In der Modularithmetik, einem Zweig der Zahlentheorie, ist eine primitive Wurzel modulo n jede Nummer g mit dem Eigentum, dass jede Zahl coprime zu n zu einer Macht von g modulo n kongruent ist. Mit anderen Worten ist g ein Generator der multiplicative Gruppe von ganzen Zahlen modulo n. D. h. für jede ganze Zahl ein coprime zu n gibt es eine ganze Zahl k solch dass g  (mod n). Solcher k wird den Index oder getrennten Logarithmus zur Basis g modulo n genannt.

Gauss hat primitive Wurzeln im Artikel 57 von Disquisitiones Arithmeticae (1801) definiert, wo er Euler das Münzen des Begriffes zugeschrieben hat. Im Artikel 56 hat er festgestellt, dass Lambert und Euler von ihnen gewusst haben, aber er war erst, um streng zu demonstrieren, dass primitive Wurzeln bestehen. Tatsächlich enthält Disquisitiones zwei Beweise: Derjenige im Artikel 54 ist ein nichtkonstruktiver Existenz-Beweis, während anderer im Artikel 55 konstruktiv ist.

Elementares Beispiel

Die Nummer 3 ist eine primitive Wurzel modulo 7 weil

::

\begin {Reihe} {rcrcrcrcrcr }\

3^1 &=& 3 &=& 3^0 \times 3 &\\equiv& 1 \times 3 &=& 3 &\\equiv& 3 \pmod 7 \\

3^2 &=& 9 &=& 3^1 \times 3 &\\equiv& 3 \times 3 &=& 9 &\\equiv& 2 \pmod 7 \\

3^3 &=& 27 &=& 3^2 \times 3 &\\equiv& 2 \times 3 &=& 6 &\\equiv& 6 \pmod 7 \\

3^4 &=& 81 &=& 3^3 \times 3 &\\equiv& 6 \times 3 &=& 18 &\\equiv& 4 \pmod 7 \\

3^5 &=& 243 &=& 3^4 \times 3 &\\equiv& 4 \times 3 &=& 12 &\\equiv& 5 \pmod 7 \\

3^6 &=& 729 &=& 3^5 \times 3 &\\equiv& 5 \times 3 &=& 15 &\\equiv& 1 \pmod 7 \\

\end {ordnen }\

</Mathematik>

Hier sehen wir, dass die Periode von 3 modulo 7 6 ist. Die Reste in der Periode, die 3, 2, 6, 4, 5, 1 sind, bilden eine Neuordnung aller Nichtnullreste modulo 7, andeutend, dass 3 tatsächlich eine primitive Wurzel modulo 7 ist. Neugierig, wie man gezeigt hat, sind Versetzungen geschaffen auf diese Weise (und ihre kreisförmigen Verschiebungen) Reihe von Costas gewesen.

Definition

Wenn n eine positive ganze Zahl, die ganzen Zahlen zwischen 1 und n&minus;1 ist, die coprime zu n sind (oder gleichwertig, die Kongruenz-Klassen coprime zu n) bilden eine Gruppe mit der Multiplikation modulo n als die Operation; es wird durch Z angezeigt und wird die Gruppe von Einheiten modulo n oder die Gruppe von primitiven Klassen modulo n genannt. Wie erklärt, im Artikel multiplicative Gruppe von ganzen Zahlen modulo n ist diese Gruppe zyklisch, wenn, und nur wenn n 2, 4, p, oder 2 p gleich ist, wo p eine Macht einer sonderbaren Primzahl ist. Ein Generator dieser zyklischen Gruppe wird eine primitive Wurzel modulo n oder ein primitives Element von Z genannt.

Die Ordnung (d. h. die Zahl der Elemente in) Z wird durch den Totient-Funktionslehrsatz von Euler von Euler gegeben sagt dass ein  1 (mod n) für jeden ein coprime zu n; die niedrigste Macht, der zu 1 modulo n kongruent ist, wird die multiplicative Ordnung eines modulo n genannt. Insbesondere für, um eine primitive Wurzel modulo n φ zu sein, muss (n) die kleinste Macht sein, der zu 1 modulo n kongruent ist.

