In der Statistik sind rückwärts Gehen zum bösartigen (auch bekannt als rückwärts Gehen zum bösartigen) das Phänomen, dass, wenn eine Variable auf seinem ersten Maß äußerst ist, es dazu neigen wird, am Durchschnitt auf einem zweiten Maß näher zu sein, und-a wird Tatsache, die paradox oberflächlich scheinen kann - wenn es auf einem zweiten Maß äußerst ist, dazu neigen, am Durchschnitt auf dem ersten Maß näher gewesen zu sein. Um zu vermeiden, falsche Schlussfolgerungen zu machen, muss die Möglichkeit des rückwärts Gehens zum bösartigen betrachtet werden, wenn man Experimente entwirft und experimentell, Überblick und andere empirische Daten in der ärztlichen Untersuchung, dem Leben, den Verhaltens- und Sozialwissenschaften dolmetscht.

Die Bedingungen, unter denen das rückwärts Gehen zum bösartigen vorkommt, hängen unterwegs ab der Begriff wird mathematisch definiert. Herr Francis Galton hat zuerst das Phänomen im Zusammenhang des einfachen geradlinigen rückwärts Gehens von Datenpunkten beobachtet. Jedoch ist eine weniger einschränkende Annäherung möglich. Das rückwärts Gehen zum bösartigen kann für jeden bivariate Vertrieb mit dem identischen Randvertrieb definiert werden. Zwei solche Definitionen bestehen. Eine Definition gewährt nah mit dem allgemeinen Gebrauch des Begriffes "rückwärts Gehen zum bösartigen". Nicht der ganze bivariate Vertrieb zeigt rückwärts Gehen dem bösartigen laut dieser Definition. Jedoch zeigt der ganze bivariate Vertrieb rückwärts Gehen dem bösartigen laut der anderen Definition.

Historisch, was jetzt genannt wird, ist das rückwärts Gehen zum bösartigen auch Rückfall zum bösartigen und Rückfall zur Mittelmäßigkeit genannt worden.

In der Finanz der Begriff hat Mittelrückfall eine verschiedene Bedeutung. Jeremy Siegel verwendet es, um eine Finanzzeitreihe zu beschreiben, in der "Umsatz kurzfristig sehr nicht stabil, aber im langen Lauf sehr stabil sein kann." Mehr quantitativ ist es dasjenige, in dem sich die Standardabweichung des durchschnittlichen jährlichen Umsatzes schneller neigt als das Gegenteil der haltenden Periode, andeutend, dass der Prozess nicht ein zufälliger Spaziergang ist, aber dass Perioden des niedrigeren Umsatzes durch das Ausgleichen von Perioden des höheren Umsatzes systematisch gefolgt wird.

Begriffshintergrund

Denken Sie ein einfaches Beispiel: Eine Klasse von Studenten unterzieht sich einer wahren/falschen 100-Artikel-Prüfung auf einem Thema. Nehmen Sie an, dass alle Studenten zufällig auf allen Fragen wählen. Dann würde die Kerbe jedes Studenten eine Verwirklichung von einem von einer Reihe von unabhängigen sein und hat identisch zufällige Variablen, mit einem bösartigen von 50 verteilt. Natürlich werden einige Studenten wesentlich oben 50 und einige wesentlich unten 50 gerade zufällig zählen. Wenn man nur die Spitze nimmt, 10 % der Studenten einkerbend, und ihnen einen zweiten Test gibt, auf dem sie wieder zufällig auf allen Sachen wählen, wie man wieder erwarten würde, war die Mittelkerbe 50 nah. So würden die bösartigen von diesen Studenten "Rückwärtsbewegung" den ganzen Weg zurück den bösartigen von allen Studenten, die sich der ursprünglichen Prüfung unterzogen haben. Egal was Studentenhunderte auf dem ursprünglichen Test, die beste Vorhersage seiner Kerbe auf dem zweiten Test 50 ist.

