In der Mathematik stellt der Borsuk-Ulam Lehrsatz, genannt nach Stanisław Ulam und Karol Borsuk, fest, dass jede dauernde Funktion von einem N-Bereich in den Euklidischen N-Raum ein Paar von antipodischen Punkten zu demselben Punkt kartografisch darstellt.

Hier werden zwei Punkte auf einem Bereich antipodisch genannt, wenn sie in genau entgegengesetzten Richtungen vom Zentrum des Bereichs sind.

Gemäß erscheint die erste historische Erwähnung der Behauptung dieses Lehrsatzes in . Der erste Beweis wurde dadurch gegeben , wo die Formulierung des Problems Ulam zugeschrieben wurde. Seitdem sind viele abwechselnde Beweise von verschiedenen Autoren, wie gesammelt, in herausgefunden worden.

Lehrsatz

Wir verwenden die stärkere Behauptung dass jeder sonderbare (Antipode-Bewahrung), die h kartografisch darstellt: S → S hat sonderbaren Grad.

Das Verwenden des obengenannten Lehrsatzes es ist leicht zu sehen, dass die ursprüngliche Behauptung von Borsuk Ulam seitdem richtig ist, wenn wir eine Karte f nehmen: S → , der auf keinen Antipoden dann ausgleicht, können wir eine Karte g:S &rarr bauen; S durch die Formel

seitdem f macht nie Antipoden gleich der Nenner verschwindet nie. Bemerken Sie, dass g eine Antipode-Bewahrungskarte ist. Jetzt lässt h: S → S, die Beschränkung von g zum Äquator sein. Durch den Aufbau ist h Antipode-Bewahrung, und hat so Nichtnullgrad. Durch den Aufbau streckt sich h bis zu die ganze obere Halbkugel von S aus, und weil solcher ungültig-homotopic ist. Eine ungültige-homotopic Karte hat Grad-Null, unserer einzigen Annahme nämlich widersprechend, dass f besteht.

Folgeerscheinungen

• Keine Teilmenge von  ist homeomorphic zu S.
• Der Lehrsatz von Lusternik-Schnirelmann: Wenn der Bereich S durch n + 1 offene Sätze bedeckt wird, dann enthält einer dieser Sätze ein Paar (x, −x) antipodischer Punkte. (das ist zum Borsuk-Ulam Lehrsatz gleichwertig)
• Der Schinkenbrot-Lehrsatz: Für irgendwelche Kompaktsätze A..., in  können wir immer ein Hyperflugzeug finden, das jeden von ihnen in zwei Teilmengen des gleichen Maßes teilt.
• Der Brouwer Fixpunktsatz .
• Der Fall n = 2 wird häufig durch den Ausspruch dass jederzeit illustriert es gibt immer ein Paar von antipodischen Punkten auf der Oberfläche der Erde mit gleichen Temperaturen und gleichem barometrischem Druck. Das nimmt an, dass sich barometrischer und Temperaturdruck unaufhörlich ändert.
• Der Fall n = 1 kann durch den Anspruch illustriert werden, die dort immer ein Paar von entgegengesetzten Punkten auf dem Äquator der Erde mit derselben Temperatur bestehen, wie man zeigen kann, ist das viel leichter das Verwenden des Zwischenwertlehrsatzes wahr.

Siehe auch

• Das Lemma von Sperner
• Das Lemma des Essens
• Topologischer combinatorics
• Kette-Aufspalten-Problem
• Der Lehrsatz von Kakutani (Geometrie)
• Isovariant