Tessellation ist der Prozess, ein zweidimensionales Flugzeug mit der Wiederholung einer geometrischen Gestalt ohne Übergreifen und keine Lücken zu schaffen. Generalisationen zu höheren Dimensionen sind auch möglich. Tessellations ist oft in der Kunst von M. C. Escher erschienen, der begeistert wurde, indem er den Maurischen Gebrauch der Symmetrie in den Ziegeln von Alhambra während eines Besuchs 1922 studiert hat. Tessellations werden überall in der Kunstgeschichte von der alten Architektur bis moderne Kunst gesehen.

In Latein ist tessella ein kleines kubisches Stück von Ton, Stein oder Glas haben gepflegt, Mosaiken zu machen. Das Wort "tessella" bedeutet "kleines Quadrat" (von "tessera", Quadrat, das seinerseits vom griechischen Wort für "vier" ist). Es entspricht dem täglichen mit Ziegeln deckenden Begriff, der sich auf Anwendungen von tessellations bezieht, der häufig aus Glaston gemacht ist. Beispiele von tessellations in der echten Welt schließen Honigwaben und Fahrbahn tilings ein (sieh Bilder am Recht).

Geschichte

1619 hat Johannes Kepler eine der ersten dokumentierten Studien von tessellations gemacht, als er über regelmäßige und halbregelmäßige tessellation geschrieben hat, die Bedeckungen eines Flugzeugs mit regelmäßigen Vielecken sind. Ungefähr zweihundert Jahre später 1891 hat der russische crystallographer Yevgraf Fyodorov bewiesen, dass des Flugzeugs jeder periodisch mit Ziegeln zu decken, eine von siebzehn verschiedenen Gruppen von Isometrien zeigt. Die Arbeit von Fyodorov hat den inoffiziellen Anfang der mathematischen Studie von tessellations gekennzeichnet. Andere prominente Mitwirkende schließen Shubnikov und Belov (1951) ein; und Heinrich Heesch und Otto Kienzle (1963).

Tapete-Gruppen

Tilings mit der Übersetzungssymmetrie kann von Tapete-Gruppen kategorisiert werden, von denen 17 bestehen. Alle siebzehn dieser Gruppen werden im Palast von Alhambra in Granada, Spanien vertreten. Der drei regelmäßigen tilings zwei sind in der p6m Tapete-Gruppe, und man ist in p4m.

Tessellations und Farbe

man bespricht mit Ziegeln zu decken, der in Farben gezeigt wird, um Zweideutigkeit zu vermeiden, die man angeben muss, ob die Farben ein Teil sind, mit Ziegeln zu decken, oder gerade ein Teil seiner Illustration. Siehe auch Symmetrie.

Der vier Farbenlehrsatz stellt fest, dass für jeden tessellation eines normalen Euklidischen Flugzeugs, mit eine Reihe vier verfügbare Farben, jeder Ziegel in einer solcher Farbe gefärbt werden kann, dass sich keine Ziegel der gleichen Farbe an einer Kurve der positiven Länge treffen. Bemerken Sie, dass das durch den vierfarbigen Lehrsatz versicherte Färben nicht in der allgemeinen Rücksicht der symmetries des tessellation wird. Um ein Färben zu erzeugen, das nicht weniger als tut, können sieben Farben, als im Bild am Recht erforderlich sein.

Tessellations mit Vierseiten

Kopien eines willkürlichen Vierseits können einen tessellation mit 2-fachen Rotationszentren an den Mittelpunkten aller Seiten und Übersetzungssymmetrie bilden, deren Basisvektoren die Diagonale des Vierseits oder, gleichwertig, einer von diesen und der Summe oder dem Unterschied der zwei sind. Für ein asymmetrisches Vierseit das mit Ziegeln zu decken, gehört der Tapete-Gruppe p2. Als grundsätzliches Gebiet haben wir das Vierseit. Gleichwertig können wir ein Parallelogramm bauen, das durch einen minimalen Satz von Übersetzungsvektoren entgegengesetzt ist, von einem Rotationszentrum anfangend. Wir können das durch eine Diagonale teilen, und eine Hälfte (ein Dreieck) als grundsätzliches Gebiet nehmen. Solch ein Dreieck hat den gemeinsamen Bereich als das Vierseit und kann davon durch den Ausschnitt und das Aufkleben gebaut werden.