Wenn es kein Glück oder das zufällige Schätzen gäbe, das an den Antworten beteiligt ist, die von Studenten den Testfragen geliefert sind, dann würden alle Studenten dasselbe auf dem zweiten Test einkerben, wie sie auf dem ursprünglichen Test gezählt haben, und es kein rückwärts Gehen zum bösartigen geben würde.

Realistischste Situationen fallen zwischen diesen zwei Extremen: Zum Beispiel könnte man Prüfungshunderte als eine Kombination der Sachkenntnis und des Glücks betrachten. In diesem Fall würde die Teilmenge von Studenten, die über dem Durchschnitt zählen, aus denjenigen zusammengesetzt, die erfahren waren und nicht besonders Pech, zusammen mit denjenigen hatten, die unerfahren waren, aber äußerst Glück gehabt haben. Darauf, dieser Teilmenge wieder zu testen, wird das unerfahrene kaum ihre glückliche Brechung wiederholen, während das erfahrene eine zweite Chance haben wird, Pech zu haben. Folglich werden diejenigen, die vorher gesund gewesen sind, kaum ganz ebenso im zweiten Test tun.

Der folgende ist ein zweites Beispiel des rückwärts Gehens zum bösartigen. Eine Klasse von Studenten nimmt zwei Ausgaben desselben Tests in zwei aufeinander folgenden Tagen. Es ist oft bemerkt worden, dass die schlechtesten Darsteller am ersten Tag dazu neigen werden, ihre Hunderte am zweiten Tag zu verbessern, und die besten Darsteller am ersten Tag dazu neigen werden, schlechter am zweiten Tag zu tun. Das Phänomen kommt vor, weil Studentenhunderte teilweise durch das Unterliegen Fähigkeit und teilweise zufällig bestimmt werden. Für den ersten Test werden einige Glück haben, und mehr zählen als ihre Fähigkeit, und einige werden unglücklich sein und weniger zählen als ihre Fähigkeit. Einige der glücklichen Studenten auf dem ersten Test werden Glück wieder auf dem zweiten Test haben, aber mehr von ihnen werden (für sie) Durchschnitt oder unter durchschnittlichen Hunderten haben. Deshalb wird ein Student, der Glück auf dem ersten Test gehabt hat, mit größerer Wahrscheinlichkeit eine schlechtere Kerbe auf dem zweiten Test haben als eine bessere Kerbe. Ähnlich werden Studenten, die weniger zählen als das bösartige auf dem ersten Test, dazu neigen, ihre Hunderte zu sehen, auf dem zweiten Test zunehmen.

Geschichte

Das Konzept des rückwärts Gehens kommt aus der Genetik und wurde von Herrn Francis Galton während des Endes des 19. Jahrhunderts mit der Veröffentlichung des Rückwärts Gehens zur Mittelmäßigkeit in der erblichen Statur verbreitet. Galton hat bemerkt, dass äußerste Eigenschaften (z.B, Höhe) in Eltern völlig zu ihrer Nachkommenschaft nicht verzichtet werden. Eher, die Eigenschaften in der Nachkommenschaft-Rückwärtsbewegung zu einem mittelmäßigen Punkt (ein Punkt, der als das bösartige seitdem identifiziert worden ist). Indem er die Höhen von Hunderten von Leuten gemessen hat, ist er im Stande gewesen, rückwärts Gehen zum bösartigen zu messen, und die Größe der Wirkung zu schätzen. Galton hat geschrieben, dass, "ist das durchschnittliche rückwärts Gehen der Nachkommenschaft ein unveränderlicher Bruchteil ihrer jeweiligen Mitte elterliche Abweichungen". Das bedeutet, dass der Unterschied zwischen einem Kind und seinen Eltern für eine Eigenschaft zur Abweichung seiner Eltern von typischen Leuten in der Bevölkerung proportional ist. Wenn seine Eltern jeder sind, der um zwei Zoll höher ist als die Durchschnitte für Männer und Frauen durchschnittlich, wird es kürzer sein als seine Eltern durch einen Faktor (den, heute, wir ein minus der Regressionskoeffizient nennen würden) Zeiten zwei Zoll. Für die Höhe hat Galton geschätzt, dass dieser Koeffizient über 2/3 war: Die Höhe einer Person wird um einen Mittelpunkt messen, der zwei Drittel der Abweichung der Eltern vom Bevölkerungsdurchschnitt ist.

