In der Mathematik, ein Polynom von Laurent (hat genannt

nach Pierre Alphonse Laurent) in einer Variable über ein Feld ist eine geradlinige Kombination von positiven und negativen Mächten der Variable mit Koeffizienten darin. Polynome von Laurent in X bilden einen Ring angezeigt [X, X]. Sie unterscheiden sich von gewöhnlichen Polynomen, in denen sie Begriffe des negativen Grads haben können. Der Aufbau von Polynomen von Laurent kann wiederholt werden, zum Ring von Polynomen von Laurent in mehreren Variablen führend.

Definition

Ein Polynom von Laurent mit Koeffizienten in einem Feld ist ein Ausdruck der Form

wo X eine formelle Variable ist, ist der Summierungsindex k eine ganze Zahl (nicht notwendigerweise positiv), und nur begrenzt sind viele Koeffizienten p Nichtnull. Zwei Polynome von Laurent sind gleich, wenn ihre Koeffizienten gleich sind. Solche Ausdrücke können hinzugefügt, multipliziert, und derselben Form durch das Reduzieren ähnlicher Begriffe zurückgebracht werden. Formeln für die Hinzufügung und Multiplikation sind genau dasselbe bezüglich der gewöhnlichen Polynome mit dem einzigen Unterschied, dass sowohl positive als auch negative Mächte X da sein können:

\sum_i (a_i+b_i) X^i </Mathematik>

und

\sum_k \left (\sum_ {ich, j: ich + j = k\a_i b_j\right) X^k. </math>

Da nur begrenzt viele Koeffizienten a und b Nichtnull sind, haben alle Summen tatsächlich nur begrenzt viele Begriffe, und vertreten folglich Polynome von Laurent.

Eigenschaften

• Ein Polynom von Laurent über C kann als eine Reihe von Laurent angesehen werden, in der nur begrenzt viele Koeffizienten Nichtnull sind.
• Der Ring von Polynomen von Laurent R [X, X] ist eine Erweiterung des polynomischen Rings R [X] erhalten "das Umkehren X". Strenger ist es die Lokalisierung des polynomischen Rings im Multiplicative-Satz, der aus den nichtnegativen Mächten X besteht. Viele Eigenschaften des Polynom-Rings von Laurent folgen aus den allgemeinen Eigenschaften der Lokalisierung.
• Der Ring von Polynomen von Laurent über ein Feld ist Noetherian (aber nicht Artinian).
• Wenn R ein integriertes Gebiet ist, rufen die Einheiten des Polynoms von Laurent R [X an, X] haben die Form uX, wo u eine Einheit von R ist und k eine ganze Zahl ist. Insbesondere wenn K ein Feld dann ist, haben die Einheiten von K [X, X] die Form-Axt, wo eines Nichtnullelements von K zu sein.
• Das Polynom von Laurent ruft R [X an, X] ist zum Gruppenring der Gruppe Z von ganzen Zahlen über R isomorph. Mehr allgemein ist der Polynom-Ring von Laurent in n Variablen zum Gruppenring der freien abelian Gruppe der Reihe n isomorph. Hieraus folgt dass der Polynom-Ring von Laurent mit einer Struktur eines auswechselbaren, cocommutative Algebra von Hopf ausgestattet sein kann.