In der Mathematik und Signalverarbeitung wandelt der Z-transform ein getrenntes Zeitabschnitt-Signal um, das eine Folge von reellen Zahlen oder komplexen Zahlen in eine komplizierte Frequenzgebiet-Darstellung ist.

Es kann betrachtet werden, weil sich eine von Laplace gleichwertige diskrete Zeit verwandelt. Diese Ähnlichkeit wird in der Theorie der Rechnung des zeitlichen Rahmens erforscht.

Geschichte

Die als der Z-transform jetzt bekannte Grundidee war Laplace bekannt, und 1947 von W. Hurewicz als eine lenksame Weise wiedereingeführt, geradlinig, Unterschied-Gleichungen des unveränderlichen Koeffizienten zu lösen.

Es wurde später "der z-transform" von Ragazzini synchronisiert, und Zadeh in den probierten Daten kontrollieren Gruppe an der Universität von Columbia 1952.

Der modifizierte oder fortgeschrittene Z-transform wurde später entwickelt und durch E verbreitet. Ich. Jury.

Die innerhalb des Z-transform enthaltene Idee ist auch in der mathematischen Literatur als die Methode bekannt, Funktionen zu erzeugen, die zurück schon in 1730 verfolgt werden können, als es von de Moivre in Verbindung mit der Wahrscheinlichkeitstheorie eingeführt wurde.

Von einer mathematischen Ansicht kann der Z-transform auch als eine Reihe von Laurent angesehen werden, wo man die Folge von Zahlen unter der Rücksicht als (Laurent) Vergrößerung einer analytischen Funktion ansieht.

Definition

Der Z-transform, wie viele integriert verwandelt sich, kann definiert werden, weil sich entweder ein einseitiger oder zweiseitiges verwandeln.

Bilateraler Z-transform

Der bilaterale oder zweiseitige Z-transform eines Signals x [n] der diskreten Zeit ist die formelle Macht-Reihe X (z) definiert als

:

wo n eine ganze Zahl ist und z, im Allgemeinen, eine komplexe Zahl ist:

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wo A der Umfang von z ist, ist j die imaginäre Einheit, und ist das komplizierte Argument (auch gekennzeichnet als Winkel oder Phase) in radians.

Einseitiger Z-transform

Wechselweise in Fällen, wo x [n] nur für n  0 definiert wird, wird der einseitig bespannte oder einseitige Z-transform als definiert

:

In der Signalverarbeitung kann diese Definition verwendet werden, um den Z-transform der Einheitsimpuls-Antwort einer diskreten Zeit kausales System zu bewerten.

Ein wichtiges Beispiel des einseitigen Z-transform ist die Wahrscheinlichkeit erzeugende Funktion, wo der Bestandteil die Wahrscheinlichkeit ist, dass eine getrennte zufällige Variable den Wert nimmt, und die Funktion gewöhnlich als, in Bezug darauf geschrieben wird. Die Eigenschaften von Z-transforms haben (unten) nützliche Interpretationen im Zusammenhang der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Geophysikalische Definition

In der Geophysik ist die übliche Definition für den Z-transform eine Macht-Reihe in z im Vergleich damit. Diese Tagung wird von Robinson und Treitel und von Kanasewich verwendet. Die geophysikalische Definition ist

:

Die zwei Definitionen sind gleichwertig; jedoch läuft der Unterschied auf mehrere Änderungen hinaus. Zum Beispiel bewegen sich die Position von Nullen und Pole aus dem Einheitskreis mit einer Definition, zur Außenseite der Einheitskreis mit der anderen Definition. So ist Sorge erforderlich zu bemerken, welche Definition von einem besonderen Autor verwendet wird.

Umgekehrter Z-transform

Der umgekehrte Z-transform ist

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wo ein gegen den Uhrzeigersinn geschlossener Pfad ist, der den Ursprung und völlig im Gebiet der Konvergenz (ROC) umgibt. Im Fall, wo der ROC kausal ist (sieh Beispiel 2), bedeutet das, dass der Pfad alle Pole dessen umgeben muss.

Ein spezieller Fall dieser integrierten Kontur kommt vor, wenn der Einheitskreis ist (und verwendet werden kann, wenn der ROC den Einheitskreis einschließt, der immer versichert wird, wenn stabil ist, d. h. alle Pole innerhalb des Einheitskreises sind). Der umgekehrte Z-transform vereinfacht zur umgekehrten diskreten Zeit, die Fourier umgestaltet:

:

Der Z-transform mit einer begrenzten Reihe von n und einer begrenzten Zahl von Z-Werten gleichförmig unter Drogeneinfluss kann effizient über den FFT Algorithmus von Bluestein geschätzt werden. Die diskrete Zeit Fourier verwandelt sich (DTFT) (um mit dem getrennten Fourier verwandelt sich (DFT) nicht verwirrt zu sein), ist ein spezieller Fall solch eines erhaltenen Z-Transforms durch das Einschränken z, um auf dem Einheitskreis zu liegen.