Galton hat den Begriff rückwärts Gehen ins Leben gerufen, um eine erkennbare Tatsache im Erbe von multi-factorial quantitativen genetischen Charakterzügen zu beschreiben: Nämlich dass die Nachkommenschaft von Eltern, die an den Schwänzen des Vertriebs lügen, dazu neigen wird, näher am Zentrum, dem bösartigen des Vertriebs zu liegen. Er hat diese Tendenz gemessen, und hat dabei geradlinige Regressionsanalyse erfunden, so den Grundstein für viel modernes statistisches Modellieren legend. Seitdem hat der Begriff "rückwärts Gehen" eine Vielfalt von Bedeutungen übernommen, und es kann von modernen Statistikern verwendet werden, um Phänomene der ausfallenden Neigung zu beschreiben, die wenig haben, um mit den ursprünglichen Beobachtungen von Galton im Feld der Genetik zu tun.

Wie man

jetzt bekannt, ist die Erklärung von Galton für das Phänomen des rückwärts Gehens, das er beobachtet hat, falsch. Er hat festgesetzt: "Ein Kind erbt teilweise von seinen Eltern teilweise von seinen Vorfahren. Allgemein sprechend, je weiter seine Genealogie zurückgeht, desto zahlreicher und verschieden seine Herkunft wird werden, bis sie aufhören, sich von jeder ebenso zahlreichen Probe zu unterscheiden, die am Geratewohl von der Rasse auf freiem Fuß genommen ist." Das ist falsch, da ein Kind sein genetisches Make-Up exklusiv von seinen Eltern erhält. Es gibt kein Auslassen der Generation im genetischen Material: Jedes genetische Material von früheren Vorfahren als die Eltern muss die Eltern durchgeführt haben. Das Phänomen wird besser verstanden, wenn wir annehmen, dass der geerbte Charakterzug (z.B, Höhe) von einer Vielzahl von rückläufigen Genen kontrolliert wird. Außergewöhnlich hohe Personen müssen homozygous für vergrößerte Höhe-Veränderungen auf einem großen Verhältnis dieser geometrischen Orte sein. Aber die geometrischen Orte, die diese Veränderungen tragen, werden zwischen zwei hohen Personen nicht notwendigerweise geteilt, und wenn sich diese Personen vermählen, wird ihre Nachkommenschaft durchschnittlich homozygous für "hohe" Veränderungen auf weniger geometrischen Orten sein als jeder ihrer Eltern. Außerdem wird Höhe nicht völlig genetisch bestimmt, sondern auch Thema zahlreichen zufälligen Umwelteinflüssen während der Entwicklung, die Nachkommenschaft von außergewöhnlichen Eltern machen, um noch wahrscheinlicher am Durchschnitt näher zu sein, als ihre Eltern.

In der scharfen Unähnlichkeit zu dieser Bevölkerung wird das genetische Phänomen des rückwärts Gehens zum bösartigen, von dem am besten als eine Kombination eines binomisch verteilten Prozesses des Erbes (plus normalerweise verteilte Umwelteinflüsse), der Begriff "rückwärts Gehen zum bösartigen" gedacht wird, jetzt häufig verwendet, um völlig verschiedene Phänomene zu beschreiben, in denen eine anfängliche ausfallende Neigung verschwinden kann, weil neue, wiederholte oder größere Proben Beispielmittel zeigen, die an der wahren zu Grunde liegenden bösartigen Bevölkerung näher sind.

Wichtigkeit

Das rückwärts Gehen zum bösartigen ist eine bedeutende Rücksicht im Design von Experimenten.

