In der Ringtheorie, einem Zweig der modernen Algebra, ist ein Quotient-Ring, auch bekannt als Faktor-Ring oder Rückstand-Klassenring, ein Aufbau, der den Faktor-Gruppen der Gruppentheorie und den Quotient-Räumen der geradlinigen Algebra ziemlich ähnlich ist. Man fängt mit einem Ring R und einem zweiseitigen Ideal I in R an, und baut einen neuen Ring, den Quotient-Ring R/I im Wesentlichen, indem man dass alle Elemente von mir verlangt, Null sein. Intuitiv, der Quotient-Ring R/I ist eine "vereinfachte Version" von R, wo die Elemente von mir "ignoriert" werde.

Quotient-Ringe sind vom so genannten 'Quotient-Feld' oder Feld von Bruchteilen von einem integrierten Gebiet sowie von den allgemeineren 'Ringen von Quotienten verschieden, die' durch die Lokalisierung erhalten sind.

Formeller Quotient-Ringaufbau

In Anbetracht eines Rings R und eines zweiseitigen Ideales I in R können wir eine Gleichwertigkeitsbeziehung ~ auf R wie folgt definieren:

:a ~ b wenn, und nur wenn ein  b in mir ist.

Mit den idealen Eigenschaften ist es nicht schwierig zu überprüfen, dass ~ eine Kongruenz-Beziehung ist.

Im Falle dass ein ~ b, wir sagen, dass a und b kongruenter modulo I sind.

Die Gleichwertigkeitsklasse des Elements in R wird durch gegeben

: = + ich: = {+ r: r in I\.

Diese Gleichwertigkeitsklasse wird auch manchmal als ein mod I geschrieben und die "Rückstand-Klasse eines modulo I" genannt.

Der Satz aller dieser Gleichwertigkeitsklassen wird durch R/I angezeigt; es wird ein Ring, der Faktor-Ring oder Quotient-Ring von R modulo I, wenn man definiert

• (+ I) + (b + I) = (+ b) + ich;
• (+ I) (b + I) = (ein b) + ich.

(Hier muss man überprüfen, dass diese Definitionen bestimmt sind. Vergleichen Sie coset und Quotient-Gruppe.) Ist das Nullelement von R/I (0 + I) = ich, und die multiplicative Identität ist (1 + I).

Die Karte p von R bis R/I, der durch p (a) = + definiert ist, bin ich ein Surjective-Ringhomomorphismus, manchmal genannt die natürliche Quotient-Karte oder den kanonischen Homomorphismus.