Regelmäßiger und halbregelmäßiger tessellations

Ein regelmäßiger tessellation ist ein hoch symmetrischer aus kongruenten regelmäßigen Vielecken zusammengesetzter tessellation. Nur drei regelmäßige tessellations bestehen: Diejenigen, die aus gleichseitigen Dreiecken, Quadraten oder Sechsecken zusammengesetzt sind.

Ein halbregelmäßiger tessellation verwendet eine Vielfalt von regelmäßigen Vielecken, von denen es acht gibt. Die Einordnung von Vielecken an jedem Scheitelpunkt-Punkt ist identisch. Ein Rand-zu-Rand-tessellation ist noch weniger regelmäßig: Die einzige Voraussetzung ist, dass angrenzende Ziegel nur volle Seiten teilen, d. h. kein Ziegel teilt eine teilweise Seite mit jedem anderen Ziegel. Andere Typen von tessellations, bestehen abhängig von Typen von Zahlen und Typen des Musters. Dort sind gegen den unregelmäßigen, das periodische gegen den nichtperiodischen, das symmetrische gegen den asymmetrischen, und fractal tessellations, sowie andere Klassifikationen regelmäßig.

Penrose tilings das Verwenden zwei verschiedener Vielecke ist das berühmteste Beispiel von tessellations, die aperiodische Muster schaffen. Sie gehören einer allgemeinen Klasse von aperiodischem tilings, der aus dem Selbstwiederholen von Sätzen von Vielecken durch das Verwenden recursion gebaut werden kann.

Ein mit Ziegeln deckender monohedral ist ein tessellation, in dem alle Ziegel kongruent sind. Spirale monohedral tilings schließt den Voderberg mit Ziegeln deckend entdeckt von Hans Voderberg 1936 ein, dessen Einheitsziegel ein nichtkonvexer enneagon ist; und der Hirschhorn mit Ziegeln deckend entdeckt von Michael Hirschhorn in den 1970er Jahren, dessen Einheitsziegel ein unregelmäßiges Pentagon ist.

Selbstdoppeltessellations

Tilings und Honigwaben können auch Selbstdoppel-sein. Alle n-dimensional Hyperkubikhonigwaben mit Symbolen von Schlafli {4,3,4} sind Selbstdoppel-.

Tessellations und Computermodelle

Im Thema der Computergrafik, tessellation Techniken werden häufig verwendet, um datasets von Vielecken zu führen und sie in passende Strukturen für die Übergabe zu teilen. Normalerweise, mindestens für die Echtzeitübergabe, sind die Daten in Dreiecke mosaikartig, der manchmal Triangulation genannt wird.

Tessellation ist eine Stapeleigenschaft von DirectX 11 und OpenGL.

Im computergestützten Design wird das gebaute Design durch eine Grenzdarstellung topologisches Modell vertreten, wo analytische 3D-Oberflächen und Kurven, die auf Gesichter und Ränder beschränkt sind, eine dauernde Grenze eines 3D-Körpers einsetzen.

Willkürliche 3D-Körper werden häufig zu kompliziert, um direkt zu analysieren. So wird ihnen (mosaikartig) mit einem Ineinandergreifen von kleinen, easy-analyze Stücke des 3D-Volumens — gewöhnlich entweder unregelmäßige Tetraeder oder unregelmäßiger hexahedrons näher gekommen. Das Ineinandergreifen wird für die begrenzte Element-Analyse verwendet.