Nehmen Sie ein hypothetisches Beispiel von 1,000 Personen eines ähnlichen Alters, die untersucht wurden und auf der Gefahr gezählt haben, einen Herzanfall zu erfahren. Statistik konnte verwendet werden, um den Erfolg eines Eingreifens auf den 50 zu messen, die an der größten Gefahr abgeschätzt wurden. Das Eingreifen konnte eine Änderung in der Diät, Übung oder einer Rauschgift-Behandlung sein. Selbst wenn das Eingreifen wertlos ist, wie man erwarten würde, zeigte die Testgruppe eine Verbesserung auf ihrer folgenden physischen Prüfung wegen des rückwärts Gehens zum bösartigen. Die beste Weise, diese Wirkung zu bekämpfen, ist, die Gruppe zufällig in eine Behandlungsgruppe zu teilen, die die Behandlung und eine Kontrollgruppe erhält, die nicht tut.

Die Behandlung würde dann wirksam nur beurteilt, wenn sich die Behandlungsgruppe mehr verbessert als die Kontrollgruppe.

Wechselweise konnte eine Gruppe von benachteiligten Kindern geprüft werden, um diejenigen mit dem grössten Teil des Universitätspotenzials zu identifizieren.

Der 1 erste % konnte identifiziert und mit speziellen Bereicherungskursen, dem Unterrichten, dem Raten und den Computern geliefert werden. Selbst wenn das Programm wirksam ist, können ihre durchschnittlichen Hunderte weniger gut sein, wenn der Test ein Jahr später wiederholt wird. Jedoch in diesen Verhältnissen kann es unfair betrachtet werden, eine Kontrollgruppe von benachteiligten Kindern zu haben, deren spezielle Bedürfnisse ignoriert werden. Eine mathematische Berechnung für das Zusammenschrumpfen kann sich für diese Wirkung anpassen, obwohl es so nicht zuverlässig sein wird wie die Kontrollgruppenmethode (sieh auch das Beispiel von Stein.)

Die Wirkung kann auch für die allgemeine Schlussfolgerung und Bewertung ausgenutzt werden. Der heißeste Platz im Land wird mit größerer Wahrscheinlichkeit heute Morgen kühler sein als heißer. Der beste leistende Investmentfonds im Laufe der letzten drei Jahre wird mit größerer Wahrscheinlichkeit Verhältnisleistungsniedergang sehen, als sich im Laufe der nächsten drei Jahre verbessern. Der erfolgreichste Schauspieler von Hollywood dieses Jahres wird wahrscheinlich weniger Gros haben als mehr Gros für seinen oder ihren folgenden Film. Der Baseball-Spieler mit der größten Durchschnittsleistung durch die Nur mit ersten Kräften besetzte Brechung wird mit größerer Wahrscheinlichkeit einen niedrigeren Durchschnitt haben als ein höherer Durchschnitt im Laufe der zweiten Hälfte der Jahreszeit.

Missverständnisse

Das Konzept des rückwärts Gehens zum bösartigen kann sehr leicht missbraucht werden.

Im Studententestbeispiel oben wurde es implizit angenommen, dass, was gemessen wurde, sich zwischen den zwei Maßen nicht geändert hat. Nehmen Sie jedoch an, dass der Kurs war, gehen/fehlen, und Studenten waren erforderlich, oben 70 auf beiden Tests zu zählen, um zu gehen. Dann würden die Studenten, die unter 70 das erste Mal gezählt haben, keinen Ansporn haben zu tun so, und könnten schlechter durchschnittlich das zweite Mal zählen. Die Studenten gerade würden mehr als 70 andererseits einen starken Ansporn haben, zu studieren und sich zu konzentrieren, während sie sich der Prüfung unterziehen. In diesem Fall könnte man Bewegung weg von 70, Hunderte darunter sehen, niedriger und Hunderte darüber werdend, höher werdend. Es ist für Änderungen zwischen den Maß-Zeiten möglich, die statistische Tendenz zur Rückwärtsbewegung zum bösartigen zu vermehren, auszugleichen oder umzukehren.

