In der Mathematik ist die integrierte Formel von Cauchy, genannt nach Augustin-Louis Cauchy, eine Hauptbehauptung in der komplizierten Analyse. Es drückt die Tatsache aus, dass eine auf einer Platte definierte Holomorphic-Funktion durch seine Werte an der Grenze der Platte völlig bestimmt wird, und es integrierte Formeln für alle Ableitungen einer Holomorphic-Funktion zur Verfügung stellt. Die Formel von Cauchy zeigt, dass, in der komplizierten Analyse, "ist Unterscheidung zur Integration gleichwertig": Komplex differentation, wie Integration, benimmt sich gut unter gleichförmigen Grenzen - ein in der echten Analyse bestrittenes Ergebnis.

Lehrsatz

Nehmen Sie an, dass U eine offene Teilmenge des komplizierten Flugzeugs C, f ist: U  ist C eine Holomorphic-Funktion und die geschlossene Platte

D = {z: | z − z  wird r\in U völlig enthalten. Lassen Sie, der Kreis zu sein, der die Grenze von D bildet. Dann für jeden im Interieur von D:

:

wo die integrierte Kontur gegen den Uhrzeigersinn genommen wird.

Der Beweis dieser Behauptung verwendet Cauchy integrierter Lehrsatz und verlangt ähnlich nur, dass f komplizierter differentiable ist. Da das Gegenstück des Nenners des integrand in der integrierten Formel von Cauchy als eine Macht-Reihe in der Variable ausgebreitet werden kann (− z), hieraus folgt dass Holomorphic-Funktionen analytisch sind. In besonderem f ist wirklich ungeheuer differentiable mit

:

Diese Formel wird manchmal die Unterscheidungsformel von Cauchy genannt.

Der Kreis γ kann durch jede geschlossene korrigierbare Kurve in U ersetzt werden, der krumme Nummer ein über a hat. Außerdem, bezüglich Cauchy integrierter Lehrsatz, ist es genügend, dass f zu verlangen, holomorphic im offenen Gebiet zu sein, das durch den Pfad eingeschlossen ist und auf seinem Verschluss dauernd ist.

Probeskizze

Indem

man Cauchy integrierter Lehrsatz verwendet, kann man zeigen, dass das Integral über C (oder die geschlossene korrigierbare Kurve) demselben Integral übernommen ein willkürlich kleiner Kreis um a gleich ist. Seitdem f ist (z) dauernd, wir können einen Kreis klein genug wählen, auf dem f (z) willkürlich f (a) nah ist. Andererseits, der integrierte

:

über jeden Kreis hat C an a im Mittelpunkt gestanden. Das kann direkt über einen parametrization berechnet werden (Integration durch den Ersatz), wo 0  t  2π und ε der Radius des Kreises ist.

Das Lassen ε  0 gibt die gewünschte Schätzung

:

\left | \frac {1} {2 \pi i} \oint_C \frac {f (z)} {z-a} \, dz - f (a) \right |

&= \left | \frac {1} {2 \pi i} \oint_C \frac {f (z)-f (a)} {z-a} \, dz \right | \\[.5em]

&\\leq \frac {1} {2 \pi} \int_0^ {2\pi} \frac {|f (z (t)) - f (a) |} {\\varepsilon} \, \varepsilon \, dt \\[.5em]

&\\leq \max_z-a | =\varepsilon} |f (z) - f (a) |

\xrightarrow [\varepsilon\to 0] {} 0.

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Beispiel

Denken Sie die Funktion

:

und die Kontur, die durch |z = 2 beschrieben ist, nennen Sie es C.

Um das Integral von g (z) um die Kontur zu finden, müssen wir die Eigenartigkeiten von g (z) wissen. Bemerken Sie, dass wir g wie folgt umschreiben können:

:

wo

Klar werden die Pole offensichtlich, ihre Module sind weniger als 2 und liegen so innerhalb der Kontur und sind der Rücksicht durch die Formel unterworfen. Durch den Cauchy-Goursat Lehrsatz können wir das Integral um die Kontur als die Summe des Integrals um z und z ausdrücken, wo die Kontur ein kleiner Kreis um jeden Pol ist. Nennen Sie diese Konturen C um z und C um z.

Jetzt, um C, ist f analytisch (da die Kontur die andere Eigenartigkeit nicht enthält), und das uns erlaubt, f in der Form zu schreiben, die wir nämlich verlangen:

:

und jetzt

::

\oint_ {C_1} \frac {\\ist (\frac {z^2} {z-z_2 }\\Recht)} {z-z_1 }\\, dz abgereist

=2\pi i\frac {Z_1^2} {z_1-z_2}.

