In der Mathematik ist eine Eigenartigkeit im Allgemeinen ein Punkt, an dem ein gegebener mathematischer Gegenstand, oder ein Punkt eines außergewöhnlichen Satzes nicht definiert wird, wo es scheitert, auf eine besondere Weise wie differentiability wohl erzogen zu sein. Sieh Eigenartigkeitstheorie für die allgemeine Diskussion der geometrischen Theorie, die nur einige Aspekte bedeckt.

Zum Beispiel, die Funktion

auf der echten Linie hat eine Eigenartigkeit an x = 0, wo es scheint, zu ±  "zu explodieren", und nicht definiert wird. Die Funktion g (x) = |x (sieh absoluten Wert), hat auch eine Eigenartigkeit an x = 0, da es nicht differentiable dort ist. Ähnlich hat der Graph, der durch y = x auch definiert ist, eine Eigenartigkeit an (0,0), dieses Mal, weil es eine "Ecke" (vertikale Tangente) an diesem Punkt hat.

Der algebraische Satz, der durch y = x in (x, y) definiert ist, hat Koordinatensystem eine Eigenartigkeit (einzigartiger Punkt) daran (0, 0), weil es keine Tangente dort zulässt.

Echte Analyse

In der echten Analyse werden Eigenartigkeiten auch Diskontinuitäten genannt. Es gibt drei Arten: Typ I, der zwei Subtypen und Typ II hat, der auch in zwei Subtypen geteilt werden kann, aber normalerweise nicht ist.

Um diese Typen zu beschreiben, nehmen Sie an, dass das eine Funktion eines echten Arguments, und für jeden Wert seines Arguments, sagen wir, die Symbole ist und definiert wird durch:

: beschränkt durch und

: beschränkt dadurch

Die Grenze wird die linkshändige Grenze genannt, und wird die rechtshändige Grenze genannt. Der Wert ist der Wert, dass die Funktion dazu neigt, weil sich der Wert von unten nähert, und der Wert der Wert ist, dass die Funktion dazu neigt, weil sich der Wert von oben unabhängig vom Ist-Wert nähert, hat die Funktion am Punkt wo.

Es gibt einige Funktionen, für die diese Grenzen überhaupt nicht bestehen. Zum Beispiel die Funktion

neigt zu nichts als Annäherungen. Die Grenzen sind in diesem Fall ziemlich begrenzt, aber ziemlich unbestimmt: Es gibt keinen Wert, der sich in darauf niederlässt. Von der komplizierten Analyse borgend, wird das manchmal eine wesentliche Eigenartigkeit genannt.

• Ein Punkt der Kontinuität, die nicht eine Eigenartigkeit ist, ist ein Wert dessen, für den weil man gewöhnlich erwartet. Alle Werte müssen begrenzt sein.
• Eine Diskontinuität des Typs I kommt vor, wenn beide und bestehen und begrenzt sind, aber eine von drei Bedingungen gilt auch:; Besteht für diesen Wert dessen nicht; oder vergleicht den Wert nicht, zu dem die zwei Grenzen neigen. Zwei Subtypen kommen vor:
• Eine Sprung-Diskontinuität kommt vor, wenn, unabhängig davon, ob, und unabhängig davon besteht, welchen Wert sie haben könnte, wenn sie wirklich besteht.
• Eine absetzbare Diskontinuität kommt vor, wenn, aber entweder der Wert dessen vergleicht die Grenzen nicht, oder die Funktion am Punkt nicht besteht.
• Eine Diskontinuität des Typs II kommt vor, wenn entweder oder (vielleicht beide) nicht besteht. Das hat zwei Subtypen, die gewöhnlich getrennt nicht betrachtet werden:
• Eine unendliche Diskontinuität ist der spezielle Fall, wenn entweder die Grenze der linken Hand oder rechten Hand spezifisch nicht besteht, weil es unendlich ist, und die andere Grenze auch entweder unendlich ist oder eine gut definierte begrenzte Zahl ist.
• Eine wesentliche Eigenartigkeit ist ein Begriff, der von der komplizierten Analyse (sieh unten) geliehen ist. Das ist der Fall, wenn entweder ein oder die anderen Grenzen oder nicht besteht, aber nicht weil es eine unendliche Diskontinuität ist. Wesentliche Eigenartigkeiten nähern sich keiner Grenze, nicht, selbst wenn gesetzliche Antworten erweitert werden, um einzuschließen.

In der echten Analyse, einer Eigenartigkeit oder Diskontinuität ist ein Eigentum einer Funktion allein. Irgendwelche Eigenartigkeiten, die in der Ableitung einer Funktion bestehen können, werden als gehörend der Ableitung betrachtet, nicht der ursprünglichen Funktion.

Koordinateneigenartigkeiten

Eine Koordinateneigenartigkeit (oder coördinate Eigenartigkeit) kommen vor, wenn eine offenbare Eigenartigkeit oder Diskontinuität in einem Koordinatenrahmen vorkommen, der durch die Auswahl eines verschiedenen Rahmens entfernt werden kann. Ein Beispiel ist die offenbare Eigenartigkeit an der 90 Grad-Breite in kugelförmigen Koordinaten. Ein Gegenstand, der erwarteten Norden (zum Beispiel, entlang der Linie 0 Grad-Länge) auf der Oberfläche eines Bereichs bewegt, wird eine sofortige Änderung in der Länge am Pol (im Fall vom Beispiel plötzlich erfahren, von der Länge 0 zur Länge 180 Grade springend). Diese Diskontinuität ist nur jedoch offenbar; es ist ein Kunsterzeugnis des gewählten Koordinatensystems, der an den Polen einzigartig ist. Ein verschiedenes Koordinatensystem würde die offenbare Diskontinuität, z.B durch das Ersetzen der Breite/Länge durch den N-Vektoren beseitigen.