Gebiet der Konvergenz

Das Gebiet der Konvergenz (ROC) ist der Satz von Punkten im komplizierten Flugzeug, für das die Z-transform Summierung zusammenläuft.

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Beispiel 1 (kein ROC)

Lassen. Wenn es sich auf dem Zwischenraum ausbreitet, wird es

:

Das Schauen an der Summe

:

Deshalb gibt es keine Werte davon befriedigen diese Bedingung.

Beispiel 2 (kausaler ROC)

Lassen Sie (wo die Schritt-Funktion von Heaviside ist). Wenn es sich auf dem Zwischenraum ausbreitet, wird es

:Das Schauen an der Summe:

Die letzte Gleichheit entsteht aus der unendlichen geometrischen Reihe, und die Gleichheit hält nur wenn

Beispiel 3 (antikausaler ROC)

Lassen Sie (wo die Schritt-Funktion von Heaviside ist). Wenn es sich auf dem Zwischenraum ausbreitet, wird es:Das Schauen an der Summe::

Mit der unendlichen geometrischen Reihe, wieder, hält die Gleichheit nur wenn

So ist der ROC

Was differenziert, ist dieses Beispiel vom vorherigen Beispiel nur der ROC. Das ist absichtlich, um zu demonstrieren, dass das umgestalten Ergebnis allein ungenügend ist.

Beispiel-Beschluss

Beispiele 2 & 3 klar Show, dass der Z-transform dessen wenn einzigartig ist, und wenn nur er den ROC angibt. Das Schaffen des mit dem Polnullanschlags für den kausalen und antikausalen Fall zeigt, dass der ROC für jeden Fall den Pol nicht einschließt, der an 0.5 ist. Das streckt sich bis zu Fälle mit vielfachen Polen aus: Der ROC wird Pole nie enthalten.

Im Beispiel 2 gibt das kausale System einen ROC nach, der einschließt, während das antikausale System im Beispiel 3 Erträge ein ROC, der einschließt.

In Systemen mit vielfachen Polen ist es möglich, einen ROC zu haben, der einschließt weder noch. Der ROC schafft ein kreisförmiges Band. Zum Beispiel, hat Pole an 0.5 und 0.75. Der ROC wird sein

Die Stabilität eines Systems kann auch durch das Wissen des ROC allein bestimmt werden. Wenn der ROC den Einheitskreis (d. h.,) dann enthält, ist das System stabil. In den obengenannten Systemen ist das kausale System (Beispiel 2) stabil, weil den Einheitskreis enthält.

Wenn Sie ein Z-transform eines Systems ohne einen ROC zur Verfügung gestellt werden (d. h., ein zweideutiger), können Sie einen einzigartigen bestimmen, vorausgesetzt dass Sie den folgenden wünschen:

• Stabilität
• Kausalität

Wenn Sie Stabilität dann brauchen, muss der ROC den Einheitskreis enthalten.

Wenn Sie ein kausales System dann brauchen, muss der ROC Unendlichkeit enthalten, und die Systemfunktion wird eine Recht-seitige Folge sein.

Wenn Sie ein antikausales System dann brauchen, muss der ROC den Ursprung enthalten, und die Systemfunktion wird eine nach links seitige Folge sein. Wenn Sie beide, Stabilität und Kausalität brauchen, müssen alle Pole der Systemfunktion innerhalb des Einheitskreises sein.

Das einzigartige kann dann gefunden werden.

Eigenschaften

• Anfangswert-Lehrsatz

:: Wenn kausal

,

• Endwertlehrsatz

:: Nur wenn Pole dessen sind innerhalb des Einheitskreises

Tisch von allgemeinen Z-transform Paaren

Hier:

Die Beziehung zu Laplace verwandelt sich

Die Bilinearen verwandeln sich ist eine nützliche Annäherung, um dauernde Zeitfilter (vertreten im Raum von Laplace) in Filter der diskreten Zeit (vertreten im z Raum), und umgekehrt umzuwandeln. Um das zu tun, können Sie die folgenden Ersetzungen in H (s) oder H (z) verwenden:

:

von Laplace bis z (Transformation von Tustin), oder

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von z bis Laplace. Durch die bilineare Transformation wird der Komplex s-plane (Laplace verwandeln sich), zum Komplex z-plane (des z-transform) kartografisch dargestellt. Während das kartografisch darzustellen, ist (notwendigerweise) nichtlinear, es darin nützlich ist, stellt es die komplette Achse des s-plane auf den Einheitskreis im z-plane kartografisch dar. Als solcher verwandelt sich der Fourier (der Laplace ist, verwandeln sich bewertet auf der Achse) wird die diskrete Zeit, die Fourier umgestaltet. Das nimmt an, dass sich der Fourier verwandelt, besteht; d. h. dass die Achse im Gebiet der Konvergenz von Laplace ist, verwandeln sich.

