Pythagoreer, der stimmt, ist ein System des einschaltenden Musicals, der die Frequenzbeziehungen aller Zwischenräume auf dem Verhältnis 3:2 basieren (das vollkommene fünfte), "hat in der harmonischen Reihe gefunden." Dieser Zwischenraum wird gewählt, weil es einer der am meisten konsonanten ist. Zugeschrieben Pythagoras (das sechste Jahrhundert v. Chr.), "würde das Pythagoreische System scheinen, wegen der Reinheit der Fünftel ideal zu sein, aber andere Zwischenräume, besonders das Hauptdrittel, sind so schlecht aus der Melodie, dass Hauptakkorde [] eine Dissonanz betrachtet werden können."

Die Pythagoreische Skala ist jede Skala, die von nur vollkommenen Fünfteln und Oktaven oder der Tonleiter (alle 12) Würfe gebaut werden kann, die von nur vollkommenen Fünfteln und Oktaven gebaut sind, und von dem spezifische Skalen gezogen werden können. Sieh: erzeugte Sammlung. Zum Beispiel gibt die Reihe von Fünfteln, die oben erzeugt sind, sieben Zeichen, eine diatonische Hauptskala auf C in der Pythagoreischen Einstimmung, die in der Notation auf dem Spitzenrecht gezeigt ist.

Methode

Pythagoreische Einstimmung basiert auf einem Stapel von genannten vollkommenen Fünfteln von Zwischenräumen, jeder hat das Verhältnis 3:2, das folgende einfachste Verhältnis danach 2:1 eingeschaltet. Wenn man von D zum Beispiel (D-basierte Einstimmung) anfängt, werden sechs andere Zeichen durch das Bewegen sechsmal eines Verhältnisses 3:2, und die restlichen durch das Bewegen desselben Verhältnisses unten erzeugt:

:E -b  F C G D EIN E B F -c -G

Diese Folge elf 3:2 messen Zwischenräume über eine breite Reihe der Frequenz ab (auf einer Klavier-Tastatur, es umfasst 77 Schlüssel). Da Zeichen, die sich in der Frequenz durch einen Faktor 2 unterscheiden, denselben Namen gegeben werden, ist es üblich, um die Frequenzen von einigen dieser Zeichen um 2 oder um eine Macht 2 zu teilen oder zu multiplizieren. Der Zweck dieser Anpassung ist, die 12 Zeichen innerhalb einer kleineren Reihe der Frequenz, nämlich innerhalb des Zwischenraums zwischen dem Grundzeichen D und dem D darüber (ein Zeichen mit zweimal seiner Frequenz) zu bewegen. Dieser Zwischenraum wird normalerweise die grundlegende Oktave genannt (auf einer Klavier-Tastatur, eine Oktave umfasst nur 13 Schlüssel).

Zum Beispiel wird der A solch abgestimmt, dass seine Frequenz 3:2 Zeiten die Frequenz von D gleich ist - wenn D auf eine Frequenz von 288 Hz abgestimmt wird, dann wird A auf 432 Hz abgestimmt. Ähnlich wird der E über A solch abgestimmt, dass seine Frequenz 3:2 Zeiten die Frequenz von A, oder 9:4 Zeiten die Frequenz von D - mit an 432 Hz gleich ist, stellt das E an 648 Hz. Da dieser E außerhalb der oben erwähnten grundlegenden Oktave ist (d. h. seine Frequenz mehr ist als zweimal die Frequenz des Grundzeichens D), ist es üblich, seine Frequenz zu halbieren, um es innerhalb der grundlegenden Oktave zu bewegen. Deshalb wird E auf 324 Hz, 9:8 über D abgestimmt. Der B an 3:2, über dem E auf das Verhältnis 27:16 und so weiter abgestimmt wird. Von demselben Punkt anfangend, der arbeitet, wird der andere Weg, G als 3:2 unter D abgestimmt, was bedeutet, dass es eine Frequenz zugeteilt wird, die 2:3 Zeiten die Frequenz von D - mit D an 288 Hz gleich ist, stellt das G an 192 Hz. Diese Frequenz wird dann (zu 384 Hz) verdoppelt, um es in die grundlegende Oktave zu bringen.

es diese Einstimmung jedoch erweitert, entsteht ein Problem: Kein Stapel 3:2 Zwischenräume (vollkommene Fünftel) wird genau in jeden Stapel 2:1 Zwischenräume (Oktaven) passen. Zum Beispiel ein Stapel wie das, das durch das Hinzufügen eines mehr Zeichens zum über gezeigten Stapel erhalten ist

