In der Geometrie ist ein polychoron oder 4-polytope ein vierdimensionaler polytope. Es ist eine verbundene und geschlossene Zahl, die aus niedrigeren dimensionalen polytopal Elementen zusammengesetzt ist: Scheitelpunkte, Ränder, Gesichter (Vielecke) und Zellen (Polyeder). Jedes Gesicht wird durch genau zwei Zellen geteilt.

Die zweidimensionale Entsprechung eines polychoron ist ein Vieleck, und die dreidimensionale Entsprechung ist ein Polyeder.

Der Begriff polychoron (Mehrzahlpolychora), vom Griechen lässt poly ('viele') und choros ('Zimmer' oder 'Raum') einwurzeln und ist von Norman Johnson und George Olshevsky verteidigt worden, aber es ist wenig in der allgemeinen polytope Theorie bekannt. Andere Namen für polychoron schließen ein: polyhedroid und Polyzelle.

Topologisch 4-polytopes sind nah mit den gleichförmigen Honigwaben, wie die Kubikhonigwabe, der tessellate 3-Räume-verbunden; ähnlich ist der 3D-Würfel damit verbunden, unendlich 2. Quadrat-mit Ziegeln zu decken. Konvex 4-polytopes kann geschnitten und als Netze im 3-Räume-entfaltet werden.

Definition

Polychora werden vierdimensionale Zahlen geschlossen. Wir können sie weiter nur durch die Analogie mit solchen dreidimensionalen Polyeder-Kopien als Pyramiden und Würfel beschreiben.

Das vertrauteste Beispiel eines polychoron ist der tesseract oder Hyperwürfel, 4d Entsprechung des Würfels. Ein tesseract hat Scheitelpunkte, Ränder, Gesichter und Zellen. Ein Scheitelpunkt ist ein Punkt, wo sich vier oder mehr Ränder treffen. Ein Rand ist ein Liniensegment, wo sich drei oder mehr Gesichter treffen, und ein Gesicht ein Vieleck ist, wo sich zwei Zellen treffen. Eine Zelle ist die dreidimensionale Entsprechung eines Gesichtes, und ist deshalb ein Polyeder. Außerdem muss den folgenden Anforderungen entsprochen werden:

1. Jedes Gesicht muss sich genau zwei Zellen anschließen.
2. Angrenzende Zellen sind nicht in demselben dreidimensionalen Hyperflugzeug.
3. Die Zahl ist nicht eine Zusammensetzung anderer Zahlen, die den Anforderungen entsprechen.

Eigenschaft von Euler

Die Euler Eigenschaft für 4-polytopes, die topologische 3 Bereiche sind (einschließlich aller konvex 4-polytopes) ist Null. χ = V-E+F-C=0.

Zum Beispiel, der konvexe 4-polytopes Stammkunde:

Klassifikation

Polychora kann gestützt auf Eigenschaften wie "Konvexität" und "Symmetrie" klassifiziert werden.

• Ein polychoron ist konvex, wenn seine Grenze (einschließlich seiner Zellen, Gesichter und Ränder) sich nicht durchschneidet und das Liniensegment, das sich irgendwelchen zwei Punkten des polychoron anschließt, im polychoron oder seinem Interieur enthalten wird; sonst ist es nichtkonvex. Das Selbstschneiden polychora ist auch bekannt als Stern polychora von der Analogie mit den sternähnlichen Gestalten der nichtkonvexen Kepler-Poinsot Polyeder.
• Ein polychoron ist gleichförmig, wenn er eine Symmetrie-Gruppe hat, unter der alle Scheitelpunkte gleichwertig sind, und seine Zellen gleichförmige Polyeder sind. Die Ränder einer Uniform polychoron müssen in der Länge gleich sein.
• Eine Uniform polychoron ist halbregelmäßig, wenn seine Zellen regelmäßige Polyeder sind. Die Zellen können zwei oder mehr Arten sein, vorausgesetzt, dass sie dieselbe Art des Gesichtes haben.

Wie man

• sagt, ist ein halbregelmäßiger polychoron regelmäßig, wenn seine Zellen die ganze dieselbe Art des regelmäßigen Polyeders sind; sieh regelmäßiges Polyeder für Beispiele.

