In der geradlinigen Algebra wird die Spur einer n-by-n Quadratmatrix A definiert, um die Summe der Elemente auf der Hauptdiagonale (die Diagonale vom oberen zu sein, das zum niedrigeren Recht verlassen ist) von A, d. h.,

:

wo ein Vertreten des Zugangs auf der ith Reihe und ith Säule von A. Die Spur einer Matrix ist die Summe des (Komplexes) eigenvalues, und es ist invariant in Bezug auf eine Änderung der Basis. Diese Charakterisierung kann verwendet werden, um die Spur eines geradlinigen Maschinenbedieners im Allgemeinen zu definieren. Bemerken Sie, dass die Spur nur für eine Quadratmatrix (d. h., n×n) definiert wird.

Geometrisch kann die Spur als die unendlich kleine Änderung im Volumen interpretiert werden (als die Ableitung der Determinante), der genau in der Formel von Jacobi gemacht wird.

Der Begriff Spur ist ein calque vom Deutschen (verwandt mit den Engländern), der, als eine Funktion in der Mathematik, häufig zu "Sp" abgekürzt wird.

Beispiel

Lassen Sie T ein geradliniger Maschinenbediener sein, der durch die Matrix vertreten ist

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-1& 1& 3 \\

2 &0 &-1 \end {bmatrix}. </Mathematik>

Dann.

Die Spur der Identitätsmatrix ist die Dimension des Raums; das führt zu Generalisationen der Dimension mit der Spur. Die Spur eines Vorsprungs (d. h., P = P) ist die Reihe des Vorsprungs. Die Spur einer nilpotent Matrix ist Null. Das Produkt einer symmetrischen Matrix und eines Verdrehens - symmetrische Matrix hat Nullspur.

Mehr allgemein, wenn das charakteristische Polynom einer Matrix A, dann ist

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Eigenschaften

Grundlegende Eigenschaften

Die Spur ist eine geradlinige Karte. Das, ist

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für das ganze Quadrat matrices A und B und alle Skalare c.

Eine Matrix und sein stell um haben dieselbe Spur:

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Das folgt sofort von der Tatsache, dass das Umstellen einer Quadratmatrix Elemente entlang der Hauptdiagonale nicht betrifft.

Spur eines Produktes

Die Spur eines Produktes kann als die Summe von mit dem Zugang klugen Produkten von Elementen umgeschrieben werden:

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Das bedeutet, dass die Spur eines Produktes von matrices ähnlich zu einem Punktprodukt von Vektoren fungiert. Deshalb sind Generalisationen von Vektor-Operationen zu matrices (z.B in der Matrixrechnung und Statistik) häufig mit einer Spur von Matrixprodukten verbunden.

Die Spur eines Produktes kann auch in den folgenden Formen geschrieben werden:

Der matrices in einer Spur eines Produktes kann geschaltet werden: Wenn A m&times;n ist, sind Matrix und B n&times;m Matrix, dann

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Mehr allgemein ist die Spur invariant unter zyklischen Versetzungen, d. h.,

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Das ist als das zyklische Eigentum bekannt.

Bemerken Sie, dass willkürlichen Versetzungen nicht erlaubt wird: im Allgemeinen,

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Jedoch, wenn Produkte von drei symmetrischen matrices betrachtet werden, wird jeder Versetzung erlaubt. (Beweis: tr (Abc) = tr (Ein B C) = tr ((CBA)) = tr (CBA).) Für mehr als drei Faktoren ist das nicht wahr.

Verschieden von der Determinante ist die Spur des Produktes nicht das Produkt von Spuren. Was wahr ist, ist, dass die Spur des Tensor-Produktes von zwei matrices das Produkt ihrer Spuren ist:

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Andere Eigenschaften

Die folgenden drei Eigenschaften:

:::

charakterisieren Sie die Spur völlig im Sinn wie folgt. Lassen Sie, ein geradliniger funktioneller auf dem Raum des Quadrats matrices Zufriedenheit zu sein. Dann und sind tr proportional.