Beispiele

• Die am meisten äußersten Beispiele von Quotient-Ringen werden durch modding die am meisten äußersten Ideale, {0} und R selbst zur Verfügung gestellt. R/{0} ist zu R natürlich isomorph, und R/R ist der triviale Ring {0}. Das rüstet mit der allgemeinen Faustregel dass je kleiner das Ideal I, desto größer der Quotient-Ring R/I aus. Wenn ich ein richtiges Ideal von R bin, d. h. Ich  R dann wird R/I nicht der triviale Ring sein.
• Denken Sie den Ring von ganzen Zahlen Z und dem Ideal von geraden Zahlen, die durch 2Z angezeigt sind. Dann hat der Quotient-Ring Z/2Z nur zwei Elemente, Null für die geraden Zahlen und ein für die ungeraden Zahlen. Es ist zum begrenzten Feld mit zwei Elementen, F natürlich isomorph. Intuitiv: Wenn Sie an alle geraden Zahlen als 0 denken, dann ist jede ganze Zahl irgendein 0 (wenn es ist sogar), oder 1 (wenn es seltsam ist und sich deshalb von einer geraden Zahl durch 1 unterscheidet). Modularithmetik ist im Wesentlichen Arithmetik im Quotient-RingZ/nZ (der n Elemente hat).
• Denken Sie jetzt den Ring R [X] von Polynomen in der Variable X mit echten Koeffizienten und dem Ideal I = (X + 1), aus allen Vielfachen des Polynoms X + 1 bestehend. Der Quotient-Ring R [X] / (X + 1) ist zum Feld von komplexen Zahlen C mit der Klasse [X] natürlich isomorph, die Rolle der imaginären Einheit i spielend. Der Grund: Wir haben X + 1 = 0 "gezwungen", d. h. X = 1, der das Definieren-Eigentum von mir ist.
• Das vorherige Beispiel verallgemeinernd, werden Quotient-Ringe häufig verwendet, um Felderweiterungen zu bauen. Nehmen Sie an, dass K ein Feld ist und f ein nicht zu vereinfachendes Polynom in K [X] ist. Dann L = K [X] / ist (f) ein Feld, dessen minimales Polynom über K f ist, der K sowie ein Element x = X + (f) enthält.
• Ein wichtiges Beispiel des vorherigen Beispiels ist der Aufbau der begrenzten Felder. Denken Sie zum Beispiel Feld F = Z/3Z mit drei Elementen. Das Polynom f (X) = X + 1 ist über F nicht zu vereinfachend (da es keine Wurzel hat), und wir den Quotient-Ring F [X] / (f) bauen können. Das ist ein Feld mit 3=9 Elemente, die durch F angezeigt sind. Die anderen begrenzten Felder können auf eine ähnliche Mode gebaut werden.
• Die Koordinatenringe von algebraischen Varianten sind wichtige Beispiele von Quotient-Ringen in der algebraischen Geometrie. Als ein einfacher Fall, denken Sie die echte Vielfalt V = {(x, y) x = y} als eine Teilmenge des echten Flugzeugs R. Der Ring von reellwertigen polynomischen Funktionen, die auf V definiert sind, kann mit dem Quotient-RingR [X, Y] / (X  Y) identifiziert werden, und das ist der Koordinatenring V. Die Vielfalt V wird jetzt durch das Studieren seines Koordinatenrings untersucht.
• Nehmen Sie an, dass M eine C-Sammelleitung ist, und p ein Punkt der M ist. Betrachten Sie den Ring R = C (M) aller C-Funktionen als definiert auf der M und lassen Sie mich das Ideal in R sein, der aus jenen Funktionen f besteht, die in einer Nachbarschaft U p identisch Null-sind (wo U von f abhängen kann). Dann ist der Quotient-Ring R/I der Ring von Keimen von C-Funktionen auf der M an p.
• Denken Sie den Ring F von begrenzten Elementen eines hyperechten Feldes *R. Es besteht aus allen hyperreellen Zahlen, die sich von einem Standard unterscheiden, der durch einen unendlich kleinen Betrag, oder gleichwertig echt ist: Aller hyperreellen Zahlen x für der eine normale ganze Zahl n mit n) wird das Doppelzahl-Flugzeug in der geometrischen Algebra genannt. Es besteht nur aus geradlinigen Binomen als "Reste" nach dem Reduzieren eines Elements von R [X] durch X. Dieses alternative komplizierte Flugzeug entsteht als eine Subalgebra, wann auch immer die Algebra eine echte Linie und einen nilpotent enthält.

Außerdem spaltet sich der Ringquotient R [X] / (X  1) wirklich in R [X] / (X + 1) und R [X] / auf (X  1), so wird dieser Ring häufig als die direkte Summe R R angesehen.

Dennoch wird eine alternative komplexe Zahl z = x + y j durch j als eine Wurzel X &minus angedeutet; 1, im Vergleich zu mir als Wurzel X + 1 = 0. Dieses Flugzeug von komplexen Zahlen des Spalts normalisiert die direkte Summe durch das Schaffen einer Grundlage {1, j} für den 2-Räume-, wo die Identität der Algebra in der Einheitsentfernung von der Null ist. Mit dieser Basis kann eine Einheitshyperbel im Vergleich zum Einheitskreis des gewöhnlichen komplizierten Flugzeugs sein.

Quaternions und Alternativen

Der quaternions von Hamilton von 1843 kann als R [X, Y] / (X + 1, Y + 1, XY + YX) geworfen werden. Wenn gegen Y  1 Y + 1 ausgewechselt wird, dann erhält man den Ring des Spalts-quaternions. Das Ersetzen minus für plus in beiden die quadratischen Binome läuft auch auf Spalt-quaternions hinaus. Der antiauswechselbare Eigentums-YX = XY deutet an, dass XY für sein Quadrat hat

: (XY) (XY) = X (YX) X = X (XY) Y =  XXYY = 1.