</Mathematik>

Das Tun ebenfalls für die andere Kontur:

::

\oint_ {C_2} \frac {\\ist (\frac {z^2} {z-z_1 }\\Recht)} {z-z_2 }\\, dz abgereist

=2\pi i\frac {Z_2^2} {z_2-z_1}.

</Mathematik>

Das Integral um die ursprüngliche Kontur C ist dann die Summe dieser zwei Integrale:

:

\oint_C \frac {z^2} {z^2+2z+2 }\\, dz

& {} = \oint_ {C_1} \frac ist {\\(\frac {z^2} {z-z_2 }\\Recht)} {z-z_1 }\\, dz abgereist

+ \oint_ {C_2} \frac {\\ist (\frac {z^2} {z-z_1 }\\Recht)} {z-z_2 }\\, dz \\[.5em] abgereist

& {} = 2\pi i\left (\frac {Z_1^2} {z_1-z_2} + \frac {z_2^2} {z_2-z_1 }\\Recht) \\[.5em]

& {} = 2\pi ich (-2) \\[.3em]

& {} =-4\pi i.

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Ein elementarer Trick mit der teilweisen Bruchteil-Zergliederung:

:

\oint_C g (z) dz

= \oint_C \left (1-\frac {1} {z-z_1}-\frac {1} {z-z_2 }\\Recht) dz

=0-2\pi i-2\pi i

=-4\pi i

</Mathematik>

Folgen

Die integrierte Formel hat breite Anwendungen. Erstens deutet es an, dass eine Funktion, die holomorphic in einem offenen Satz ist, tatsächlich ungeheuer differentiable dort ist. Außerdem ist es eine analytische Funktion, bedeutend, dass es als eine Macht-Reihe vertreten werden kann. Der Beweis davon verwendet den beherrschten Konvergenz-Lehrsatz und die geometrische auf angewandte Reihe

:

Die Formel wird auch verwendet, um den Rückstand-Lehrsatz zu beweisen, der ein Ergebnis für Meromorphic-Funktionen, und ein zusammenhängendes Ergebnis, der Argument-Grundsatz ist. Es ist vom Lehrsatz von Morera bekannt, dass die gleichförmige Grenze von Holomorphic-Funktionen holomorphic ist. Das kann auch aus der integrierten Formel von Cauchy abgeleitet werden: Tatsächlich hält die Formel auch in der Grenze, und der integrand, und folglich das Integral, können als eine Macht-Reihe ausgebreitet werden. Außerdem zeigen die Formeln von Cauchy für die höheren Ordnungsableitungen, dass alle diese Ableitungen auch gleichförmig zusammenlaufen.

Das Analogon von Cauchy integrierte Formel in der echten Analyse ist der Poisson integrierte Formel für harmonische Funktionen; viele der Ergebnisse für Holomorphic-Funktionen tragen zu dieser Einstellung vor. Keine solche Ergebnisse sind jedoch für allgemeinere Klassen von differentiable oder echten analytischen Funktionen gültig. Zum Beispiel braucht die Existenz der ersten Ableitung einer echten Funktion nicht die Existenz von höheren Ordnungsableitungen, noch insbesondere den analyticity der Funktion einzubeziehen. Ebenfalls kann die gleichförmige Grenze einer Folge von (echten) Differentiable-Funktionen scheitern, differentiable zu sein, oder kann differentiable, aber mit einer Ableitung sein, die nicht die Grenze der Ableitungen der Mitglieder der Folge ist.

Generalisationen

Glatte Funktionen

Eine Version der integrierten Formel von Cauchy hält für glatte Funktionen ebenso, weil es auf dem Lehrsatz von Stokes basiert. Lassen Sie D eine Scheibe in C sein und anzunehmen, dass f eine Komplex-geschätzte C-Funktion auf dem Verschluss von D ist. Dann

:

Man kann diese Darstellungsformel verwenden, um die inhomogeneous Gleichungen von Cauchy-Riemann in D zu lösen. Tatsächlich, wenn φ eine Funktion in D ist, dann ist eine besondere Lösung f der Gleichung eine Holomorphic-Funktion außerhalb der Unterstützung von μ. Außerdem, wenn in einem offenen Satz D,

:

für einen φ  C (D) (k  1), ist dann auch in C (D) und befriedigt die Gleichung

:

Der erste Beschluss, ist kurz und bündig, dass die Gehirnwindung μ  k (z) von einem kompakt unterstützten Maß mit dem Kern von Cauchy