:A -e -b  F C G D EIN E B F -c -G

wird ähnlich, aber in der Größe zu einem Stapel von 7 Oktaven nicht identisch sein. Mehr genau wird es über ein Viertel eines größeren Halbtons sein (sieh Pythagoreisches Komma). So wird A und G, wenn gebracht, in die grundlegende Oktave, wie erwartet, nicht zusammenfallen. Der Tisch illustriert unten das, für jedes Zeichen in der grundlegenden Oktave den herkömmlichen Namen des Zwischenraums von D (das Grundzeichen), die Formel zeigend, um sein Frequenzverhältnis, seine Größe in Cents und den Unterschied in Cents (etikettiert UND-DIF im Tisch) zwischen seiner Größe und der Größe der entsprechenden in der ebenso gehärteten Skala zu schätzen.

In den Formeln vertreten die Verhältnisse 3:2 oder 2:3 ein Steigen oder das Absteigen vollkommen fünft (d. h. eine Zunahme oder Abnahme in der Frequenz durch einen vollkommenen fünften), während 2:1 oder 1:2 ein Steigen oder hinuntersteigende Oktave vertreten.

Die Hauptskala, die auf C gestützt ist, der bei dieser Einstimmung erhalten ist, ist:

Im gleichen Temperament wird von Paaren von Enharmonic-Zeichen wie A und G als seiend genau dasselbe Zeichen - jedoch gedacht, wie der obengenannte Tisch anzeigt, im Pythagoreer, der abstimmt, haben sie verschiedene Verhältnisse in Bezug auf D, was bedeutet, dass sie an einer verschiedenen Frequenz sind. Diese Diskrepanz, ungefähr 23.46 Cent, oder fast ein Viertel eines Halbtons, ist als ein Pythagoreisches Komma bekannt.

Um um dieses Problem herumzukommen, ignoriert Pythagoreische Einstimmung A, und verwendet nur die 12 Zeichen von E bis G. Das, wie gezeigt, oben, deutet an, dass nur elf gerade Fünftel verwendet werden, um die komplette chromatische Skala zu bauen. Das Bleiben fünft (von G bis E) wird schlecht aus der Melodie verlassen, bedeutend, dass jede Musik, die jene zwei Zeichen verbindet, in dieser Einstimmung unbespielbar ist. Ein Zwischenraum sehr aus der Melodie wie dieser ist als ein Wolf-Zwischenraum bekannt. Im Fall von der Pythagoreischen Einstimmung sind alle Fünftel 701.96 Cent breit, im genauen Verhältnis 3:2 außer dem fünften Wolf, der nur 678.49 Cent breit, fast ein Viertel eines flacheren Halbtons ist.

Wenn die Zeichen G und E zusammen erklingen lassen werden müssen, kann die Position des fünften Wolfs geändert werden. Zum Beispiel würde eine C-basierte Pythagoreische Einstimmung einen Stapel von Fünfteln erzeugen, die von D bis F laufen, F-D den Wolf-Zwischenraum machend. Jedoch wird es immer einen in der Pythagoreischen Einstimmung fünften Wolf geben, es unmöglich machend, in allen Schlüsseln in der Melodie zu spielen.

Größe von Zwischenräumen

Der Tisch zeigt oben nur Zwischenräume von D. Jedoch können Zwischenräume durch das Starten von jedem der obengenannten verzeichneten 12 Zeichen gebildet werden. So können zwölf Zwischenräume für jeden Zwischenraum-Typ (zwölf Einklänge, zwölf Halbtöne, zwölf Zwischenräume definiert werden, die aus 2 Halbtönen, zwölf Zwischenräume zusammengesetzt sind, die aus 3 Halbtönen, usw. zusammengesetzt sind).

Wie erklärt, oben hat einer der zwölf Fünftel (der Wolf fünft) eine verschiedene Größe in Bezug auf die anderen elf. Aus einem ähnlichen Grund hat jeder der anderen Zwischenraum-Typen, abgesehen von den Einklängen und den Oktaven, zwei verschiedene Größen in der Pythagoreischen Einstimmung. Das ist der Preis, der bezahlt ist, um gerade Tongebung zu suchen. Die Tische rechts und unter der Show ihre Frequenzverhältnisse und ihre ungefähren Größen in Cents. Zwischenraum-Namen werden in verkürzten Form ihres Standards gegeben. Zum Beispiel kann die Größe des Zwischenraums von D bis A, der ein vollkommener fünfter (P5) ist, in der siebenten Säule etikettierten D der Reihe gefunden werden. Ausschließlich gerade (oder rein) werden Zwischenräume in der kühnen Schriftart gezeigt. Wolf-Zwischenräume werden im Rot hervorgehoben.

