In der Geometrie macht der Begriff einer Verbindung genau die Idee, Daten entlang einer Kurve oder Familie von Kurven auf eine parallele und konsequente Weise zu transportieren. Es gibt eine Vielfalt von Arten von Verbindungen in der modernen Geometrie je nachdem, welche Daten man transportieren will. Zum Beispiel gibt eine affine Verbindung, der elementarste Typ der Verbindung, ein Mittel, um Tangente-Vektoren zu einer Sammelleitung von einem Punkt bis einen anderen entlang einer Kurve zu transportieren. Eine affine Verbindung wird normalerweise in der Form einer kovarianten Ableitung gegeben, die ein Mittel gibt, um Richtungsableitungen von Vektorfeldern zu nehmen: der unendlich kleine Transport eines Vektorfeldes in einer gegebenen Richtung.

Verbindungen sind von Hauptwichtigkeit in der modernen Geometrie im großen Teil, weil sie einen Vergleich zwischen der lokalen Geometrie einmal und der lokalen Geometrie an einem anderen Punkt erlauben. Differenzialgeometrie umarmt mehrere Schwankungen auf dem Verbindungsthema, die in zwei Hauptgruppen fallen: das unendlich kleine und die lokale Theorie. Die lokale Theorie beschäftigt sich in erster Linie mit Begriffen des parallelen Transports und holonomy. Die unendlich kleine Theorie beschäftigt sich mit der Unterscheidung von geometrischen Daten. So ist eine kovariante Ableitung eine Weise, eine Ableitung eines Vektorfeldes entlang einem anderen Vektorfeld auf einer Sammelleitung anzugeben. Eine Cartan Verbindung ist eine Weise, einige Aspekte der Verbindungstheorie mit Differenzialformen zu formulieren, und Lügen Sie Gruppen. Eine Verbindung von Ehresmann ist eine Verbindung in einem Faser-Bündel oder einem Hauptbündel durch das Spezifizieren der erlaubten Richtungen der Bewegung des Feldes. Eine Koszul Verbindung ist eine Verbindung, die Ableitung in einem Vektor-Bündel verallgemeinernd.

Verbindungen führen auch zu günstigen Formulierungen von geometrischem invariants wie die Krümmung (sieh auch Krümmungstensor und Krümmungsform), und Verdrehungstensor.

Motivation: die Unangemessenheit von Koordinaten

Denken Sie das folgende Problem. Nehmen Sie an, dass ein Tangente-Vektor zum Bereich S am Nordpol gegeben wird, und wir eine Weise definieren sollen, durchweg diesen Vektoren zu anderen Punkten des Bereichs zu bewegen: ein Mittel für den parallelen Transport. Naiv konnte das mit einem besonderen Koordinatensystem getan werden. Jedoch, wenn richtige Sorge nicht angewandt wird, wird der parallele in einem System von Koordinaten definierte Transport mit dem eines anderen Koordinatensystems nicht übereinstimmen. Ein passenderes paralleles Transport-System nutzt die Symmetrie des Bereichs unter der Folge aus. In Anbetracht eines Vektoren am Nordpol kann man diesen Vektoren entlang einer Kurve transportieren, indem man den Bereich auf solche Art und Weise rotieren lässt, dass der Nordpol die Kurve ohne das axiale Rollen vorankommt. Dieses letzte Mittel des parallelen Transports ist die Verbindung von Levi-Civita auf dem Bereich. Wenn zwei verschiedene Kurven mit demselben anfänglichen und letzten Punkt gegeben werden, und ein Vektor v entlang der ersten Kurve durch eine Folge starr bewegt wird, wird der resultierende Vektor am Endpunkt vom Vektoren verschieden sein, der sich aus dem starren Bewegen v entlang der zweiten Kurve ergibt. Dieses Phänomen widerspiegelt die Krümmung des Bereichs. Ein einfaches mechanisches Gerät, das verwendet werden kann, um sich parallelen Transport zu vergegenwärtigen, ist der Hinweisende Südkampfwagen.