:

ist eine Holomorphic-Funktion von der Unterstützung von μ. Hier zeigt p.v. den Hauptwert an. Der zweite Beschluss behauptet, dass der Kern von Cauchy eine grundsätzliche Lösung der Gleichungen von Cauchy-Riemann ist. Bemerken Sie, dass für glatte Komplex-geschätzte Funktionen f der Kompaktunterstützung auf C verallgemeinerter Cauchy integrierte Formel zu vereinfacht

:

und ist eine Neuformulierung der Tatsache, die, betrachtet als ein Vertrieb, eine grundsätzliche Lösung des Maschinenbedieners von Cauchy-Riemann ist. Verallgemeinerter Cauchy integrierte Formel kann für jedes begrenzte offene Gebiet X mit der C Grenze X von diesem Ergebnis und der Formel für die Verteilungsableitung der charakteristischen Funktion χ X abgeleitet werden:

:

wo der Vertrieb auf der rechten Seite Kontur-Integration entlang X anzeigt.

Mehrere Variablen

In mehreren komplizierten Variablen Cauchy kann integrierte Formel zu Polyscheiben verallgemeinert werden. Lassen Sie D die Polyscheibe sein, die als das Kartesianische Produkt von n offene Scheiben D..., D gegeben ist:

:

Nehmen Sie an, dass f eine Holomorphic-Funktion im auf dem Verschluss von D dauernden D ist. Dann

:

wo ζ = (ζ..., ζ)  D.

In echten Algebra

Die Cauchy integrierte Formel ist generalizable zu echten Vektorräumen von zwei oder mehr Dimensionen. Die Scharfsinnigkeit in dieses Eigentum kommt aus der geometrischen Algebra, wo Gegenstände außer Skalaren und Vektoren (wie planarer bivectors und volumetrischer trivectors) betrachtet werden, und eine richtige Generalisation dessen Lehrsatz Schürt.

Geometrische Rechnung definiert einen abgeleiteten Maschinenbediener unter seinem geometrischen Produkt — d. h. für - Vektorfeld, die Ableitung enthält allgemein Begriffe des Ranges und. Zum Beispiel hat ein Vektorfeld allgemein in seiner Ableitung einen Skalarteil, die Abschweifung , und einen bivector Teil, die Locke . Dieser besondere abgeleitete Maschinenbediener hat eine Funktion eines Grüns:

:

wo die Fläche eines Einheitsballs im Raum (d. h., der Kreisumfang eines Kreises mit dem Radius 1, und, die Fläche eines Bereichs mit dem Radius 1) ist. Definitionsgemäß einer Funktion eines Grüns. Es ist dieses nützliche Eigentum, das verwendet werden kann, in Verbindung mit dem verallgemeinerten Schürt Lehrsatz:

:

wo, für - dimensionaler Vektorraum, - Vektor ist und - Vektor ist. Die Funktion kann im Prinzip aus jeder Kombination von Mehrvektoren zusammengesetzt werden. Der Beweis des integrierten Lehrsatzes von Cauchy für höhere dimensionale Räume verlässt sich auf das Verwenden des verallgemeinerten Schürt Lehrsatz auf der Menge und dem Gebrauch der Produktregel:

:

wenn, eine Monogenic-Funktion, die Generalisation von Holomorphic-Funktionen zu hoch-dimensionalen Räumen — tatsächlich genannt wird, kann es gezeigt werden, dass die Bedingung von Cauchy-Riemann gerade der zweidimensionale Ausdruck der monogenic Bedingung ist. Wenn diese Bedingung entsprochen wird, verschwindet der zweite Begriff im rechten Integral, nur abreisend

:

wo dass die Einheit der Algebra - Vektor, der Pseudoskalar ist. Das Ergebnis ist

:

So, als im zweidimensionalen (komplizierte Analyse) Fall, der Wert eines analytischen (monogenic) kann die Funktion an einem Punkt durch ein Integral über die Oberfläche gefunden werden, die den Punkt umgibt, und das ist nicht nur für Skalarfunktionen, aber Vektoren und allgemeine Mehrvektor-Funktionen ebenso gültig.

Siehe auch

• Gleichungen von Cauchy-Riemann
• Methoden der Kontur-Integration
• Der Lehrsatz von Nachbin
• Der Lehrsatz von Morera
• Die Funktion des Grüns verallgemeinert diese Idee zur nichtlinearen Einstellung
• Schwarz integrierte Formel
• Parseval-Gutzmer Formel

Referenzen

• .

Außenverbindungen

• Cauchy integriertes Formel-Modul durch John H. Mathews