Die Spur ist Ähnlichkeit-invariant, was bedeutet, dass A und BREI dieselbe Spur haben. Das ist weil

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Lassen Sie A eine symmetrische Matrix und B eine antisymmetrische Matrix sein. Dann

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Wenn sowohl A als auch B n durch n sind, verschwindet die Spur des (ringtheoretischen) Umschalters von A und B: tr ([A, B]) = 0; man kann das festsetzen, weil "die Spur eine Karte von Lüge-Algebra von Maschinenbedienern zu Skalaren ist", weil der Umschalter von Skalaren trivial ist (es ist ein abelian Liegen Algebra). Insbesondere mit der Ähnlichkeit invariance, hieraus folgt dass die Identitätsmatrix dem Umschalter jedes Paares von matrices nie ähnlich ist.

Umgekehrt ist jede Quadratmatrix mit der Nullspur der Umschalter von einem Paar von matrices. Außerdem ist jede Quadratmatrix mit der Nullspur unitarily Entsprechung zu einer Quadratmatrix mit der Diagonale, die aus allen Nullen besteht.

Die Spur jeder Macht einer nilpotent Matrix ist Null. Wenn die Eigenschaft des Grundfeldes Null ist, hält das gegenteilige auch: Wenn für alle, dann nilpotent ist.

• Die Spur einer Vorsprung-Matrix ist die Dimension des Zielraums. Wenn

::

: dann

::

Exponentialspur

Ausdrücke wie exp (tr (A)), wo A eine Quadratmatrix ist, kommen so häufig in einigen Feldern vor (z.B multivariate statistische Theorie), dass eine Schnellschrift-Notation üblich geworden ist:

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Das wird manchmal die Exponentialspur-Funktion genannt.

Spur eines geradlinigen Maschinenbedieners

In Anbetracht einer geradlinigen Karte f: V  V (V ist ein endlich-dimensionaler Vektorraum), allgemein, wir können die Spur dieser Karte definieren, indem wir die Spur der Matrixdarstellung von f denken, d. h. eine Basis für V wählend und f als eine Matrix hinsichtlich dieser Basis beschreibend, und die Spur dieser Quadratmatrix nehmend. Das Ergebnis wird von der gewählten Basis nicht abhängen, da verschiedene Basen ähnlichen matrices verursachen werden, die Möglichkeit einer basisunabhängigen Definition für die Spur einer geradlinigen Karte berücksichtigend.

Solch eine Definition kann mit dem kanonischen Isomorphismus zwischen dem Raumende (V) von geradlinigen Karten auf V und VV gegeben werden, wo V der Doppelraum von V. Let v ist, in V sein und f in V sein zu lassen. Dann wird die Spur des zerlegbaren Elements vf definiert, um f (v) zu sein; die Spur eines allgemeinen Elements wird durch die Linearität definiert. Mit einer ausführlichen Basis für V und der entsprechenden Doppelbasis für V kann man zeigen, dass das dieselbe Definition der Spur, wie gegeben, oben gibt.

Beziehungen von Eigenvalue

Wenn A ein Quadrat n-by-n Matrix mit echten oder komplizierten Einträgen ist, und wenn λ..., λ der eigenvalues (verzeichnet gemäß ihrer algebraischen Vielfältigkeit), dann sind

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Das folgt aus der Tatsache, dass A immer seiner Form von Jordan, eine obere Dreiecksmatrix ähnlich ist, die λ..., λ auf der Hauptdiagonale hat. Im Gegensatz ist die Determinante dessen das Produkt seines eigenvalues; d. h.,

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Mehr allgemein,

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Ableitungen

Die Spur ist die Ableitung der Determinante: Es ist das Lüge-Algebra-Analogon (Lügen Sie Gruppe) die Karte der Determinante. Das wird genau in der Formel von Jacobi für die Ableitung der Determinante gemacht (sieh unter der Determinante). Als ein besonderer Fall:

die Spur ist die Ableitung der Determinante an der Identität. Davon (oder von der Verbindung zwischen der Spur und dem eigenvalues) kann man eine Verbindung zwischen der Spur-Funktion, die Exponentialkarte zwischen einer Lüge-Algebra und seiner Lüge-Gruppe (oder konkret, der Matrixexponentialfunktion), und die Determinante ableiten:

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Betrachten Sie zum Beispiel die Ein-Parameter-Familie von geradlinigen Transformationen als gegeben durch die Folge durch den Winkel θ,

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R_ {\\theta} = \left (\begin {Reihe} {Cc }\\, weil \theta &-\sin \theta \\\Sünde \theta&\cos \theta\end {}\\Recht ordnen). </Mathematik>

Diese Transformationen alle haben Determinante 1, so bewahren sie Gebiet. Die Ableitung dieser Familie an θ = 0 ist die antisymmetrische Matrix

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A = \left (\begin {Reihe} {Cc} 0 &-1 \\1&0 \end {ordnen }\\Recht) </Mathematik>

der klar Spur-Null hat, anzeigend, dass diese Matrix eine unendlich kleine Transformation vertritt, die Gebiet bewahrt.

