In der Logik ist eine konsequente Theorie diejenige, die keinen Widerspruch enthält. Der Mangel am Widerspruch kann entweder in semantischen oder in syntaktischen Begriffen definiert werden. Die semantische Definition stellt fest, dass eine Theorie entspricht, wenn, und nur wenn es ein Modell hat, d. h. dort eine Interpretation besteht, unter der alle Formeln in der Theorie wahr sind. Das ist der in der traditionellen Aristotelischen Logik verwendete Sinn, obwohl in der zeitgenössischen mathematischen Logik der Begriff satisfiable stattdessen gebraucht wird. Die syntaktische Definition stellt fest, dass eine Theorie entspricht, wenn, und nur wenn es keine solche Formel P gibt, dass sowohl P als auch seine Ablehnung von den Axiomen der Theorie unter seinem verbundenen deduktiven System nachweisbar sind.

Wenn diese semantischen und syntaktischen Definitionen für eine besondere Logik gleichwertig sind, ist die Logik abgeschlossen. Die Vollständigkeit der sentential Rechnung wurde von Paul Bernays 1918 und Emil Post 1921 bewiesen, während die Vollständigkeit der Prädikat-Rechnung von Kurt Gödel 1930 bewiesen wurde, und Konsistenz-Beweise für in Bezug auf das Induktionsaxiom-Diagramm eingeschränkten arithmetics von Ackermann (1924), von Neumann (1927) und Herbrand (1931) bewiesen wurden. Stärkere Logik, wie Logik der zweiten Ordnung, ist nicht abgeschlossen.

Ein Konsistenz-Beweis ist ein mathematischer Beweis, dass eine besondere Theorie entspricht. Die frühe Entwicklung der mathematischen Probetheorie wurde durch den Wunsch gesteuert, finitary Konsistenz-Beweise für die ganze Mathematik als ein Teil des Programms von Hilbert zur Verfügung zu stellen. Das Programm von Hilbert wurde durch Unvollständigkeitslehrsätze stark zusammengepresst, die gezeigt haben, dass genug starke Probetheorien ihre eigene Konsistenz nicht beweisen können (vorausgesetzt, dass sie tatsächlich entsprechen).

Obwohl Konsistenz mittels der Mustertheorie bewiesen werden kann, wird sie häufig auf eine rein syntaktische Weise ohne jedes Bedürfnis getan, in einem Modell der Logik Verweise anzubringen. Die Kürzungsbeseitigung (oder gleichwertig die Normalisierung der zu Grunde liegenden Rechnung, wenn es ein gibt) bezieht die Konsistenz der Rechnung ein: Da es offensichtlich keinen Beweis ohne Kürzung der Unehrlichkeit gibt, gibt es keinen Widerspruch im Allgemeinen.

Konsistenz und Vollständigkeit in der Arithmetik

In Theorien der Arithmetik, wie Arithmetik von Peano, gibt es eine komplizierte Beziehung zwischen der Konsistenz der Theorie und seiner Vollständigkeit. Eine Theorie ist abgeschlossen, wenn, für jede Formel φ auf seiner Sprache, mindestens einem von φ oder ¬ φ eine logische Folge der Theorie ist.

Arithmetik von Presburger ist ein Axiom-System für die natürlichen Zahlen unter der Hinzufügung. Es ist sowohl konsequent als auch abgeschlossen.

Die Unvollständigkeitslehrsätze von Gödel zeigen, dass jede genug starke wirksame Theorie der Arithmetik nicht sowohl abgeschlossen als auch konsequent sein kann. Der Lehrsatz von Gödel gilt für die Theorien der Arithmetik von Peano (PA) und Primitiven Rekursiven Arithmetik (PRA), aber nicht zur Arithmetik von Presburger.

Außerdem zeigt der zweite Unvollständigkeitslehrsatz von Gödel, dass die Konsistenz von genug starken wirksamen Theorien der Arithmetik auf eine besondere Weise geprüft werden kann. Solch eine Theorie entspricht, wenn, und nur wenn es keinen besonderen Satz, genannt den Satz von Gödel der Theorie beweist, die eine formalisierte Erklärung des Anspruchs ist, dass die Theorie tatsächlich entspricht. So kann die Konsistenz einer genug starken, wirksamen, konsequenten Theorie der Arithmetik in diesem System selbst nie bewiesen werden. Dasselbe Ergebnis ist für wirksame Theorien wahr, die ein genug starkes Bruchstück der Arithmetik - einschließlich Mengenlehren wie Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre beschreiben können. Diese Mengenlehren können ihre eigenen Sätze von Gödel nicht beweisen - vorausgesetzt, dass sie entsprechen, dem allgemein geglaubt wird.