Das statistische rückwärts Gehen zum bösartigen ist nicht ein kausales Phänomen. Ein Student mit der schlechtesten Kerbe auf dem Test am ersten Tag wird ihre Kerbe wesentlich am zweiten Tag wegen der Wirkung nicht notwendigerweise vergrößern. Durchschnittlich verbessern sich die schlechtesten Schreiber, aber das ist nur wahr, weil die schlechtesten Schreiber mit größerer Wahrscheinlichkeit unglücklich gewesen sein werden als glücklich. Im Ausmaß, dass eine Kerbe zufällig bestimmt wird, oder dass eine Kerbe zufällige Schwankung oder Fehler im Vergleich mit dem bestimmen durch die akademische Fähigkeit des Studenten hat oder ein "wahrer Wert" zu sein, wird das Phänomen eine Wirkung haben. Ein klassischer Fehler war in dieser Beziehung in der Ausbildung. Wie man bemerkte, haben die Studenten, die Lob für die gute Arbeit erhalten haben, schlechter auf dem folgenden Maß getan, und, wie man bemerkte, haben die Studenten, die für die schlechte Arbeit bestraft wurden, besser auf dem folgenden Maß getan. Die Pädagogen haben sich dafür entschieden aufzuhören, zu loben und fortzusetzen, auf dieser Basis zu bestrafen. Solch eine Entscheidung war ein Fehler, weil das rückwärts Gehen zum bösartigen auf der Ursache und Wirkung, aber eher auf dem zufälligen Fehler in einem natürlichen Vertrieb um einen bösartigen nicht basiert.

Obwohl individuelle Maße-Rückwärtsbewegung zum bösartigen, die zweite Probe von Maßen nicht am bösartigen näher sein wird als das erste. Denken Sie die Studenten wieder. Nehmen Sie an, dass ihre Tendenz zur Rückwärtsbewegung 10 % des Weges zu den bösartigen von 80 ist, so, wie man erwartet, zählt ein Student, der 100 der erste Tag gezählt hat, 98 der zweite Tag und ein Student, der 70 gezählt hat, wie man erwartet, zählt der erste Tag 71 der zweite Tag. Jene Erwartungen sind am bösartigen näher als die ersten Tageshunderte. Aber die zweiten Tageshunderte werden sich um ihre Erwartungen ändern; einige werden höher sein, und einige werden niedriger sein. Das wird den zweiten Satz von Maßen weiter vom bösartigen durchschnittlich machen als ihre Erwartungen. Die Wirkung ist die genaue Rückseite des rückwärts Gehens zum bösartigen, und gleicht es genau aus. So für jede Person nehmen wir an, dass die zweite Kerbe am bösartigen näher ist als die erste Kerbe, aber für alle Personen nehmen wir an, dass die durchschnittliche Entfernung vom bösartigen dasselbe auf beiden Sätzen von Maßen ist.

Verbunden mit dem Punkt oben, rückwärts Gehen zu den Mittelarbeiten ebenso gut in beiden Richtungen. Wir nehmen an, dass der Student mit der höchsten Testkerbe am zweiten Tag schlechter am ersten Tag getan hat. Und wenn wir den besten Studenten am ersten Tag dem besten Studenten am zweiten Tag, unabhängig davon vergleichen, ob es dieselbe Person oder nicht ist, gibt es eine Tendenz zur Rückwärtsbewegung zum Mittelhineingehen in jede Richtung. Wir nehmen an, dass die besten Hunderte in beiden Tagen vom bösartigen ebenso weit sind.

Scheinbeweise des rückwärts Gehens

Viele Phänomene neigen dazu, den falschen Ursachen zugeschrieben zu werden, wenn das rückwärts Gehen zum bösartigen nicht in Betracht gezogen wird.

Ein äußerstes Beispiel ist das 1933-Buch von Horace Secrist Der Triumph der Mittelmäßigkeit im Geschäft, in dem der Statistikprofessor Berge von Daten gesammelt hat, um zu beweisen, dass die Gewinnraten von Wettbewerbsgeschäften zum Durchschnitt mit der Zeit neigen. Tatsächlich gibt es keine solche Wirkung; die Veränderlichkeit von Gewinnraten ist fast mit der Zeit unveränderlich. Secrist hatte nur das allgemeine rückwärts Gehen zum bösartigen beschrieben. Ein aufgebrachter Rezensent, Harold Hotelling, hat das Buch mit dem "Beweis der Multiplikationstabelle verglichen, indem er Elefanten in Reihen und Säulen eingeordnet hat, und dann für viele andere Arten von Tieren dasselbe gemacht hat".

