In der Mathematik ist ein Nachdenken (auch buchstabierte Reflexion) von einem Euklidischen Raum bis sich kartografisch darzustellen, der eine Isometrie mit einem Hyperflugzeug als Satz von festen Punkten ist; dieser Satz wird die Achse (in der Dimension 2) oder Flugzeug (in der Dimension 3) des Nachdenkens genannt. Das Image einer Zahl durch ein Nachdenken ist sein Spiegelimage in der Achse oder dem Flugzeug des Nachdenkens. Zum Beispiel würde das Spiegelimage des kleinen lateinischen Briefs p für ein Nachdenken in Bezug auf eine vertikale Achse wie q aussehen. Sein Image durch das Nachdenken in einer horizontalen Achse würde wie b aussehen. Ein Nachdenken ist eine Involution: Wenn angewandt, zweimal in der Folge kehrt jeder Punkt zu seiner ursprünglichen Position zurück, und jeder geometrische Gegenstand wird zu seinem ursprünglichen Staat wieder hergestellt.

Der Begriff "Nachdenken" wird manchmal für eine größere Klasse von mappings von einem Euklidischen Raum bis sich, nämlich die Nichtidentitätsisometrien gebraucht, die Involutionen sind. Solche Isometrien haben eine Reihe fester Punkte (der "Spiegel"), der ein affine Subraum ist, aber vielleicht kleiner ist als ein Hyperflugzeug. Zum Beispiel ist ein Nachdenken durch einen Punkt eine involutive Isometrie mit gerade einem festem Punkt; das Image des Briefs p darunter

würde wie ein d aussehen. Diese Operation ist auch bekannt als eine Hauptinversion, und stellt Euklidischen Raum als ein symmetrischer Raum aus. In einem Euklidischen Vektorraum ist das Nachdenken im am Ursprung gelegenen Punkt dasselbe als Vektor-Ablehnung. Andere Beispiele schließen Nachdenken in eine Linie im dreidimensionalen Raum ein. Gewöhnlich jedoch bedeutet der unqualifizierte Gebrauch des Begriffes "Nachdenken" Nachdenken in einem Hyperflugzeug.

Wie man

sagt, hat eine Zahl, die sich nach dem Erleben eines Nachdenkens nicht ändert, reflectional Symmetrie.

Aufbau

Im Flugzeug (oder 3-dimensional) Geometrie, um das Nachdenken eines Punkts zu finden, lässt man eine Senkrechte vom Punkt auf die Linie (Flugzeug) fallen, das für das Nachdenken verwendet ist, und setzt es zu derselben Entfernung auf der anderen Seite fort. Um das Nachdenken einer Zahl zu finden, widerspiegelt man jeden Punkt in der Zahl.

Eigenschaften

Die Matrix für ein Nachdenken ist mit der Determinante-1 und eigenvalues orthogonal (1, 1, 1... 1,-1). Das Produkt von zwei solchen matrices ist eine spezielle orthogonale Matrix, die eine Folge vertritt. Jede Folge ist das Ergebnis des Reflektierens in einer geraden Zahl des Nachdenkens in Hyperflugzeugen durch den Ursprung, und jede unpassende Folge ist das Ergebnis des Reflektierens in einer ungeraden Zahl. So erzeugt Nachdenken die orthogonale Gruppe, und dieses Ergebnis ist als der Lehrsatz von Cartan-Dieudonné bekannt.

Ähnlich wird die Euklidische Gruppe, die aus allen Isometrien des Euklidischen Raums besteht, durch das Nachdenken in affine Hyperflugzeugen erzeugt. Im Allgemeinen ist eine Gruppe, die durch das Nachdenken in affine Hyperflugzeugen erzeugt ist, als eine Nachdenken-Gruppe bekannt. Die begrenzten Gruppen haben erzeugt auf diese Weise sind Beispiele von Gruppen von Coxeter.

Nachdenken über eine Linie im Flugzeug

Das Nachdenken über eine Linie durch den Ursprung in zwei Dimensionen kann durch die folgende Formel beschrieben werden

:

Wo v anzeigt, dass der Vektor, der, l wird widerspiegelt, jeden Vektoren in der Linie anzeigt, die in, und v wird widerspiegelt · l zeigt das Punktprodukt von v mit l an. Bemerken Sie, dass die Formel auch oben als beschrieben werden kann

:

Wo das Nachdenken der Linie l darauf, gleich 2mal dem Vorsprung von v online l minus v zu sein.

Das Nachdenken in einer Linie hat den eigenvalues 1, und 1.

Nachdenken durch ein Hyperflugzeug in n Dimensionen

In Anbetracht eines Vektoren im Euklidischen Raum R wird die Formel für das Nachdenken im Hyperflugzeug durch den Ursprung, der zu a orthogonal ist, durch gegeben

:

wo v · ein Anzeigen des Punktproduktes von v mit a. Bemerken Sie, dass der zweite Begriff in der obengenannten Gleichung gerade zweimal der Vektor-Vorsprung von v auf a ist. Man kann das leicht überprüfen

• Bezüglich (v) = − v, wenn v zu a und parallel

ist

• Bezüglich (v) = v, wenn v auf a rechtwinklig ist.

Mit dem geometrischen Produkt ist die Formel ein wenig einfacherer

:

Da dieses Nachdenken Isometrien des Euklidischen Raums ist, der den Ursprung befestigt, können sie durch orthogonalen matrices vertreten werden. Die orthogonale Matrix entsprechend dem obengenannten Nachdenken ist die Matrix, deren Einträge sind

:

wo δ das Delta von Kronecker ist.

Die Formel für das Nachdenken im affine Hyperflugzeug nicht durch den Ursprung ist

:

Siehe auch

• Koordinatenfolgen und Nachdenken
• Wohnungsinhaber-Transformation
• Umkehrende Geometrie
• Punkt-Nachdenken
• Flugzeug der Folge
• Nachdenken, das kartografisch darstellt
• Nachdenken-Gruppe

Links

• Nachdenken in der Linie an der Knoten-Kürzung
• 2. Nachdenken und das Verstehen des 3D-Nachdenkens durch Roger Germundsson, Das Wolfram-Demonstrationsprojekt verstehend.