Beispiele

Zum Beispiel, wenn n = 14 dann die Elemente von Z die Kongruenz-Klassen {1, 3, 5, 9, 11, 13} sind; es gibt φ (14) = 6 von ihnen. Hier ist ein Tisch ihrer Mächte modulo 14:

x x, x, x... (mod 14)

1: 1

3: 3, 9, 13, 11, 5, 1

5: 5, 11, 13, 9, 3, 1

9: 9, 11, 1

11: 11, 9, 1

13: 13, 1

</Code>

Die Ordnung 1 ist 1, die Ordnungen 3 und 5 sind 6, die Ordnungen 9 und 11 sind 3, und die Ordnung 13 ist 2. So, 3 und 5 sind die primitiven Wurzeln modulo 14.

Für ein zweites Beispiel gelassener n = 15. Die Elemente von Z sind die Kongruenz-Klassen {1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14}; es gibt φ (15) = 8 von ihnen.

x x, x, x... (mod 15)

1: 1

2: 2, 4, 8, 1

4: 4, 1

7: 7, 4, 13, 1

8: 8, 4, 2, 1

11: 11, 1

13: 13, 4, 7, 1

14: 14, 1

</Code>

Da es keine Zahl gibt, deren Ordnung 8 ist, gibt es keine primitiven Wurzeln modulo 15.

Tisch von primitiven Wurzeln

Das ist der Tisch von Gauss der primitiven Wurzeln von Disquisitiones. Verschieden von den meisten modernen Autoren hat er die kleinste primitive Wurzel nicht immer gewählt. Statt dessen hat er 10 gewählt, wenn es eine primitive Wurzel ist; wenn es nicht ist, hat er gewählt, welch auch immer Wurzel 10 der kleinste Index gibt, und, wenn es mehr als einen gibt, hat den kleinsten von ihnen gewählt. Das ist nicht nur, um Handberechnung leichter zu machen, aber wird in § VI verwendet, wo die periodischen dezimalen Vergrößerungen von rationalen Zahlen untersucht werden.

Die Reihen des Tisches werden mit den Hauptmächten etikettiert (ausgenommen 2, 4, und 8) weniger als 100; die zweite Säule ist eine primitive Wurzel modulo diese Zahl. Die Säulen werden mit der Blüte weniger als 97 etikettiert. Der Zugang in der Spalte q der Reihe p ist der Index von q modulo p für die gegebene Wurzel.

Für den Index einer zerlegbaren Zahl, fügen Sie die Indizes seiner Hauptfaktoren hinzu.

Der Tisch ist für die sonderbaren Hauptmächte aufrichtig. Aber die Mächte 2, (16, 32, und 64) haben primitive Wurzeln nicht; statt dessen sind die Mächte 5 für eine Hälfte der ungeraden Zahlen weniger verantwortlich als die Macht 2, und ihre Negative modulo die Macht 2 sind für die andere Hälfte verantwortlich. Alle Mächte 5 sind  5 oder 1 (mod 8); die Säulen, die durch Zahlen  3 oder 7 (mod angeführt sind, 8) enthalten Sie den Index seiner Verneinung.

Die Folge von kleinsten primitiven Wurzeln (der nicht dasselbe als die Folge von primitiven Wurzeln im obengenannten Tisch ist) kann daran gefunden werden.

Arithmetische Tatsachen

Gauss hat bewiesen, dass für jede Primzahl p (mit der alleinigen Ausnahme von p = 3) das Produkt seiner primitiven Wurzeln zu 1 modulo p kongruent ist.

Er hat auch bewiesen, dass für jede Primzahl p die Summe seiner primitiven Wurzeln zu μ (p - 1) modulo p kongruent ist, wo μ die Funktion von Möbius ist.

:p = 3, &mu; (2) =-1. Die primitive Wurzel ist 2.

:p = 5, &mu; (4) = 0. Die primitiven Wurzeln sind 2 und 3.

:p = 7, &mu; (6) = 1. Die primitiven Wurzeln sind 3 und 5.

:p = 31, &mu; (30) =-1. Die primitiven Wurzeln sind 3, 11, 12, 13, 17 &equiv;-14, 21 &equiv;-10, 22 &equiv;-9, und 24 &equiv;-7.