Eine zusammenhängende Charakterisierung der Spur gilt für geradlinige Vektorfelder. In Anbetracht einer Matrix A, definieren Sie ein Vektorfeld F auf R durch F (x) = Axt. Die Bestandteile dieses Vektorfeldes sind geradlinige Funktionen (gegeben durch die Reihen von A). Die Abschweifung div F ist eine unveränderliche Funktion, deren Wert tr (A) gleich ist.

Durch den Abschweifungslehrsatz kann man das in Bezug auf Flüsse interpretieren: Wenn F (x) die Geschwindigkeit einer Flüssigkeit an der Position x vertritt, und U ein Gebiet in R ist, wird der Nettofluss der Flüssigkeit aus U durch tr gegeben · vol (U), wo vol (U) das Volumen von U ist.

Die Spur ist ein geradliniger Maschinenbediener, folglich pendelt sie mit der Ableitung:

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Anwendungen

Die Spur wird verwendet, um Charaktere von Gruppendarstellungen zu definieren. Zwei Darstellungen einer Gruppe sind (bis zur Änderung der Basis auf) wenn für alle gleichwertig.

Die Spur spielt auch eine Hauptrolle im Vertrieb von quadratischen Formen.

Lügen Sie Algebra

Die Spur ist eine Karte von Lüge-Algebra von der Lüge-Algebra gl von Maschinenbedienern auf einem n-dimensional Raum (matrices) zur Lüge-Algebra k von Skalaren; da k abelian ist (die Lüge-Klammer verschwindet), die Tatsache, dass das eine Karte von Lüge-Algebra ist, ist genau die Behauptung, dass die Spur einer Klammer verschwindet:

Wie man

häufig sagt, ist der Kern dieser Karte, eine Matrix, deren Spur Null ist, oder, und diese matrices bilden die einfache Lüge-Algebra sl, der die Lüge-Algebra der speziellen geradlinigen Gruppe von matrices mit der Determinante 1 ist. Die spezielle geradlinige Gruppe besteht aus den matrices, die Volumen nicht ändern, während die spezielle geradlinige Algebra die matrices ist, die unendlich klein Volumen nicht ändern.

Tatsächlich gibt es eine innere Zergliederung der direkten Summe von operators/matrices in traceless operators/matrices und Skalare operators/matrices. Die Vorsprung-Karte auf Skalarmaschinenbediener kann in Bezug auf die Spur konkret als ausgedrückt werden:

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Formell kann man die Spur (die Counit-Karte) mit der Einheitskarte der "Einschließung von Skalaren" zusammensetzen, um eine Karte zu erhalten, die auf Skalare und das Multiplizieren mit n kartografisch darstellt. Das Teilen durch n macht das einen Vorsprung, die Formel oben nachgebend.

In Bezug auf kurze genaue Folgen hat man

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der analog

ist:

für Lüge-Gruppen. Jedoch spaltet sich die Spur natürlich (über Zeitskalare) so auf, aber das Aufspalten der Determinante würde als die n-ten Wurzelzeitskalare sein, und das definiert keine Funktion im Allgemeinen, so spaltet sich die Determinante nicht auf und sich die allgemeine geradlinige Gruppe nicht zersetzt:

Bilineare Formen

Die bilineare Form

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wird die Tötungsform genannt, die für die Klassifikation von Lüge-Algebra verwendet wird.

Die Spur definiert eine bilineare Form:

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(x, y Quadrat matrices).

Die Form ist symmetrisch, nichtdegeneriert und im Sinn dass assoziativ:

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In einer einfachen Lüge-Algebra (z.B,), ist jede solche bilineare Form zu einander proportional; insbesondere zur Tötungsform.

Wie man

sagt, sind zwei matrices x und y orthogonale Spur wenn

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Skalarprodukt

Für eine m-by-n Matrix mit dem Komplex (oder echt) stellen Einträge und das verbundene zu sein, um, wir haben

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mit der Gleichheit wenn und nur wenn = 0. Die Anweisung

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gibt ein Skalarprodukt auf dem Raum des ganzen Komplexes (oder echt) m-by-n matrices nach.