Die Berechnung und Interpretation von "Verbesserungshunderten" auf standardisierten Bildungstests in Massachusetts stellen wahrscheinlich ein anderes Beispiel des Scheinbeweises des rückwärts Gehens zur Verfügung. 1999 wurden Schulen Verbesserungsabsichten gegeben. Für jede Schule hat die Abteilung der Ausbildung den Unterschied in der durchschnittlichen Kerbe tabellarisiert, die von Studenten 1999 und 2000 erreicht ist. Es wurde schnell bemerkt, dass die meisten am schlechtesten leistenden Schulen ihre Absichten entsprochen hatten, die die Abteilung der Ausbildung als Bestätigung der Stichhaltigkeit ihrer Policen genommen hat. Jedoch wurde es auch bemerkt, dass, wie man erklärte, viele der vermutlich besten Schulen in Commonwealth, wie Höhere Brookline-Schule (mit 18 Nationalen Verdienst-Gelehrsamkeitsfinalisten) gescheitert hatten. Als in vielen Fällen, die Statistik und Rechtsordnung einschließen, wird das Problem diskutiert, aber "Verbesserungshunderte" wurden in nachfolgenden Jahren nicht bekannt gegeben, und die Ergebnisse scheinen, ein Fall des rückwärts Gehens zum bösartigen zu sein.

Der Psychologe Daniel Kahneman, Sieger des 2002-Nobelpreises in der Volkswirtschaft, hat darauf hingewiesen, dass das rückwärts Gehen zum bösartigen erklären könnte, warum Rügen scheinen können, Leistung zu verbessern, während Lob scheint fehlzuschlagen.

Strafverfolgungspolicen des Vereinigten Königreichs haben das sichtbare Stationieren von statischen oder beweglichen Geschwindigkeitskameras am Unfall blackspots gefördert. Diese Politik wurde durch eine Wahrnehmung gerechtfertigt, dass es die entsprechende Verminderung ernster Straßenverkehrsunfälle gibt, nachdem eine Kamera aufgestellt wird. Jedoch haben Statistiker darauf hingewiesen, dass, obwohl es einen Nettovorteil in gesparten Leben gibt, Misserfolg, die Effekten des rückwärts Gehens zum bösartigen in Betracht zu ziehen, auf die vorteilhaften Effekten hinausläuft, die übertreiben werden. Es wird so gefordert, dass etwas vom für Verkehrskameras zurzeit ausgegebenen Geld anderswohin produktiver geleitet werden konnte.

Statistische Analytiker haben lange die Wirkung des rückwärts Gehens zum bösartigen in Sportarten anerkannt; sie haben sogar einen speziellen Namen dafür: der "College-Student-Sturz". Zum Beispiel hatte Carmelo Anthony von Denver Goldklumpen der NBA eine hervorragende Anfänger-Jahreszeit 2004. Es war tatsächlich so hervorragend, dass, wie man vielleicht erwarten konnte, er es nicht wiederholt hat: 2005 waren die Zahlen von Anthony von seiner Anfänger-Jahreszeit gefallen. Die Gründe für den "College-Student-Sturz" sind im Überfluss, weil Sportarten alle über die Anpassung und Gegenanpassung sind, aber die Glück-basierte Vorzüglichkeit als ein Anfänger ist ein so guter Grund wie irgendwelcher.

Das rückwärts Gehen zum bösartigen in der Sportleistung kann der Grund für die "Sportarten sein Illustriertes Deckel-Unheil" und "Macht Fluch Verrückt". John Hollinger hat einen abwechselnden Namen für das Phänomen des rückwärts Gehens zum bösartigen: Der "Glücksfall herrscht", während Bill James ihn den Plexiglas "Grundsatz" nennt.

