieser Kreis wird durch r = (1/R) weil θ gegeben. Dann,

So, kann jeden positiven Wert außer der Null durch die passende Wahl von R nehmen. Als auf dem Kreis, mit befestigtem R. So dieser Teil der Gleichung:

übernimmt alle Werte auf dem Einheitskreis ungeheuer häufig. Folglich f übernimmt (z) den Wert jeder Zahl im komplizierten Flugzeug abgesehen von der Null ungeheuer häufig.

Beweis des Lehrsatzes

Ein kurzer Beweis des Lehrsatzes ist wie folgt:

Nehmen Sie wie gegeben, dass Funktion f meromorphic auf einer durchstochenen Nachbarschaft V \{z} ist, und dass z eine wesentliche Eigenartigkeit ist. Nehmen Sie über den Widerspruch an, dass ein Wert b besteht, in der Nähe von dem die Funktion nie kommen kann; das ist: Nehmen Sie an, dass es einen komplizierten Wert b und einen ε> 0 solches dass |f (z) &minus gibt; b  ε für den ganzen z in V, an dem f definiert wird.

Dann die neue Funktion:

muss holomorphic auf V \{z}, mit zeroes an den Polen von f, und begrenzt durch 1/ε sein. Es kann deshalb analytisch fortgesetzt (oder unaufhörlich, oder holomorphically erweitert erweitert werden) zu allen V durch den analytischen Verlängerungslehrsatz von Riemann. So kann die ursprüngliche Funktion in Bezug auf g ausgedrückt werden:

für alle Argumente z in V \{z}. Ziehen Sie die zwei möglichen Fälle für in Betracht

Wenn die Grenze 0 ist, dann hat f einen Pol an z. Wenn die Grenze nicht 0 ist, dann ist z eine absetzbare Eigenartigkeit von f. Beide Möglichkeiten widersprechen der Annahme, dass der Punkt z eine wesentliche Eigenartigkeit der Funktion f ist. Folglich ist die Annahme falsch, und der Lehrsatz hält.

Geschichte

Die Geschichte dieses wichtigen Lehrsatzes wird durch beschrieben

Collingwood und Lohwater.

Es wurde von Weierstrass 1876 (in Deutsch) und von Sokhotski 1873 (in Russisch) veröffentlicht.

So wurde es den Lehrsatz von Sokhotski in der russischen Literatur und den Lehrsatz von Weierstrass in genannt

die Westliteratur.

Derselbe Lehrsatz wurde von Casorati 1868 und veröffentlicht

Briot und Bouquet in der Erstausgabe ihres Buches (1859).

Jedoch haben Briot und Bouquet diesen Lehrsatz von der zweiten Ausgabe (1875) entfernt.

• Abschnitt 31, Lehrsatz 2 (Seiten 124-125)