Die durch das obengenannte Skalarprodukt veranlasste Norm wird die Norm von Frobenius genannt. Tatsächlich ist es einfach die Euklidische Norm, wenn die Matrix als ein Vektor der Länge mn betrachtet wird.

Hieraus folgt dass, wenn A und B positiver halbbestimmter matrices derselben Größe dann sind

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Generalisation

Das Konzept der Spur einer Matrix wird zur Spur-Klasse von Kompaktmaschinenbedienern auf Räumen von Hilbert verallgemeinert, und das Analogon der Norm von Frobenius wird die Norm von Hilbert-Schmidt genannt.

Die teilweise Spur ist eine andere Generalisation der Spur, die Maschinenbediener-geschätzt wird.

Wenn A eine allgemeine assoziative Algebra über ein Feld k ist, dann wird eine Spur auf A häufig definiert, um jede Karte tr zu sein: Ein  k, der auf Umschaltern verschwindet: tr ([a, b]) = 0 für den ganzen a, b in A. Solch eine Spur wird nicht einzigartig definiert; es kann immer mindestens durch die Multiplikation durch einen Nichtnullskalar modifiziert werden.

Eine Superspur ist die Generalisation einer Spur zur Einstellung von Superalgebra.

Die Operation der Tensor-Zusammenziehung verallgemeinert die Spur zum willkürlichen Tensor.

Koordinatenfreie Definition

Wir können den Raum von geradlinigen Maschinenbedienern auf einem Vektorraum mit dem Raum, wo identifizieren. Wir haben auch eine kanonische bilineare Funktion, die daraus besteht, ein Element auf ein Element anzuwenden, ein Element in Symbolen zu bekommen. Das veranlasst eine geradlinige Funktion auf dem Tensor-Produkt (durch sein universales Eigentum), der, wie es sich erweist, wenn dieses Tensor-Produkt als der Raum von Maschinenbedienern angesehen wird, der Spur gleich ist.

Das klärt auch, warum und warum, weil die Zusammensetzung von Maschinenbedienern (Multiplikation von matrices) und Spur als dieselbe Paarung interpretiert werden kann. Betrachtung, man kann die Zusammensetzungskarte als interpretieren

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die Ankunft aus der Paarung zu den mittleren Begriffen. Die Einnahme der Spur des Produktes kommt dann daraus, sich zu den Außenbegriffen zu paaren, während die Einnahme des Produktes in der entgegengesetzten Ordnung und dann die Einnahme der Spur gerade umschalten, welche Paarung zuerst angewandt wird. Andererseits entspricht die Einnahme der Spur und der Spur dessen Verwendung der Paarung zu den linken Begriffen und zu den richtigen Begriffen (aber nicht zum inneren und Außen-), und ist so verschieden.

In Koordinaten entspricht das Indizes: Durch Multiplikation wird so gegeben, und der dasselbe ist, während, der verschieden ist.

Für den endlich-dimensionalen, mit der Basis und Doppelbasis, ist dann der Zugang der Matrix des Maschinenbedieners in Bezug auf diese Basis. Jeder Maschinenbediener ist deshalb eine Summe der Form. Mit dem definierten als oben. Der Letztere ist jedoch gerade das Delta von Kronecker, 1 wenn i=j und 0 sonst seiend. Das zeigt, dass das einfach die Summe der Koeffizienten entlang der Diagonale ist. Diese Methode macht jedoch Koordinate invariance eine unmittelbare Folge der Definition.

Doppel-

Weiter kann man dualize diese Karte, eine Karte erhaltend. Diese Karte ist genau die Einschließung von Skalaren, an die Identitätsmatrix sendend: "Spur ist zu Skalaren Doppel-". Auf der Sprache von bialgebras sind Skalare die Einheit, während Spur der counit ist.

Man kann dann diese zusammensetzen, der Multiplikation dadurch nachgibt, weil die Spur der Identität die Dimension des Vektorraums ist.

Siehe auch

• Spur-Klasse
• Feldspur
• Goldene-Thompson Ungleichheit
• Charakteristische Funktion
• Der Lehrsatz von Specht
• die Spur-Ungleichheit von von Neumann

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