Die Beziehung Fourier verwandelt sich

Der Z-transform ist eine Generalisation der diskreten Zeit Fouriers verwandelt sich (DTFT). Der DTFT kann durch das Auswerten des Z-transform an gefunden werden (wo die normalisierte Frequenz ist), oder, mit anderen Worten, bewertet auf dem Einheitskreis. Um die Frequenzantwort des Systems zu bestimmen, muss der Z-transform auf dem Einheitskreis bewertet werden, bedeutend, dass das Gebiet des Systems der Konvergenz den Einheitskreis enthalten muss. Sonst besteht der DTFT des Systems nicht.

Geradlinige Unterschied-Gleichung des unveränderlichen Koeffizienten

Die Gleichung des geradlinigen Unterschieds des unveränderlichen Koeffizienten (LCCD) ist eine Darstellung für ein geradliniges auf dem gestütztes System

autorückläufige bewegend-durchschnittliche Gleichung.

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Beide Seiten der obengenannten Gleichung können dadurch geteilt werden, wenn es nicht Null-ist, normalisierend und die LCCD Gleichung geschrieben werden kann

:

Diese Form der LCCD Gleichung ist günstig, um es ausführlicher zu machen, dass die "aktuelle" Produktion eine Funktion von vorigen Produktionen, aktuellem Eingang und vorherigen Eingängen ist.

Übertragungsfunktion

Die Einnahme des Z-transform der obengenannten Gleichung (Linearität und zeitauswechselnde Gesetze verwendend), gibt nach

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und Umordnen läuft auf hinaus

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Nullen und Pole

Vom Hauptsatz der Algebra hat der Zähler M Wurzeln (entsprechend Nullen von H), und der Nenner hat N-Wurzeln (entsprechend Polen). Das Neuschreiben der Übertragung fungiert in Bezug auf Pole und Nullen

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wo die Null ist und der Pol ist. Die Nullen und Pole sind allgemein kompliziert, und wenn geplant, auf dem komplizierten Flugzeug (z-plane) es wird den mit dem Polnullanschlag genannt.

Außerdem, dort kann auch Nullen und Pole an bestehen und. Wenn wir diese Pole und Nullen sowie Nullen der vielfachen Ordnung und Pole in die Rücksicht nehmen, ist die Zahl von Nullen und Polen immer gleich.

Durch das Factoring der Nenner kann teilweise Bruchteil-Zergliederung verwendet werden, der dann zurück in den Zeitabschnitt umgestaltet werden kann. Das Tun würde so auf die Impuls-Antwort und die geradlinige unveränderliche mitwirkende Unterschied-Gleichung des Systems hinauslaufen.

Produktionsantwort

Wenn solch ein System durch ein Signal dann gesteuert wird, ist die Produktion. Durch das Durchführen teilweiser Bruchteil-Zergliederung auf und dann die Einnahme des umgekehrten Z-transform kann die Produktion gefunden werden. In der Praxis ist es häufig nützlich, sich vor dem Multiplizieren dieser Menge unbedeutend zu zersetzen, durch, eine Form zu erzeugen, deren Begriffe mit leicht berechenbarem umgekehrtem Z-transforms hat.

Siehe auch

• Fortgeschrittener Z-transform
• Stern gestaltet um
• Bilinear gestalten um
• Begrenzte Impuls-Antwort
• Formelle Macht-Reihe
• Laplace gestalten um
• Reihe von Laurent
• Wahrscheinlichkeit erzeugende Funktion
• Zeta fungieren regularization
• Diskrete Zeit Fourier gestaltet um
• Unterschied-Gleichung (Wiederauftreten-Beziehung)
• Getrennte Gehirnwindung

Weiterführende Literatur

• Refaat El Attar, Vortrag bemerkt auf Z-Transform, Lulu Press, Morrisville NC, 2005. Internationale Standardbuchnummer 1 4116 1979 X.
• Ogata, Katsuhiko, Regelsysteme der Diskreten Zeit 2. Hrsg., Prentice-Hall Inc, 1995, 1987. Internationale Standardbuchnummer 0-13-034281-5.
• Alan V. Oppenheim und Ronald W. Schafer (1999). Diskrete Zeit Signal Processing, 2. Ausgabe, Prentice Hall Signal Processing Series. Internationale Standardbuchnummer 0-13-754920-2.

Links

• Der Z-Transform Tisch von einem allgemeinen Laplace gestaltet um
• Der Zugang von Mathworld auf dem Z-transform
• Z-Transform fädelt im Setzer ein. DSP
• Z-Transform Modul durch John H. Mathews