Das Ineinandergreifen einer Oberfläche wird gewöhnlich pro individuelle Gesichter und Ränder erzeugt (näher gekommen zu Polylinien), so dass ursprüngliche Grenze-Scheitelpunkte ins Ineinandergreifen eingeschlossen werden.

Um sicherzustellen, dass die Annäherung der ursprünglichen Oberfläche den Bedürfnissen nach der weiteren Verarbeitung anpasst, werden drei grundlegende Rahmen gewöhnlich für den Oberflächenineinandergreifen-Generator definiert:

• Die maximale erlaubte Entfernung zwischen dem planaren Annäherungsvieleck und der Oberfläche (auch bekannt als "Absacken"). Dieser Parameter stellt sicher, dass Ineinandergreifen der ursprünglichen analytischen Oberfläche ähnlich genug ist (oder die Polylinie der ursprünglichen Kurve ähnlich ist).
• Die maximale erlaubte Größe des Annäherungsvielecks (für Triangulationen kann es maximale erlaubte Länge von Dreieck-Seiten sein). Dieser Parameter sichert genug Detail für die weitere Analyse.
• Der maximale erlaubte Winkel zwischen zwei angrenzenden Annäherungsvielecken (auf demselben Gesicht). Dieser Parameter stellt sicher, dass sogar sehr kleine Buckel oder Höhlen, die bedeutende Wirkung zur Analyse haben können, im Ineinandergreifen nicht verschwinden werden.

Algorithmus-Erzeugen-Ineinandergreifen wird durch die Rahmen gesteuert.

Einige Computeranalysen verlangen anpassungsfähiges Ineinandergreifen, das feiner (das Verwenden stärkerer Rahmen) in Gebieten gemacht wird, wo die Analyse mehr Detail braucht.

Einige geodätische Kuppeln werden durch tessellating der Bereich mit Dreiecken entworfen, die als gleichseitigen Dreiecken als möglich nah sind.

Tessellations in der Natur

Basaltische Lava-Flüsse zeigen häufig das säulenartige Verbinden infolge des Zusammenziehungskraft-Verursachens von Spalten, weil die Lava kühl wird. Die umfassenden Sprungnetze, die sich häufig entwickeln, erzeugen sechseckige Säulen der Lava. Ein Beispiel solch einer Reihe von Säulen ist der Damm des Riesen in Nordirland.

Die Mosaikfahrbahn in Tasmanien ist eine seltene Sedimentgestein-Bildung, wo der Felsen in rechteckige Blöcke zerbrochen hat.

Innerhalb der Botanik beschreibt der Begriff "tessellate" ein kariertes Muster, zum Beispiel auf einem Blumenblütenblatt, Baumrinde oder Frucht.

Zahl von Seiten eines Vielecks gegen die Zahl von Seiten an einem Scheitelpunkt

Dafür, unendlich mit Ziegeln zu decken, lassen Sie, die durchschnittliche Zahl von Seiten eines Vielecks und die durchschnittliche Zahl von Seiten zu sein, die sich an einem Scheitelpunkt treffen. Dann.

Zum Beispiel haben wir die Kombinationen (3, 6), (3, 5), (3, 4), (4, 4), (6, 3) für den tilings im Artikel Tilings von regelmäßigen Vielecken.

Eine Verlängerung einer Seite in einer Gerade außer einem Scheitelpunkt wird als eine getrennte Seite aufgezählt. Zum Beispiel werden die Ziegel im Bild als Sechsecke betrachtet, und wir haben Kombination (6, 3). Ähnlich für den basketweave, der häufig gefunden auf Badezimmerböden mit Ziegeln deckt, haben wir (5, 3).