Komplizierte Analyse

In der komplizierten Analyse gibt es vier Klassen von Eigenartigkeiten, die unten beschrieben sind. Nehmen Sie an, dass U eine offene Teilmenge der komplexen Zahlen C und der Punkt ist eines Elements von U zu sein, und f ein Komplex differentiable Funktion ist, die auf einer Nachbarschaft um a definiert ist, a ausschließend: U \.

• Isolierte Eigenartigkeiten: Nehmen Sie An, dass die Funktion f an a nicht definiert wird, obwohl es wirklich Werte hat, die auf U \definiert sind.
• Der Punkt einer absetzbaren Eigenartigkeit von f zu sein, wenn dort eine Holomorphic-Funktion g definiert auf allen solchen U dass f (z) = g (z) für den ganzen z in U \besteht. Die Funktion g ist ein dauernder Ersatz für die Funktion f.
• Der Punkt eines Pols oder unwesentlicher Eigenartigkeit von f zu sein, wenn dort eine Holomorphic-Funktion g definiert auf U und einer natürlichen Zahl n solch dass f (z) = g (z) / besteht (z − a) für den ganzen z in U \. Die Ableitung an einer unwesentlichen Eigenartigkeit kann oder kann nicht bestehen. Wenn g (a) Nichtnull ist, dann sagen wir dass eines Pols des Auftrags n zu sein.
• Der Punkt einer wesentlichen Eigenartigkeit von f zu sein, wenn weder eine absetzbare Eigenartigkeit noch ein Pol ist. Der Punkt einer wesentlichen Eigenartigkeit wenn, und nur zu sein wenn die Reihe von Laurent ungeheuer viele Mächte des negativen Grads hat.
• Zweigpunkte sind allgemein das Ergebnis einer mehrgeschätzten Funktion, solcher als oder innerhalb eines bestimmten beschränkten Gebiets definiert werden, so dass die Funktion einzeln geschätzt innerhalb des Gebiets gemacht werden kann. Die Kürzung ist eine Linie oder vom Gebiet ausgeschlossene Kurve, um eine technische Trennung zwischen diskontinuierlichen Werten der Funktion einzuführen. Wenn die Kürzung echt erforderlich ist, wird die Funktion ausgesprochen verschiedene Werte auf jeder Seite der Zweigkürzung haben. Die Position und Gestalt des grössten Teiles der Zweigkürzung sind gewöhnlich eine Sache der Wahl mit vielleicht nur einem Punkt (wie für), der im Platz befestigt wird.

Eigenartigkeit der endlichen Zeit

Eine Eigenartigkeit der endlichen Zeit kommt vor, wenn eine Eingangsvariable Zeit ist, und eine Produktionsvariable zum Unendliche in einer endlichen Zeit zunimmt. Diese sind in kinematics und PDEs wichtig - Unendliche kommt physisch nicht vor, aber das Verhalten in der Nähe von der Eigenartigkeit ist häufig von Interesse. Mathematisch sind die einfachsten Eigenartigkeiten der endlichen Zeit Macht-Gesetze für verschiedene Hochzahlen, von denen das einfachste Hyperbelwachstum ist, wo die Hochzahl 1 (negativ) ist: Genauer, um eine Eigenartigkeit in der positiven Zeit zu bekommen, als Zeit vorwärts geht (so wächst die Produktion zur Unendlichkeit), verwendet man stattdessen (t für die Zeit verwendend, das Umkehren der Richtung zu so der Zeit nimmt zur Unendlichkeit zu, und die Eigenartigkeit vorwärts von 0 zu einer festen Zeit auswechselnd).

Ein Beispiel würde die stramme Bewegung eines unelastischen Balls auf einem Flugzeug sein. Wenn idealisierte Bewegung betrachtet wird, in dem derselbe Bruchteil der kinetischen Energie auf jedem Schlag verloren wird, wird die Frequenz von Schlägen unendlich, als der Ball kommt, um sich in einer endlichen Zeit auszuruhen. Andere Beispiele von Eigenartigkeiten der endlichen Zeit schließen das Paradox von Painlevé in verschiedene Formen (zum Beispiel, die Tendenz einer Kreide ein, wenn geschleppt, über eine Wandtafel zu hüpfen), und wie sich die Vorzessionsrate einer auf einer flachen Oberfläche gesponnenen Münze zum Unendliche, vor dem plötzlichen Aufhören (asd das studierte Verwenden des Plattenspielzeugs von Euler) beschleunigt.

Hypothetische Beispiele schließen die Gleichung des witzelnden "Weltgerichts von Heinz von Foerster" ein (vereinfachte Modelle geben unendliche menschliche Bevölkerung in der endlichen Zeit nach).

Algebraische Geometrie und Ersatzalgebra

In der algebraischen Geometrie und Ersatzalgebra ist eine Eigenartigkeit ein Hauptideal, dessen Lokalisierung nicht ein regelmäßiger lokaler Ring ist (abwechselnd ein Punkt eines Schemas, dessen Stiel nicht ein regelmäßiger lokaler Ring ist). Zum Beispiel, definiert einen isolierten einzigartigen Punkt (an der Spitze). Der fragliche Ring wird durch gegeben

Das maximale Ideal der Lokalisierung daran ist eine Höhe ein lokaler Ring, der durch zwei Elemente erzeugt ist und so nicht regelmäßig ist.

Siehe auch

• Asymptote
• Katastrophe-Theorie
• Definierter und unbestimmter
• Abteilung durch die Null
• Hyperbelwachstum
• Einzigartige Lösung
• Absetzbare Eigenartigkeit