Der Grund, warum sich die Zwischenraum-Größen überall in der Skala ändern, besteht darin, dass die Würfe, die die Skala bilden, uneben unter Drogeneinfluss sind. Nämlich bestimmen die Frequenzen, die durch den Aufbau für die zwölf Zeichen definiert sind, zwei verschiedene Halbtöne (d. h. Zwischenräume zwischen angrenzenden Zeichen):

1. Die geringe Sekunde (m2), auch genannt diatonischen Halbton, mit der Größe (z.B zwischen D und E)
2. Der vermehrte Einklang (A1), auch genannt chromatischen Halbton, mit der Größe (z.B zwischen E und E)

Umgekehrt, in einer ebenso gehärteten chromatischen Skala, definitionsgemäß sind die zwölf Würfe, alle Halbtöne ebenso unter Drogeneinfluss, die eine Größe genau haben

Demzufolge haben alle Zwischenräume jedes gegebenen Typs dieselbe Größe (z.B, alle Hauptdrittel haben dieselbe Größe, alle Fünftel haben dieselbe Größe, usw.). Der Preis bezahlt ist in diesem Fall, dass keiner von ihnen zurecht abgestimmt und vollkommen konsonant wird, außer, natürlich, für den Einklang und die Oktave.

Für einen Vergleich mit anderen stimmenden Systemen, sieh auch diesen Tisch.

Definitionsgemäß, im Pythagoreer, der 11 vollkommene Fünftel (P5 im Tisch) abstimmt, haben eine Größe von etwa 701.955 Cent (700 +ε Cents, wo ε  1.955 Cent). Da die durchschnittliche Größe der 12 Fünftel genau 700 Cent gleichkommen muss (als im gleichen Temperament), muss der andere eine Größe 700−11 Cents haben, der ungefähr 678.495 Cent (der Wolf fünft) ist. Bemerken Sie, dass, wie gezeigt, im Tisch, der letzte Zwischenraum, obwohl enharmonically Entsprechung zu einem fünften, einen verringerten sechsten (d6) richtiger genannt wird. Ähnlich

• 9 geringe Drittel (m3) sind  294.135 Cent (300−3), 3 vermehrte Sekunden (A2) sind  317.595 Cent (300+9ε), und ihr Durchschnitt ist 300 Cent;
• 8 Hauptdrittel (M3) sind  407.820 Cent (400+4ε), 4 verringerte Viertel (d4) sind  384.360 Cent (400−8), und ihr Durchschnitt ist 400 Cent;
• 7 diatonische Halbtöne (m2) sind  90.225 Cent (100−5), 5 chromatische Halbtöne (A1) sind  113.685 Cent (100+7ε), und ihr Durchschnitt ist 100 Cent.

Kurz gesagt, ähnliche Unterschiede werden in Breite für alle Zwischenraum-Typen, abgesehen von Einklängen und Oktaven beobachtet, und sie sind alle Vielfachen von ε, dem Unterschied zwischen dem Pythagoreer fünft und dem fünften Durchschnitt.

Bemerken Sie, dass, als eine offensichtliche Folge ist jeder vermehrte oder verringerte Zwischenraum genau 12ε ( 23.460) Cents, die schmaler oder breiter sind als seine enharmonic Entsprechung. Zum Beispiel ist der d6 (oder Wolf fünft) 12ε Cents, die schmaler sind als jeder P5, und jeder A2 ist 12ε Cents, die breiter sind als jeder m3. Dieser Zwischenraum der Größe 12ε ist als ein Pythagoreisches Komma bekannt, dem Gegenteil einer verringerten Sekunde ( −23.460 Cents) genau gleich. Das deutet an, dass ε auch als ein zwölftes von einem Pythagoreischen Komma definiert werden kann.