Dafür, mit Ziegeln zu decken, der sich wiederholt, kann man die Durchschnitte über den sich wiederholenden Teil nehmen. Im allgemeinen Fall werden die Durchschnitte als die Grenzen für ein Gebiet genommen, das sich zum ganzen Flugzeug ausbreitet. In Fällen wie eine unendliche Reihe von Ziegeln oder Ziegeln, die kleiner und kleiner äußerlich werden, ist die Außenseite nicht unwesentlich und sollte auch als ein Ziegel aufgezählt werden, während sie die Grenze nimmt. In äußersten Fällen können die Grenzen nicht bestehen oder abhängen, wie das Gebiet zur Unendlichkeit ausgebreitet wird.

Für begrenzten tessellations und Polyeder haben wir

wo die Zahl von Gesichtern und die Zahl von Scheitelpunkten ist, und die Eigenschaft von Euler ist (für das Flugzeug und für ein Polyeder ohne Löcher: 2), und, wieder, im Flugzeug die Außenzählungen als ein Gesicht.

Die Formel folgt dem Beobachten, dass die Zahl von Seiten eines Gesichtes, das über alle Gesichter summiert ist, zweimal die Gesamtzahl von Seiten im kompletten tessellation gibt, der in Bezug auf die Zahl von Gesichtern und die Zahl von Scheitelpunkten ausgedrückt werden kann. Ähnlich gibt die Zahl von Seiten an einem Scheitelpunkt, der über alle Scheitelpunkte summiert ist, auch zweimal die Gesamtzahl von Seiten. Von den zwei Ergebnissen folgt die Formel sogleich.

In den meisten Fällen ist die Zahl von Seiten eines Gesichtes dasselbe als die Zahl von Scheitelpunkten eines Gesichtes, und die Zahl von Seiten, die sich an einem Scheitelpunkt treffen, ist dasselbe als die Zahl von Gesichtern, die sich an einem Scheitelpunkt treffen. Jedoch, in einem Fall wie zwei Quadrat steht gegenüber, in einer Ecke anzulegen, die Zahl von Seiten des Außengesichtes ist 8 so, wenn die Zahl von Scheitelpunkten aufgezählt wird, muss die allgemeine Ecke zweimal aufgezählt werden. Ähnlich ist die Zahl von Seiten, die sich an dieser Ecke treffen, 4 so, wenn die Zahl von Gesichtern an dieser Ecke aufgezählt wird, muss das Gesicht, das die Ecke zweimal entspricht, zweimal aufgezählt werden.

Ein Ziegel mit einem Loch, das mit einem oder mehr anderen Ziegeln gefüllt ist, ist nicht erlaubt, weil das Netz aller Seiten innen und außen getrennt wird. Jedoch wird ihm mit einer Kürzung erlaubt, so dass der Ziegel mit dem Loch sich berührt. Für die Zahl von Seiten dieses Ziegels aufzuzählen, sollte die Kürzung zweimal aufgezählt werden.

Für die Platonischen Festkörper gehen wir um Zahlen herum, weil wir den Durchschnitt über gleiche Anzahlen nehmen: Weil wir 1, 2, und 3 kommen.

Von der Formel für ein begrenztes Polyeder sehen wir, dass im Fall, dass, während sie sich zu einem unendlichen Polyeder ausbreitet, die Zahl von Löchern (jedes Beitragen −2 zur Eigenschaft von Euler) proportional mit der Zahl von Gesichtern und der Zahl von Scheitelpunkten wächst, die Grenze größer ist als 4. Denken Sie zum Beispiel eine Schicht von Würfeln, sich in zwei Richtungen, mit einem aller 2 &times ausstreckend; 2 Würfel sind umgezogen. Das hat Kombination (4, 5), mit, entsprechend, 10 Gesichter und 8 Scheitelpunkte pro Loch zu haben.

Bemerken Sie, dass das Ergebnis von den Rändern nicht abhängt Liniensegmente und die Gesichter zu sein, die Teile von Flugzeugen sind: Mathematische Strenge, um sich mit pathologischen Fällen beiseite zu befassen, können sie auch Kurven und gebogene Oberflächen sein.