:: Ihr Produkt 970377408 &equiv; 1 (mod 31) und ihre Summe 123 &equiv;-1 (mod 31).

:: 3×11 = 33 &equiv; 2

:: 12×13 = 156 &equiv; 1

::(-14) × (-10) = 140 &equiv; 16

::(-9) × (-7) = 63 &equiv; 1, und 2×1×16×1 = 32 &equiv; 1 (mod 31).

Entdeckung primitiver Wurzeln

Keine einfache allgemeine Formel, um primitive Wurzeln modulo n zu schätzen, ist bekannt. Es gibt jedoch Methoden, eine primitive Wurzel ausfindig zu machen, die schneller sind als das einfache Erproben aller Kandidaten.

Wenn die multiplicative Ordnung einer Zahl M modulo n ist (die Ordnung von Z) gleich, dann ist es eine primitive Wurzel. Tatsächlich ist das gegenteilige wahr: Wenn M eine primitive Wurzel modulo n ist, dann ist die multiplicative Ordnung der M. Wir können das verwenden, um für primitive Wurzeln zu prüfen.

Erstens rechnen. Dann bestimmen Sie die verschiedenen Hauptfaktoren, sagen wir p..., p. Jetzt, für jedes Element M von Z, schätzen Sie

:

das Verwenden eines schnellen Algorithmus für modularen exponentiation wie exponentiation durch das Quadrieren. Eine Zahl M, für die diese K-Ergebnisse alle von 1 verschieden sind, ist eine primitive Wurzel.

Die Zahl von primitiven Wurzeln modulo n, wenn es irgendwelchen gibt, ist gleich

:

seitdem, im Allgemeinen, hat eine zyklische Gruppe mit r Elementen Generatoren.

Wenn g eine primitive Wurzel modulo p ist, dann ist g eine primitive Wurzel modulo alle Mächte p wenn g  1 (mod p); in diesem Fall g + ist p.

Wenn g eine primitive Wurzel modulo p ist, dann sind g oder g + p (welch auch immer man seltsam ist) eine primitive Wurzel modulo 2 Punkte.

Wenn er

primitive Wurzeln modulo findet, ist p auch zur Entdeckung der Wurzeln (p-1) cyclotomic Polynom modulo p gleichwertig.

Größenordnung von primitiven Wurzeln

Die am wenigsten primitive Wurzel modulo p ist allgemein klein.

Lassen Sie g die kleinste primitive Wurzel modulo p in der Reihe 1, 2..., p-1 sein.

Fridlander (1949) und Salié (1950) hat bewiesen, dass es einen positiven unveränderlichen solchen C gibt, dass für ungeheuer viele Blüte g> C p loggen.

Es kann auf eine elementare Weise bewiesen werden, dass für jede positive ganze Zahl M dort ungeheuer viele solche Blüte dass M das für jeden ε> 0 ist, gibt es einen solchen C dass

Grosswald (1981) hat das wenn, dann bewiesen

Shoup (1990, 1992) hat sich erwiesen, die verallgemeinerte Hypothese von Riemann annehmend, dass g =O (loggen p).

Anwendungen

Primitive Wurzel modulo n wird häufig in der Geheimschrift einschließlich des Diffie-Hellman Schlüsselaustauschschemas verwendet.

Siehe auch

• Die Vermutung von Artin auf primitiven Wurzeln
• Charakter von Dirichlet
• Die Generalisation von Gauss des Lehrsatzes von Wilson
• Multiplicative bestellen
• Wurzel der Einheit modulo n

Referenzen

Der Disquisitiones Arithmeticae ist aus dem Ciceronian Latein von Gauss ins Englisch und Deutsch übersetzt worden. Die deutsche Ausgabe schließt alle seine Papiere auf der Zahlentheorie ein: alle Beweise der quadratischen Reziprozität, der Entschluss vom Zeichen der Summe von Gauss, der Untersuchungen der biquadratic Reziprozität und unveröffentlichten Zeichen.

Links

• Diese Seite hat eine primitive Wurzelrechenmaschine applet.
• Eine Rechenmaschine aller primitiven Wurzeln modulo p wird hier gelegen.