In der Mathematik ist F der Name einer Lüge-Gruppe und auch seiner Lüge-Algebra. Es ist eine der fünf außergewöhnlichen einfachen Lüge-Gruppen. F hat Reihe 4 und Dimension 52. Die Kompaktform wird einfach verbunden, und seine automorphism Außengruppe ist die triviale Gruppe. Seine grundsätzliche Darstellung ist 26-dimensional.

Die echte Kompaktform von F ist die Isometrie-Gruppe einer 16-dimensionalen Sammelleitung von Riemannian bekannt als 'octonionic projektives Flugzeug', OP. Das kann systematisch mit einem Aufbau gesehen werden, der als das magische Quadrat, wegen Hans Freudenthals und Jacques Tits bekannt ist.

Es gibt 3 echte Formen: ein kompakter, ein Spalt ein und ein dritter.

Die F Liegen Algebra kann durch das Hinzufügen von 16 Generatoren gebaut werden, die sich als ein spinor zur 36-dimensionalen Lüge-Algebra so (9), in der Analogie mit dem Aufbau von E verwandeln.

In älteren Büchern und Zeitungen wird F manchmal durch E angezeigt.

Algebra

Diagramm von Dynkin

Durch das Dynkin Diagramm für F wird gegeben.

Weyl/Coxeter Gruppe

Seine Weyl/Coxeter Gruppe ist die Symmetrie-Gruppe des 24-Zellen-: Es ist eine lösbare Gruppe des Auftrags 1152.

Matrix von Cartan

:

\left [\begin {smallmatrix }\

2&-1&0&0 \\

-1&2&-2&0 \\

0&-1&2&-1 \\

0&0&-1&2

\end {smallmatrix }\\Recht]

</Mathematik>

F Gitter

Das F Gitter ist ein vier dimensionales Körper - Kubikgitter (d. h. die Vereinigung von zwei Hyperkubikgittern, jeder, im Zentrum vom anderen lügend). Sie formen sich ein Ring hat den Ring von Hurwitz quaternion genannt. 24 Hurwitz quaternions der Norm 1 bilden den 24-Zellen-.

Wurzeln von F

Die 48 Wurzelvektoren von F können als die Scheitelpunkte des 24-Zellen-in zwei Doppelkonfigurationen gefunden werden:

24-Zellen-Scheitelpunkte:

• 24 Wurzeln durch (±1, ±1,0,0), permutating koordinieren Positionen

Doppel-24-Zellen-Scheitelpunkte:

• 8 Wurzeln durch (±1, 0, 0, 0), permutating koordinieren Positionen
• 16 Wurzeln durch (±½, ±½, ±½, ±½).

Einfache Wurzeln

Eine Wahl von einfachen Wurzeln für F wird durch die Reihen der folgenden Matrix gegeben:

:

0&1&-1&0 \\

0&0&1&-1 \\

0&0&0&1 \\

\frac {1} {2} &-\frac {1} {2} &-\frac {1} {2} &-\frac {1} {2 }\\\

\end {smallmatrix }\\Recht] </Mathematik>

F Polynom invariant

Ebenso O ist (n) die Gruppe von automorphisms, die die quadratischen Polynome x ² + y ² +... invariant behalten, ist F die Gruppe von automorphisms des folgenden Satzes von 3 Polynomen in 27 Variablen. (Das erste kann ins andere zwei Bilden von 26 Variablen leicht eingesetzt werden).

:::

Wo x, y, z geschätzt und X, Y echt sind, sind Z geschätzter octonion. Eine andere Weise, diese invariants zu schreiben, ist als (Kombinationen) Tr (M), Tr (M ²) und Tr (M ³) des hermitian octonion Matrix:

:\begin {bmatrix }\

x& \overline {Z} & Y \\

Z & y & \overline {X} \\

\overline {Y} & X & z

\end {bmatrix} </Mathematik>

F ist die einzige außergewöhnliche Lüge-Gruppe, die den automorphisms von einer Reihe echter Ersatzpolynome gibt. (Die anderen außergewöhnlichen Lüge-Gruppen verlangen Antiersatzpolynom invariants).

Darstellungen

Die Charaktere von begrenzten dimensionalen Darstellungen der echten und komplizierten Lüge-Algebra und Liegen Gruppen wird alles durch die Charakter-Formel von Weyl gegeben. Die Dimensionen der kleinsten nicht zu vereinfachenden Darstellungen sind:

:1, 26, 52, 273, 324, 1053 (zweimal), 1274, 2652, 4096, 8424, 10829, 12376, 16302, 17901, 19278, 19448, 29172, 34749, 76076, 81081, 100776, 106496, 107406, 119119, 160056 (zweimal), 184756, 205751, 212992, 226746, 340119, 342056, 379848, 412776, 420147,

627912&hellip;

Die 52-dimensionale Darstellung ist die adjoint Darstellung, und der 26-dimensionale ist der Teil ohne Spuren der Handlung von F auf der außergewöhnlichen Algebra von Albert der Dimension 27.

Es gibt zwei nichtisomorphe nicht zu vereinfachende Darstellungen von Dimensionen 1053, 160056, 4313088, usw. Die grundsätzlichen Darstellungen sind diejenigen mit Dimensionen 52, 1274, 273, 26 (entsprechend den vier Knoten im Diagramm von Dynkin in der solcher Ordnung, dass der doppelte Pfeil vom zweiten bis das dritte hinweist).

Siehe auch

• Außergewöhnliche Algebra von Jordan
• John Baez, Der Octonions, Abschnitt 4.2: F, Stier. Amer. Mathematik. Soc. 39 (2002), 145-205. Online-HTML-Version an

http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node15.html.