Die drei Typen von biquaternions können auch als Quotienten durch das Ausheben des dreiunbestimmten Rings R [X, Y, Z] und das Konstruieren passender Ideale geschrieben werden.

Eigenschaften

Klar, wenn R ein Ersatzring ist, dann so ist R/I; das gegenteilige ist jedoch im Allgemeinen nicht wahr.

Die natürliche Quotient-Karte p hat mich als sein Kern; da der Kern jedes Ringhomomorphismus ein zweiseitiges Ideal ist, können wir feststellen, dass zweiseitige Ideale genau die Kerne des Ringhomomorphismus sind.

Die vertraute Beziehung zwischen dem Ringhomomorphismus, den Kernen und den Quotient-Ringen kann wie folgt zusammengefasst werden: Der auf R/I definierte Ringhomomorphismus ist im Wesentlichen dasselbe als der Ringhomomorphismus, der auf R definiert ist, die verschwinden (d. h. Null sind) auf mir. Genauer: in Anbetracht eines zweiseitigen Ideales I in R und einem Ringhomomorphismus f: R  S, dessen Kern mich dann enthält, dort besteht genau ein Ringhomomorphismus g: R/I  S mit gp = f (wo p die natürliche Quotient-Karte ist). Die Karte g hier wird durch die bestimmte Regel g = f (a) für alle in R gegeben. Tatsächlich kann dieses universale Eigentum verwendet werden, um Quotient-Ringe und ihre natürlichen Quotient-Karten zu definieren.

Demzufolge des obengenannten erhält man die grundsätzliche Behauptung: jeder Ringhomomorphismus f: R  veranlasst S einen Ringisomorphismus zwischen dem Quotient-RingR/ker (f) und dem Image im (f). (Siehe auch: Hauptsatz auf dem Homomorphismus.)

Die Ideale von R und R/I sind nah verbunden: Die natürliche Quotient-Karte stellt eine Bijektion zwischen den zweiseitigen Idealen von R zur Verfügung, die mich enthalten und die zweiseitigen Ideale von R/I (dasselbe für den linken und für richtige Ideale wahr ist). Diese Beziehung zwischen dem zweiseitigen Ideal streckt sich bis zu eine Beziehung zwischen den entsprechenden Quotient-Ringen aus: Wenn M ein zweiseitiges Ideal in R ist, der mich enthält, und wir M/I für das entsprechende Ideal in R/I schreiben (d. h. M/I = p (M)), der Quotient ruft R/M an, und (R/I) / (M/I) sind über natürlich isomorph (bestimmt!) + M  (a+I) + M/I kartografisch darzustellen.

In der Ersatzalgebra und algebraischen Geometrie wird die folgende Behauptung häufig verwendet: Wenn R  {0} ein Ersatzring ist und ich ein maximales Ideal bin, dann ist der Quotient-Ring R/I ein Feld; wenn ich nur ein Hauptideal bin, dann ist R/I nur ein integrierte Gebiet. Mehrere ähnliche Behauptungen beziehen sich Eigenschaften des Ideales I zu Eigenschaften des Quotienten rufen R/I an.

Der chinesische Rest-Lehrsatz stellt fest, dass, wenn das Ideal ich die Kreuzung (oder gleichwertig, das Produkt) von pairwise coprime Ideale I..., ich, dann der Quotient-Ring bin, R/I zum Produkt des Quotient-RingR/I, p=1..., k isomorph ist.

Siehe auch

• Rückstand-Feld
• Der Lehrsatz von Goldie

Referenzen

Weitere Verweisungen

• F. Kasch (1978) Moduln und Ringe, der von DAR Wallace (1982) Module und Ringe, Akademische Presse, Seite 33 übersetzt ist.
• Neal H. McCoy (1948) Ringe und Ideale, §13 Rückstand-Klassenringe, Seite 61, Carus Mathematische Monografien #8, Mathematische Vereinigung Amerikas.
• B.L. van der Waerden (1970) Algebra, die von Fred Blum und John R Schulenberger, Frederick Ungar Publishing, New York übersetzt ist. Sieh Kapitel 3.5, "Ideale. Rückstand-Klassenringe", Seiten 47 bis 51.

Links

• Ideale und Faktor rufen von der Abstrakten Algebra von John Beachy Online-an