Weil sich populäre Überlieferung "auf rückwärts Gehen zum bösartigen" als eine Rechnung des Neigens der Leistung von Athleten von einer Jahreszeit zum folgenden konzentriert hat, hat es gewöhnlich die Tatsache überblickt, dass solches rückwärts Gehen auch für verbesserte Leistung verantwortlich sein kann. Zum Beispiel, wenn man auf die Durchschnittsleistung von Baseball-Spielern der Obersten Spielklasse in einer Jahreszeit, diejenigen schaut, deren Durchschnittsleistung über der bösartigen Liga war, neigen zur Rückwärtsbewegung nach unten zum bösartigen im nächsten Jahr, während diejenigen, deren Durchschnittsleistung unter dem bösartigen war, dazu neigen, aufwärts zum bösartigen im nächsten Jahr fortzuschreiten.

Andere statistische Phänomene

Das rückwärts Gehen zum bösartigen sagt einfach, dass, im Anschluss an ein äußerstes zufälliges Ereignis, das folgende zufällige Ereignis wahrscheinlich weniger äußerst sein wird. In keinem Sinn tut das zukünftige Ereignis "ersetzen" oder "gleichen" das vorherige Ereignis "aus", obwohl das im Scheinbeweis des Spielers (und verschiedenes Gesetz von Durchschnitten) angenommen wird. Ähnlich stellt das Gesetz der großen Anzahl fest, dass auf lange Sicht der Durchschnitt zum erwarteten Wert neigen wird, aber keine Erklärung über individuelle Proben abgibt. Zum Beispiel, im Anschluss an einen Lauf von 10 Köpfen auf einem Flip einer schönen Münze (ein seltenes, äußerstes Ereignis), wird das rückwärts Gehen zu den Mittelstaaten, dass der folgende Lauf von Köpfen wahrscheinlich weniger als 10 sein wird, während das Gesetz der großen Anzahl feststellt, dass auf lange Sicht dieses Ereignis wahrscheinlich, und der durchschnittliche Bruchteil von Köpfen durchschnittlich ausmachen wird, zu 1/2 neigen. Im Vergleich nimmt der Scheinbeweis des Spielers falsch an, dass die Münze jetzt für einen Lauf von Schwänzen "erwartet" ist, zu balancieren.

Definition für das einfache geradlinige rückwärts Gehen von Datenpunkten

Das ist die Definition des rückwärts Gehens zum bösartigen, das nah dem ursprünglichen Gebrauch von Herrn Francis Galton folgt.

Nehmen Sie an, dass es n Datenpunkte {y, x}, wo ich = 1, 2, …, n gibt. Wir wollen die Gleichung der Linie des rückwärts Gehens, d. h. die Gerade finden

:

der einen "besten" passenden für die Datenpunkte zur Verfügung stellen würde. (Bemerken Sie, dass eine Gerade die passende Kurve des rückwärts Gehens für die gegebenen Datenpunkte nicht sein kann.) Hier wird das "beste" als in der Am-Wenigsten-Quadratannäherung verstanden: Solch eine Linie, die die Summe von kariertem residuals des geradlinigen Modells des rückwärts Gehens minimiert. Mit anderen Worten beheben Zahlen α und β das folgende Minimierungsproblem:

:, Finden Sie wo

\sum_ {ich

1\^n (y_i - \alpha - \beta x_i) ^2\</Mathematik>

Das Verwenden einfacher Rechnung es kann gezeigt werden, dass die Werte von α und β, die die objektive Funktion Q minimieren, sind

:

& \hat\beta = \frac {\sum_ {i=1} ^ {n} (x_ {ich}-\bar {x}) (y_ {ich}-\bar {y})} {\sum_ {i=1} ^ {n} (x_ {ich}-\bar {x}) ^2 }\

