Im mathematischen Feld der komplizierten Analyse ist ein Pol einer Meromorphic-Funktion ein bestimmter Typ der Eigenartigkeit, die sich wie die Eigenartigkeit an z = 0 benimmt. Für einen Pol der Funktion f (z) am Punkt nähert sich die Funktionsannäherungsunendlichkeit als z a.

Definition

Nehmen Sie formell an, dass U eine offene Teilmenge des komplizierten Flugzeugs C ist, eines Elements von U und f zu sein: U \ist {ein}  C eine Funktion, die holomorphic über sein Gebiet ist. Wenn dort eine Holomorphic-Funktion g besteht: U  C und eine positive ganze Zahl n, solch das für den ganzen z in U \{ein }\

:

hält dann zu sein, hat einen Polen von f genannt. Das kleinste solcher n wird die Ordnung des Pols genannt. Ein Pole des Auftrags 1 wird einen einfachen Polen genannt.

Einige Autoren erlauben der Ordnung eines Pols, Null zu sein, in welchem Fall ein Pol der Ordnungsnull entweder ein regelmäßiger Punkt oder eine absetzbare Eigenartigkeit ist. Jedoch ist es üblicher, die Ordnung eines Pols zu verlangen, positiv zu sein.

Von obengenannten mehreren gleichwertigen Charakterisierungen kann abgeleitet werden:

Wenn n die Ordnung des Pols a, dann notwendigerweise g (a) &ne ist; 0 für die Funktion g im obengenannten Ausdruck. So können wir stellen

:

für einen h, der holomorphic in einer offenen Nachbarschaft von a ist und eine Null des Auftrags n an a hat. So informell könnte man sagen, dass Pole als Gegenstücke von Nullen von Holomorphic-Funktionen vorkommen.

Außerdem durch den holomorphy von g kann f als ausgedrückt werden:

:

Das ist eine Reihe von Laurent mit dem begrenzten Hauptteil. Die Holomorphic-Funktion (auf U) wird den regelmäßigen Teil von f genannt. So der Punkt eines Pols des Auftrags n von f zu sein, wenn, und nur wenn alle Begriffe in der Reihenentwicklung von Laurent von f ringsherum unter dem Grad n verschwinden und der Begriff im Grad, n nicht Null ist.

Pol an der Unendlichkeit

Es kann für eine komplizierte Funktion der Begriff definiert werden, einen Pol am Punkt an der Unendlichkeit zu haben. In diesem Fall muss U eine Nachbarschaft der Unendlichkeit sein. Zum Beispiel, das Äußere jedes geschlossenen Balls. Jetzt, für die vorherige Definition zu verwenden, sollte eine Bedeutung für g, der holomorphic an  ist, gegeben werden und auch für den Begriff, eine Null an der Unendlichkeit "zu haben", wie am begrenzten Punkt a tut. Stattdessen kann eine Definition gegeben werden, aus der Definition an einem begrenzten Punkt durch "das Holen" des Punkts an der Unendlichkeit zu einem begrenzten Punkt anfangend. Die Karte tut das. Dann, definitionsgemäß, hat eine Funktion, f, holomorphic in einer Nachbarschaft der Unendlichkeit einen Pol an der Unendlichkeit, wenn die Funktion (der holomorphic in einer Nachbarschaft dessen sein wird), einen Pol daran hat, dessen Ordnung als die Ordnung des Pols an der Unendlichkeit genommen wird.

Pol einer Funktion auf einer komplizierten Sammelleitung

Im Allgemeinen eine Funktion habend, die holomorphic in einer Nachbarschaft vom Punkt in der komplizierten mannigfaltigen M ist, wird es gesagt, dass f einen Pol an vom Auftrag n hat, wenn, eine Karte habend, die Funktion einen Pol des Auftrags n an hat (der genommen werden kann als, Null zu sein, wenn eine günstige Wahl der Karte gemacht wird).

]

Der Pol an der Unendlichkeit ist das einfachste nichttriviale Beispiel dieser Definition, in der M genommen wird, um der Bereich von Riemann zu sein, und die Karte genommen wird, um zu sein.

Beispiele

• Die Funktion

::

: hat einen Pol des Auftrags 1 oder einfachen Pol daran.

Die Funktion::

: hat einen Pol des Auftrags 2 an und einen Pol des Auftrags 3 daran.

Die Funktion::

: hat Pole des Auftrags 1 an zu sehen, dass, in der Reihe von Taylor um den Ursprung schreiben Sie.

Die Funktion::

: hat einen einzelnen Pol an der Unendlichkeit des Auftrags 1.

Fachsprache und Verallgemeinerungen

Wenn die erste Ableitung einer Funktion f einen einfachen Pol an a, dann hat eines Zweigpunkts von f zu sein. (Das gegenteilige braucht nicht wahr zu sein).

Eine nichtabsetzbare Eigenartigkeit, die nicht ein Pol oder ein Zweigpunkt ist, wird eine wesentliche Eigenartigkeit genannt.

Eine komplizierte Funktion, die holomorphic abgesehen von einigen isolierten Eigenartigkeiten ist, und dessen nur Eigenartigkeiten Pole sind, wird meromorphic genannt.

Siehe auch

• Kontrolle

theory#Stability

• Filterdesign
• Filter (Signalverarbeitung)
• Stabilitätskriterium von Nyquist
• Mit dem Polnullanschlag
• Rückstand (komplizierte Analyse)
• Null (komplizierte Analyse)

Außenverbindungen

• Modul für Nullen und Pole durch John H. Mathews