Tessellations anderer Räume

Sowie tessellating das 2-dimensionale Euklidische Flugzeug, es ist auch zu tessellate andere n-dimensional Räume durch die Füllung von ihnen mit n-dimensional polytopes möglich. Tessellations anderer Räume werden häufig Honigwaben genannt. Beispiele von tessellations anderer Räume schließen ein:

• Tessellations des n-dimensional Euklidischen Raums. Zum Beispiel kann 3-dimensionaler Euklidischer Raum mit Würfeln gefüllt werden, um die Kubikhonigwabe zu schaffen.
• Tessellations des n-dimensional elliptischen Raums, irgendein der N-Bereich (kugelförmiges mit Ziegeln deckendes, kugelförmiges Polyeder) oder n-dimensional echten projektiven Raums (elliptisches mit Ziegeln deckendes, projektives Polyeder).
• :For-Beispiel, Projektierung der Ränder eines regelmäßigen Dodekaeders auf seinen circumsphere schafft einen tessellation des 2-dimensionalen Bereichs mit dem regelmäßigen kugelförmigen Pentagon, während die Einnahme des Quotienten durch die antipodische Karte das Hemi-Dodekaeder nachgibt, des projektiven Flugzeugs mit Ziegeln zu decken.
• Tessellations des n-dimensional Hyperbelraums. Zum Beispiel zeichnet die Kreisgrenze von M. C. Escher III einen tessellation des Hyperbelflugzeugs (das Plattenmodell von Poincaré verwendend), mit kongruenten fischähnlichen Gestalten. Das Hyperbelflugzeug lässt einen tessellation mit regelmäßigem p-gons zu, der sich im q's wann auch immer trifft

Sieh für weitere nicht-euklidische Beispiele.

Es gibt auch abstrakte Polyeder, die keinem tessellation einer Sammelleitung entsprechen, weil sie (lokal Euklidisch, wie eine Sammelleitung), solcher als der 11-Zellen- und der 57-Zellen-nicht lokal kugelförmig sind. Diese können als tilings allgemeinerer Räume gesehen werden.

Siehe auch

• Aperiodisch mit Ziegeln zu decken
• Gruppen von Coxeter - algebraische Gruppen, die verwendet werden können, um tessellations zu finden
• Ziegel von Girih
• Puzzle
• Liste von regelmäßigem polytopes
• Liste der Uniform tilings
• Mathematik und Faser-Künste
• Nikolas Schiller - Künstler, der tessellations Luftfotographien verwendet
• Feuerrad, das mit Ziegeln deckt
• Polyiamond und Polyomino — Zahlen, die aus regelmäßigen Dreiecken und Quadraten beziehungsweise häufig bestehen, erscheinend, indem er Rätsel mit Ziegeln deckt
• Quilt#Block Designs und Steppdecke blockiert
• Rätsel mit Ziegeln zu decken
• Tilings von regelmäßigen Vielecken
• Trianglepoint - Nadelspitze mit polyiamonds (gleichseitige Dreiecke)
• Triangulation (Geometrie)
• Uniform tessellation
• Uniform, die mit Ziegeln deckt
• Uniform tilings im Hyperbelflugzeug
• Voronoi tessellation
• Tapete-Gruppe - siebzehn Typen von zweidimensionalen wiederholenden Mustern
• Ziegel von Wang

Referenzen

• Grunbaum, Branko und G. C. Shephard. Tilings und Patterns. New York:W. H. Freeman & Co., 1987. Internationale Standardbuchnummer 0-7167-1193-1.
• Coxeter, H.S.M.. Regelmäßiger Polytopes, Abschnitt IV: Tessellations und Honeycombs. Dover, 1973. Internationale Standardbuchnummer 0-486-61480-8.

Links

• Komplex tessellation Beispiele auf vielfachem symmetries, der auf alten islamischen Mustern gestützt ist