= \frac {\overline {xy} - \bar {x }\\Bar {y}} {\overline {x^2} - \bar {x} ^2 }\

= \frac {\operatorname {Cov} [x, y]} {\operatorname {Var} [x] }\

= r_ {xy} \frac {s_y} {s_x}, \\

& \hat\alpha = \bar {y} - \hat\beta \,\bar {x},

\end {richten} </Mathematik> {aus}

wo r der Beispielkorrelationskoeffizient zwischen x ist und y, s die Standardabweichung von x ist, und s entsprechend die Standardabweichung von y ist. Die horizontale Bar über eine Variable bedeutet den Beispieldurchschnitt dieser Variable. Zum Beispiel:

Das Ersetzen der obengenannten Ausdrücke für und in Erträge hat Werte gepasst

:

der nachgibt

:

Das zeigt die Rolle r Spiele in der Linie des rückwärts Gehens von standardisierten Datenpunkten.

Wenn 1, X zufällige Variablen mit dem identischen Randvertrieb mit Mittel-μ sind. In dieser Formalisierung, wie man sagt, stellt der bivariate Vertrieb X und X rückwärts Gehen zum bösartigen aus, wenn, für jede Zahl c> μ, wir haben

:&mu;  E [X | X = c]

Der folgende ist eine informelle Beschreibung der obengenannten Definition. Denken Sie eine Bevölkerung von Produkten. Jedes Produkt hat zwei Zahlen, X und X (sagen Sie, seine linke Spanne (X) und Recht messen (X) ab). Nehmen Sie an, dass der Wahrscheinlichkeitsvertrieb X und X in der Bevölkerung identisch ist, und dass die Mittel X und X beide μ sind. Wir nehmen jetzt ein zufälliges Produkt von der Bevölkerung, und zeigen seinen X Wert durch c an. (Bemerken Sie, dass c größer als, dem gleich oder kleiner sein kann als μ.) Wir haben keinen Zugang zum Wert der X dieses Produkts noch. Lassen Sie d den erwarteten Wert von X dieses besonderen Produkts anzeigen. (d. h. Lassen Sie d den durchschnittlichen Wert von X aller Produkte in der Bevölkerung mit X=c anzeigen.), Wenn die folgende Bedingung wahr ist:

:Whatever, der der Wert c, d ist, liegt zwischen &mu; und c (d. h. d ist an &mu näher; als c ist),

dann sagen wir dass X und X Show-rückwärts Gehen zum bösartigen.

Diese Definition harmoniert nah mit dem aktuellen allgemeinen Gebrauch, der vom ursprünglichen Gebrauch von Galton, vom Begriff "rückwärts Gehen zum bösartigen entwickelt ist." Es ist im Sinn "einschränkend", dass nicht jeder bivariate Vertrieb mit dem identischen Randvertrieb rückwärts Gehen zum bösartigen (laut dieser Definition) ausstellt.

Lehrsatz

Wenn ein Paar (X, Y) zufälliger Variablen einer bivariate Normalverteilung folgt, dann ist der bedingte bösartige E (YX) eine geradlinige Funktion X. Der Korrelationskoeffizient r zwischen X und Y, zusammen mit den Randmitteln und Abweichungen X und Y, bestimmt diese geradlinige Beziehung:

:

\frac {E (Y|X)-EY} {\\sigma_y} = r\frac {X-EX} {\\sigma_x},

</Mathematik>

wo AB und EY die erwarteten Werte von X und Y beziehungsweise sind, und σ und σ die Standardabweichungen X und Y beziehungsweise sind.

Folglich der bedingte erwartete Wert von Y, vorausgesetzt, dass X t Standardabweichungen über seinem bösartigen ist (und schließt das den Fall ein, wo es unter seinem bösartigen, wenn t ist

Folglich, wenn 0  r

Lassen Sie X, X zufällige Variablen mit dem identischen Randvertrieb mit Mittel-μ sein. In dieser Formalisierung, wie man sagt, stellt der bivariate Vertrieb X und X Rückfall zum bösartigen aus, wenn, für jede Nummer c, wir haben

:&mu;  E [X | X> c] | X> c], und

:&mu;  E [X | X