Formeln

Eine Reihe von Formeln in der Logik der ersten Ordnung entspricht (schriftlicher Con) wenn und nur, wenn es keine solche Formel dass gibt und. Sonst ist inkonsequent und ist schriftlicher Inc.

wird gesagt, einfach zu entsprechen, wenn, und nur wenn für keine Formel beide und die Ablehnung dessen Lehrsätze dessen sind.

wird gesagt, absolut zu entsprechen oder konsequenter Posten zu sein, wenn, und nur wenn mindestens eine Formel dessen nicht ein Lehrsatz dessen ist.

wird gesagt, maximal wenn und nur wenn für jede Formel, wenn Con dann zu entsprechen.

wird gesagt, Zeugen zu enthalten, wenn, und nur wenn für jede Formel der Form dort ein solcher Begriff dass besteht. Sieh Logik der Ersten Ordnung.

Grundlegende Ergebnisse

1. Der folgende ist gleichwertig:
2. Inc
3. Für den ganzen
4. Jeder satisfiable Satz von Formeln entspricht, wo eine Reihe von Formeln satisfiable ist, wenn, und nur wenn dort ein solches Modell dass besteht.
5. Für alle und:
6. wenn nicht, dann Con;
7. wenn Con und, dann Con;
8. wenn Con, dann Con oder Con.
9. Lassen Sie, eine maximal konsistente Menge von Formeln zu sein und Zeugen zu enthalten. Für alle und:
10. wenn, dann,
11. entweder oder,

1. wenn und nur wenn oder,
2. wenn und, dann,

1. wenn, und nur wenn es einen solchen Begriff dass gibt.

Der Lehrsatz von Henkin

Lassen Sie, eine maximal konsistente Menge - Formeln zu sein, die Zeugen enthalten.

Definieren Sie eine binäre Beziehung auf dem Satz - nennt solch dass wenn und nur wenn; und lassen Sie zeigen die Gleichwertigkeitsklasse von Begriffen an, die enthalten; und lassen Sie, wo der Satz von auf dem Zeichensatz gestützten Begriffen ist.

Definieren Sie - Struktur über die Begriff-Struktur entsprechend durch:

1. für-ary, wenn und nur wenn;
2. für-ary;
3. für.

Lassen Sie, der Begriff Interpretation zu sein, die mit, wo vereinigt ist.

Für alle, wenn und nur wenn.

</Zentrum>

Skizze des Beweises

Es gibt mehrere Dinge nachzuprüfen. Erstens ist das eine Gleichwertigkeitsbeziehung. Dann muss es nachgeprüft werden, dass (1), (2), und (3) gut definiert werden. Das fällt aus der Tatsache, die eine Gleichwertigkeitsbeziehung ist und auch einen Beweis verlangt, die (1) und (2) der Wahl von Klassenvertretern unabhängig sind. Schließlich, kann durch die Induktion auf Formeln nachgeprüft werden.

Siehe auch

• Equiconsistency
• Die Probleme von Hilbert
• Das zweite Problem von Hilbert
• Jan Łukasiewicz
• Der Lehrsatz von Matiyasevich
• ω-consistency

Kommentare

• Stephen Kleene, 1952 10. Eindruck 1991, Einführung in Metamathematics, North-Holland Publishing Company, Amsterday, New York, internationale Standardbuchnummer 0 7204 21039.
• Hans Reichenbach, 1947, Elemente der Symbolischen Logik, Dover Publications, Inc New York, internationale Standardbuchnummer 0-486-24004-5,
• Alfred Tarski, 1946, Einführung in die Logik und in die Methodik von Deduktiven Wissenschaften, der Zweiten Ausgabe, Dover Publications, Inc., New York, internationalen Standardbuchnummer 0 486 28462 X.
• Jean van Heijenoort, 1967, Von Frege bis Gödel: Ein Quellbuch in der Mathematischen Logik, Universität von Harvard Presse, Cambridge, Massachusetts, internationale Standardbuchnummer 0-674-32449-8 (pbk).
• Das Wörterbuch von Cambridge der Philosophie, Konsistenz
• H.D. Ebbinghaus, J. Flum, W. Thomas, mathematische Logik
• Jevons, W.S. 1870, Elementare Lehren in der Logik