In der Mathematik sind die adjoint Darstellung (oder adjoint Handlung) einer Lüge-Gruppe G die natürliche Darstellung von G selbstständig Liegen Algebra. Diese Darstellung ist die linearized Version der Handlung von G auf sich durch die Konjugation.

Formelle Definition

Lassen Sie G eine Lüge-Gruppe sein und zu lassen, seine Lüge-Algebra zu sein (den wir mit TG, dem Tangente-Raum zum Identitätselement in G identifizieren). Definieren Sie eine Karte

:

durch die Gleichung Ψ (g) = Ψ für den ganzen g in G, wo Aut (G) die automorphism Gruppe von G und dem automorphism ist, wird Ψ durch definiert

:

für den ganzen h in G. Hieraus folgt dass die Ableitung von Ψ an der Identität ein automorphism der Lüge-Algebra ist.

Wir zeigen diese Karte von Ad an:

:

Um zu sagen, dass Ad eine Lüge-Algebra ist, soll automorphism sagen, dass Ad eine geradlinige Transformation davon ist, bewahrt die Lüge-Klammer. Die Karte

:

der g Ad sendet, wird die adjoint Darstellung von G genannt. Das ist tatsächlich eine Darstellung von G, da eine Lüge-Untergruppe dessen ist und der obengenannte adjoint Karte ein Lüge-Gruppenhomomorphismus ist. Die Dimension der adjoint Darstellung ist dasselbe als die Dimension der Gruppe G.

Darstellung von Adjoint einer Lüge-Algebra

Man kann immer von einer Darstellung einer Lüge-Gruppe G zu einer Darstellung seiner Lüge-Algebra gehen, indem man die Ableitung an der Identität nimmt.

Die Einnahme der Ableitung des adjoint stellt kartografisch dar

:

gibt die adjoint Darstellung der Lüge-Algebra:

::

Hier ist die Lüge-Algebra, deren mit der Abstammungsalgebra dessen identifiziert werden kann. Die adjoint Darstellung einer Lüge-Algebra ist auf eine grundsätzliche Weise zur Struktur dieser Algebra verbunden. Insbesondere man kann dem zeigen

:

für alle.

: \begin {richten }\aus

\mathrm {Anzeige} _x (y) & = d (\mathrm {Anzeige} _ {e}) _ {x} (y) \\

& = \lim_ {\\varepsilon \to 0 }\\frac {(Ich +\varepsilon x) y (Ich +\varepsilon x) ^ {-1}-y} {\\varepsilon} \\

& = \lim_ {\\varepsilon \to 0 }\\frac {(Ich +\varepsilon x) y (I-\varepsilon x + (\varepsilon x) ^2+O (\varepsilon^3))-y} {\\varepsilon} \\

& = \lim_ {\\varepsilon \to 0 }\\frac {((Ich +\varepsilon x) yI - (Ich +\varepsilon x) y\varepsilon x + (Ich +\varepsilon x) y (\varepsilon x) ^2 +O (\varepsilon^3))-y} {\\varepsilon} \\

& = \lim_ {\\varepsilon \to 0 }\\frac {(Ich y I +\varepsilon x y I-I y \varepsilon x-\varepsilon x y \varepsilon x +Iy (\varepsilon x) ^2 +\varepsilon xy (\varepsilon x) ^2 +O (\varepsilon^3))-y} {\\varepsilon} \\

& = \lim_ {\\varepsilon \to 0 }\\frac {y + x y \varepsilon - y x \varepsilon-x y x \varepsilon^ {2} +y x^ {2 }\\varepsilon^2 + x y x^ {2 }\\Varepsilon^2 +O (\varepsilon^3)-y} {\\varepsilon} \\

& = \lim_ {\\varepsilon \to 0\x y - y x - x y x \varepsilon +y x^ {2 }\\varepsilon + x y x^ {2 }\\varepsilon +O (\varepsilon^2) \\

& = [x, y]

\end {richten }\aus</Mathematik>

Beispiele

• Wenn G abelian der Dimension n ist, ist die adjoint Darstellung von G die triviale n-dimensional Darstellung.
• Wenn G eine Matrixlüge-Gruppe ist (d. h. eine geschlossene Untergruppe von GL (n, C)), dann ist seine Lüge-Algebra eine Algebra von n×n matrices mit dem Umschalter für eine Lüge-Klammer (d. h. eine Subalgebra). In diesem Fall wird die Adjoint-Karte durch die Anzeige (x) = gxg gegeben.
• Wenn G SL (2, R) ist (echt 2×2 matrices mit der Determinante 1), besteht die Lüge-Algebra von G aus echten 2×2 matrices mit der Spur 0. Die Darstellung ist dazu gleichwertig, das durch die Handlung von G durch den geradlinigen Ersatz auf dem Raum von binären (d. h., 2 Variable) quadratische Formen gegeben ist.

Eigenschaften

Der folgende Tisch fasst die Eigenschaften der verschiedenen Karten zusammen, die in der Definition erwähnt sind

Das Image von G unter der adjoint Darstellung wird von Ad angezeigt. Wenn G verbunden wird, fällt der Kern der adjoint Darstellung mit dem Kern von Ψ zusammen, der gerade das Zentrum von G ist. Deshalb ist die adjoint Darstellung einer verbundenen Lüge-Gruppe G treu, wenn, und nur wenn G centerless ist. Mehr allgemein, wenn G nicht verbunden wird, dann ist der Kern der Adjoint-Karte der centralizer des Identitätsbestandteils G G. Durch den ersten Isomorphismus-Lehrsatz haben wir

:

Wurzeln einer halbeinfachen Lüge-Gruppe

Wenn G halbeinfach ist, bilden die Nichtnullgewichte der adjoint Darstellung ein Wurzelsystem. Um zu sehen, wie das arbeitet, ziehen Sie den Fall G = SL (n, R) in Betracht. Wir können die Gruppe von Diagonalmatrizen diag (t..., t) als unser maximaler Ring T nehmen. Die Konjugation durch ein Element von T sendet

:

a_ {11} &a_ {12} &\\cdots&a_ {1n }\\\

a_ {21} &a_ {22} &\\cdots&a_ {2n }\\\

\vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\

a_ {n1} &a_ {n2} &\\cdots&a_ {nn }\\\

\end {bmatrix }\

\mapsto

\begin {bmatrix }\

a_ {11} &t_1t_2^ {-1} a_ {12} &\\cdots&t_1t_n^ {-1} a_ {1n }\\\

t_2t_1^ {-1} a_ {21} &a_ {22} &\\cdots&t_2t_n^ {-1} a_ {2n }\\\

\vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\

t_nt_1^ {-1} a_ {n1} &t_nt_2^ {-1} a_ {n2} &\\cdots&a_ {nn }\\\

\end {bmatrix}.

</Mathematik>

So handelt T trivial auf dem diagonalen Teil der Lüge-Algebra von G und mit Eigenvektoren tt auf den verschiedenen außerdiagonalen Einträgen. Die Wurzeln von G sind die Gewichte diag (t..., t)  tt. Das ist für die Standardbeschreibung des Wurzelsystems von G = SL(R) als der Satz von Vektoren der Form ee verantwortlich.

Beispiel SL (2, R)

Lassen Sie uns das Wurzelsystem für einen der einfachsten Fälle von Lie Groups schätzen. Lassen Sie uns die Gruppe als SL (2, R) zwei dimensionaler matrices mit der Determinante 1 betrachten. Das besteht aus dem Satz von matrices der Form:

:

a & b \\

c & d \\

\end {bmatrix} </Mathematik>

mit a, b, c, d echt und Anzeige &minus; bc = 1.

Ein maximaler kompakter hat in Verbindung gestanden abelian Liegen Untergruppe oder maximaler Ring T, wird durch die Teilmenge des ganzen matrices der Form gegeben

:

t_1 & 0 \\

0 & t_2 \\

\end {bmatrix }\\begin {bmatrix }\t_1 & 0 \\

0 & 1/t_1 \\

\end {bmatrix }\\begin {bmatrix }\

\exp (\theta) & 0 \\

0 & \exp (-\theta) \\

\end {bmatrix} </Mathematik>

damit. Die Lüge-Algebra des maximalen Rings ist die Subalgebra von Cartan, die aus dem matrices besteht

: \begin {bmatrix }\

\theta & 0 \\

0 &-\theta \\

\end {bmatrix} =

\theta\begin {bmatrix }\

1 & 0 \\

0 & 0 \\

\end {bmatrix}-\theta\begin {bmatrix }\

0 & 0 \\

0 & 1 \\

\end {bmatrix }\

\theta (e_1-e_2).

</Mathematik>

Wenn wir ein Element von SL konjugieren (2, R) durch ein Element des maximalen Rings erhalten wir

: \begin {bmatrix }\t_1 & 0 \\0 & 1/t_1 \\\end {bmatrix }\\begin {bmatrix }\a & b \\c & d \\\end {bmatrix }\\begin {bmatrix }\

1/t_1 & 0 \\

0 & t_1 \\

\end {bmatrix }\\begin {bmatrix }\

ein t_1 & b t_1 \\

c/t_1 & d / t_1 \\

\end {bmatrix }\\begin {bmatrix }\

1/t_1 & 0 \\

0 & t_1 \\

\end {bmatrix }\\begin {bmatrix }\

a & b t_1^2 \\

c t_1^ {-2} & d \\

\end {bmatrix }\</Mathematik>

Der matrices

: \begin {bmatrix }\1 & 0 \\0 & 0 \\\end {bmatrix }\\begin {bmatrix }\0 & 0 \\

0 & 1 \\

\end {bmatrix }\\begin {bmatrix }\0 & 1 \\0 & 0 \\\end {bmatrix }\\begin {bmatrix }\0 & 0 \\1 & 0 \\\end {bmatrix }\</Mathematik>

sind dann 'Eigenvektoren' der Konjugationsoperation mit eigenvalues. Die Funktion Λ, der gibt, ist ein multiplicative Charakter oder Homomorphismus vom Ring der Gruppe bis das zu Grunde liegende Feld R. Die Funktion λ das Geben θ ist ein Gewicht der Lüge-Algebra mit dem durch die Spanne des matrices gegebenen Gewicht-Raum.

Es befriedigt, den multiplicativity des Charakters und die Linearität des Gewichts zu zeigen. Es kann weiter bewiesen werden, dass das Differenzial von Λ verwendet werden kann, um ein Gewicht zu schaffen. Es ist auch pädagogisch, um den Fall von SL (3, R) in Betracht zu ziehen.

Varianten und Entsprechungen

Die adjoint Darstellung kann auch für algebraische Gruppen über jedes Feld definiert werden.

Die co-adjoint Darstellung ist die contragredient Darstellung der adjoint Darstellung. Alexandre Kirillov hat bemerkt, dass die Bahn jedes Vektoren in einer co-adjoint Darstellung eine Symplectic-Sammelleitung ist. Gemäß der Philosophie in der Darstellungstheorie, die als die Bahn-Methode bekannt ist (sieh auch die Charakter-Formel von Kirillov), nicht zu vereinfachend Darstellungen Lüge Gruppe G irgendwie durch sein co-adjoint Bahnen mit einem Inhaltsverzeichnis versehen. Diese Beziehung ist im Fall von nilpotent am nächsten Liegen Gruppen.