Pythagoreische Zwischenräume

Vier der obengenannten erwähnten Zwischenräume nehmen einen besonderen Namen in der Pythagoreischen Einstimmung. Im folgenden Tisch werden diese besonderen Namen, zusammen mit alternativen Namen verwendet allgemein für einige andere Zwischenräume zur Verfügung gestellt. Bemerken Sie, dass das Pythagoreische Komma mit der verringerten Sekunde nicht zusammenfällt, weil seine Größe (524288:531441) das Gegenstück des Pythagoreers verringert zweit (531441:524288) ist. Auch ditone und semiditone sind für die Pythagoreische Einstimmung spezifisch, während Ton und tritone allgemein für alle stimmenden Systeme verwendet werden. Interessanterweise, trotz seines Namens, kann ein semiditone (3 Halbtöne, oder ungefähr 300 Cent) als Hälfte eines ditone (4 Halbtöne, oder ungefähr 400 Cent) kaum angesehen werden. Alle Zwischenräume mit dem Präfix sesqui-werden zurecht abgestimmt, und ihr Frequenzverhältnis, das im Tisch gezeigt ist, ist eine superbesondere Zahl (oder epimoric Verhältnis). Dasselbe ist für die Oktave wahr.

Geschichte

Wegen des Wolf-Zwischenraums wird diese Einstimmung heutzutage selten verwendet, obwohl, wie man denkt, es weit verbreitet gewesen ist. In der Musik, die Schlüssel sehr häufig nicht ändert, oder die nicht sehr harmonisch abenteuerlich ist, wird der Wolf-Zwischenraum kaum ein Problem, als nicht sein alle möglichen Fünftel werden in solchen Stücken gehört.

Weil die meisten Fünftel in der Pythagoreischen Einstimmung im einfachen Verhältnis 3:2 sind, klingen sie "sehr glatt" und konsonant. Die Drittel, im Vergleich, von denen die meisten in den relativ komplizierten Verhältnissen 81:64 (für Hauptdrittel) und 32:27 (für geringe Drittel) sind, klingen weniger glatt. Deshalb wird Pythagoreischer Einstimmung besonders der Musik gut angepasst, die Fünftel als Gleichklänge und Drittel als Dissonanzen behandelt. In der klassischen Westmusik bedeutet das gewöhnlich vor dem 15. Jahrhundert geschriebene Musik. Als Drittel gekommen sind, um als Gleichklänge behandelt zu werden, so sind meantone Temperament und besonders Viertel-Komma meantone, der Drittel auf das relativ einfache Verhältnis 5:4 abstimmt, populärer geworden. Jedoch hat meantone seine eigenen harmonischen Herausforderungen präsentiert, und seine Wolf-Zwischenräume haben sich erwiesen, noch schlechter zu sein, als diejenigen des Pythagoreers, der stimmt (so viel, so dass man häufig 19 Schlüssel zur Oktave im Vergleich mit den 12 im Pythagoreer verlangt hat, der stimmt), so ist es für die ganze Musik nicht passend.

Aus ungefähr dem 18. Jahrhundert, weil der Wunsch für Instrumente gewachsen ist, um Schlüssel zu ändern, und deshalb einen Wolf-Zwischenraum zu vermeiden, hat das zum weit verbreiteten Gebrauch von gut Temperamenten und schließlich gleichem Temperament geführt.

Schallplattenverzeichnis

• Gotische Stimmen - Musik für den Löwenherzigen König (Hyperion, CDA66336, 1989), geleitet von Christopher Page (Blutegel-Wilkinson)
• Lou Harrison, der von John Schneider und dem Schlagzeug-Ensemble von Cal Arts durchgeführt ist, das von John Bergamo - Gitarre & Schlagzeug (Etceter Aufzeichnungen, KTC1071, 1990) geführt ist: Gefolge Nr. 1 für Gitarre und Schlagzeug und Anklage & Schwankungen auf dem "Lied Palästinas"

Siehe auch

• Enharmonic erklettern
• Liste von meantone Zwischenräumen
• Liste von Musikzwischenräumen
• Regelmäßiges Temperament
• Shí-èr-lǜ
• Temperament
• Timaeus (Dialog), in dem Plato Pythagoreer bespricht, der stimmt
• Skala des ganzen Tons

Kommentare

Notationen

• Daniel Leech-Wilkinson (1997), "Der Nutzen, das schlechte und das langweilige", Begleiter zum Mittelalterlichen & der Renaissancemusik. Presse der Universität Oxford. Internationale Standardbuchnummer 0-19-816540-4.

Links

• "Eine Pythagoreische Einstimmung der diatonischen Skala", mit Audioproben.
• "Pythagoreer, der stimmt und mittelalterliche Polyfonie", durch Margo Schulter.