In der Mathematik ist ein Ball der Raum innerhalb eines Bereichs. Es kann ein geschlossener Ball (einschließlich der Grenzpunkte) oder ein offener Ball sein (ihrer ausschließend).

Diese Konzepte werden nicht nur im dreidimensionalen Euklidischen Raum sondern auch für tiefer und höhere Dimensionen, und für metrische Räume im Allgemeinen definiert. Ein Ball im Euklidischen Flugzeug ist zum Beispiel dasselbe Ding wie eine Platte, das durch einen Kreis begrenzte Gebiet.

In mathematischen Zusammenhängen, wo Ball verwendet wird, wie man gewöhnlich annimmt, ist ein Bereich die Grenzpunkte nur (nämlich, eine kugelförmige Oberfläche im dreidimensionalen Raum). In anderen Zusammenhängen, solcher als in der Euklidischen Geometrie und dem informellen Gebrauch, hat Bereich manchmal Ball vor.

Bälle in allgemeinen metrischen Räumen

Lassen Sie (M, d), ein metrischer Raum, nämlich ein Satz M mit einem metrischen (Entfernungsfunktion) d zu sein. Der offene (metrische) Ball des Radius r> 0 hat an einem Punkt p in der M, gewöhnlich angezeigt durch B (p) oder B im Mittelpunkt gestanden (p; r), wird durch definiert

Der geschlossene (metrische) Ball, der durch B [p] oder B [p angezeigt werden kann; r], wird durch definiert

Bemerken Sie insbesondere, dass ein Ball (offen oder geschlossen) immer sich einschließt, da die Definition> 0 verlangt.

Der Verschluss des offenen Balls B (p) wird gewöhnlich angezeigt. Während es immer der Fall das ist, und es ist nicht immer der Fall das. Zum Beispiel, in einem metrischen Raum mit dem getrennten metrischen, hat man und, für irgendwelchen.

(Offen oder geschlossen) ist Einheitsball ein Ball des Radius 1.

Eine Teilmenge eines metrischen Raums wird begrenzt, wenn sie in einem Ball enthalten wird. Ein Satz wird völlig begrenzt, wenn, in Anbetracht eines positiven Radius, er durch begrenzt viele Bälle dieses Radius bedeckt wird.

Die offenen Bälle eines metrischen Raums sind eine Basis für einen topologischen Raum, dessen offene Sätze alle möglichen Vereinigungen von offenen Bällen sind. Dieser Raum wird die durch den metrischen d veranlasste Topologie genannt.

Bälle in normed Vektorräumen

Jeder normed Vektorraum V mit der Norm | · | ist auch ein metrischer Raum, mit dem metrischen d (x, y) = |x − y. In solchen Räumen ist jeder Ball B (p) eine Kopie des Einheitsballs B (0), erklettert durch r und übersetzt durch p.

Euklidische Norm

Insbesondere wenn V n-dimensional Euklidischer Raum mit dem Üblichen (Euklidisch) metrisch ist, ist jeder Ball das Interieur eines Hyperbereichs (ein Hyperball). Das ist ein begrenzter Zwischenraum wenn n = 1, das Interieur eines Kreises (eine Platte) wenn n = 2 und das Interieur eines Bereichs wenn n = 3.

P-Norm

Im Kartesianischen Raum mit der P-Norm L ist ein offener Ball der Satz

Für n=2, insbesondere sind die Bälle von L (hat häufig das Taxi oder Manhattan metrisch genannt), Quadrate mit der Diagonale-Parallele zu den Koordinatenäxten;

diejenigen von L (der Tschebyscheff metrisch) sind Quadrate mit der Seitenparallele zu den Koordinatenäxten. Für andere Werte von p sind die Bälle das Innere von Kurven von Lamé (hypoellipses oder Hyperellipsen).

Für n = 3 sind die Bälle von L octahedra mit Achse-ausgerichteten Körperdiagonalen, diejenigen von L sind Würfel mit Achse-ausgerichteten Rändern, und diejenigen von L mit p> 2 sind Superellipsoide.

Allgemeine konvexe Norm

Mehr allgemein, in Anbetracht irgendwelchen zentral symmetrische, begrenzte, offene und konvexe Teilmenge X von R, kann man eine Norm auf R definieren, wo die Bälle alle übersetzt werden und gleichförmig schuppige Kopien X. Bemerken Sie, dass dieser Lehrsatz nicht hält, ob "offene" Teilmenge durch "die geschlossene" Teilmenge ersetzt wird, weil der Ursprung-Punkt qualifiziert, aber keine Norm auf R definiert.

Topologische Bälle

Man kann über Bälle in jedem topologischen Raum X, nicht notwendigerweise veranlasst durch einen metrischen sprechen. (Offen oder geschlossen) n-dimensional topologischer Ball X ist jede Teilmenge X, der homeomorphic zu (offen oder geschlossen) Euklidischer N-Ball ist. Topologische N-Bälle sind in der kombinatorischen Topologie als die Bausteine von Zellkomplexen wichtig.

Jeder offene topologische N-Ball ist homeomorphic zum Kartesianischen Raum R und zum offenen EinheitsN-Würfel. Jeder geschlossene topologische N-Ball ist homeomorphic zum geschlossenen N-Würfel [0, 1].

Ein N-Ball ist homeomorphic zu einer M Ball wenn und nur wenn n = M. Der homeomorphisms zwischen einem offenen N-Ball B und R kann in zwei Klassen klassifiziert werden, die mit den zwei möglichen topologischen Orientierungen von B identifiziert werden können.

Ein topologischer N-Ball braucht nicht glatt zu sein; wenn es glatt ist, braucht es nicht diffeomorphic zu einem Euklidischen N-Ball zu sein.

Siehe auch

• Ball - gewöhnliche Bedeutung
• Platte (Mathematik)
• Nachbarschaft (Mathematik)
• 3-Bereiche-
• N-Bereich oder Hyperbereich
• Alexander gehörnter Bereich
• Sammelleitung
• D. J. Smith und M. K. Vamanamurthy, "Wie klein ist ein Einheitsball?", Mathematik-Zeitschrift, 62 (1989) 101-107.
• "Rotkehlchen-Bedingungen auf dem Euklidischen Ball", J. S. Dowker

• "Isometrien des Raums von konvexen Körpern haben in einem Euklidischen Ball", Peter M. Gruberhttp://www.springerlink.com/content/0v74h15104232532/ enthalten