Nehmen Sie zum Beispiel an, dass S Koordinaten durch den stereografischen Vorsprung gegeben wird. Betrachten Sie S als bestehend aus Einheitsvektoren in R. Dann trägt S ein Paar von Koordinatenflecken: eine Bedeckung einer Nachbarschaft des Nordpols und des anderen des Südpols. Der mappings

:

\begin {richten }\aus

\varphi_0 (x, y) & = \left (\frac {2x} {1+x^2+y^2}, \frac {2y} {1+x^2+y^2}, \frac {1 x\U 005E\2 y\U 005E\2} {1+x^2+y^2 }\\Recht) \\[8pt]

\varphi_1 (x, y) & = \left (\frac {2x} {1+x^2+y^2}, \frac {2y} {1+x^2+y^2}, \frac {x^2+y^2-1} {1+x^2+y^2 }\\Recht)

\end {richten }\aus</Mathematik>

bedecken Sie eine Nachbarschaft U vom Nordpol und U des Südpols beziehungsweise. Lassen Sie X, Y, Z die umgebenden Koordinaten in R sein. Dann haben φ und φ Gegenteile

:\begin {richten }\aus

\varphi_0^ {-1} (X, Y, Z) &= \left (\frac {X} {Z+1}, \frac {Y} {Z+1 }\\Recht), \\[8pt]

\varphi_1^ {-1} (X, Y, Z) &= \left (\frac {-X} {z-1}, \frac {-Y} {z-1 }\\Recht),

\end {richten }\aus</Mathematik>

so dass die Koordinatenübergang-Funktion Inversion im Kreis ist:

:

Lassen Sie uns jetzt ein Vektorfeld in Bezug auf seine Bestandteile hinsichtlich der Koordinatenableitungen vertreten. Wenn P ein Punkt von U  S ist, dann kann ein Vektorfeld durch vertreten werden

:

wo die Matrix von Jacobian von φ anzeigt, und v = v (x, y) ein Vektorfeld auf durch v einzigartig bestimmtem R ist. Außerdem, auf dem Übergreifen zwischen den Koordinatenkarten U  U, ist es möglich, dasselbe Vektorfeld in Bezug auf die φ-Koordinaten zu vertreten:

:

Um die Bestandteile v und v zu verbinden, wenden Sie die Kettenregel auf die Identität φ = φ o φ an:

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Die Verwendung beider Seiten dieser Matrixgleichung zum Teilvektoren v (φ (P)) und Hervorrufen (1) und (2) gibt nach

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Wir kommen jetzt zur Hauptfrage des Definierens, wie man ein Vektorfeld parallel entlang einer Kurve transportiert. Nehmen Sie an, dass P (t) eine Kurve in S ist. Naiv kann man eine Vektorfeld-Parallele denken, wenn die Koordinatenbestandteile des Vektorfeldes entlang der Kurve unveränderlich sind. Jedoch entsteht eine unmittelbare Zweideutigkeit: In welchem Koordinatensystem sollten diese Bestandteile unveränderlich sein?

Nehmen Sie zum Beispiel an, dass v (P (t)) unveränderliche Bestandteile im U-Koordinatensystem hat. D. h. die Funktionen v (φ (P (t))) sind unveränderlich. Jedoch, die Produktregel auf (3) und mit der Tatsache anwendend, dass dv/dt = 0 gibt

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Aber ist immer eine nichtsinguläre Matrix (vorausgesetzt, dass die Kurve P (t) nicht stationär ist), so können v und v nicht jemals gleichzeitig entlang der Kurve unveränderlich sein.

Entschlossenheit

Das Problem, das oben beobachtet ist, besteht darin, dass sich die übliche Richtungsableitung der Vektor-Rechnung gut unter Änderungen im Koordinatensystem, wenn angewandt, auf die Bestandteile von Vektorfeldern nicht benimmt. Das macht es ziemlich schwierig zu beschreiben, wie man Vektorfelder parallel übersetzt, wenn tatsächlich solch ein Begriff einen Sinn überhaupt hat. Es gibt zwei im Wesentlichen verschiedene Weisen, dieses Problem aufzulösen.

Die erste Annäherung soll untersuchen, was für eine Generalisation der Richtungsableitung erforderlich ist, sich gut" unter Koordinatenübergängen "zu benehmen. Das ist die Taktik, die von der kovarianten abgeleiteten Annäherung an Verbindungen genommen ist: Gutes Verhalten wird mit der Kovarianz ausgeglichen. Hier denkt man eine Modifizierung der Richtungsableitung durch einen bestimmten geradlinigen Maschinenbediener, dessen Bestandteile die Symbole von Christoffel genannt werden, der keine Ableitungen auf dem Vektorfeld selbst einschließt. Gerichtete abgeleitete Dv der Bestandteile eines Vektoren v in einem Koordinatensystem φ in der Richtung u werden durch eine kovariante Ableitung ersetzt:

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