Wie man

• sagt, ist ein regelmäßiger polychoron, der auch ein konvexer polychoron ist, ein konvexer regelmäßiger polychoron.
• Ein polychoron ist prismatisch, wenn es das Kartesianische Produkt von zwei niedrig-dimensionalen polytopes ist. Ein prismatischer polychoron ist gleichförmig, wenn seine Faktoren gleichförmig sind. Der Hyperwürfel ist (Produkt von zwei Quadraten, oder eines Würfels und Liniensegmentes) prismatisch, aber wird getrennt betrachtet, weil es symmetries anders hat als diejenigen, die von seinen Faktoren geerbt sind.
• Ein 3-Räume-tessellation ist die Abteilung des dreidimensionalen Euklidischen Raums in einen regelmäßigen Bratrost von polyedrischen Zellen. Genau genommen sind tessellations nicht polychora, wie sie nicht gebunden "4D" Volumen tun, aber wir schließen sie hier wegen der Vollständigkeit ein, weil sie auf viele Weisen zu polychora ähnlich sind. Ein gleichförmiger 3-Räume-tessellation ist derjenige, dessen Scheitelpunkte durch eine Raumgruppe verbunden sind, und dessen Zellen gleichförmige Polyeder sind.

Kategorien

Die folgenden Listen die verschiedenen Kategorien von polychora, der gemäß den Kriterien oben klassifiziert ist:

Uniform polychora (mit dem Scheitelpunkt transitiv):

• Konvexe Uniform polychora (64, plus zwei unendliche Familien)
• 47 nichtprismatische konvexe Uniform polychora einschließlich:
• 6 konvexe regelmäßige polychora
• Prismatische Uniform polychora:
• {} x {p, q}: 18 polyedrische Hyperprismen (einschließlich des Kubikhyperprismas, des regelmäßigen Hyperwürfels)
• Hyperprismen haben auf Antiprismen (unendliche Familie) gebaut
• {p} x {q}: Duoprisms (unendliche Familie)
• Nichtkonvexe Uniform polychora (10 + unbekannt)
• 10 (regelmäßiger) Schläfli-Hess polychora
• 57 Hyperprismen haben auf nichtkonvexe gleichförmige Polyeder gebaut
• Unbekannte Gesamtzahl der nichtkonvexen Uniform polychora: Das Polychora Gleichförmige Projekt zählt jetzt 1849 bekannte Fälle auf.
• Unendliche Uniform polychora Euklidischer 3-Räume-(Uniform tessellations konvexer gleichförmiger Zellen)
• 28 konvexe gleichförmige Honigwaben: gleichförmiger konvexer polyedrischer tessellations, einschließlich:
• 1 regelmäßiger tessellation, Kubikhonigwabe: {4,3,4 }\
• Unendliche Uniform polychora hyperbolischer 3-Räume-(Uniform tessellations konvexer gleichförmiger Zellen)
• 76 Wythoffian konvexe gleichförmige Honigwaben im Hyperbelraum, einschließlich:
• 4 regelmäßige tessellation des Hyperbelraums: {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4}, {5,3,5 }\

Doppeluniform polychora (zelltransitiv):

• 41 einzigartige 4-polytopes gleichförmige konvexe Doppel-
• 17 einzigartige polyedrische gleichförmige konvexe Doppelprismen
• unendliche Familie der konvexen Doppeluniform duoprisms (unregelmäßige vierflächige Zellen)
• 27 einzigartige konvexe gleichförmige Doppelhonigwaben, einschließlich:
• Rhombische dodecahedral Honigwabe
• Disphenoid vierflächige Honigwabe

Andere:

• Struktur von Weaire-Phelan periodische raumfüllende Honigwabe mit unregelmäßigen Zellen

Abstrakter regelmäßiger polychora:

• 11-Zellen-
• 57-Zellen-

Diese Kategorien schließen nur die polychora ein, die einen hohen Grad der Symmetrie ausstellen. Viele andere polychora sind möglich, aber sie sind so umfassend nicht studiert worden wie diejenigen, die in diese Kategorien eingeschlossen sind.

Siehe auch

• Konvexer regelmäßiger 4-polytope
• Der 3-Bereiche-(oder glome) ist eine andere allgemein besprochene Zahl, die im 4-dimensionalen Raum wohnt. Das ist nicht ein polychoron, da er durch polyedrische Zellen nicht begrenzt wird.
• Der duocylinder ist eine Zahl im 4-dimensionalen mit dem duoprisms verbundenen Raum. Es ist auch nicht ein polychoron, weil seine begrenzenden Volumina nicht polyedrisch sind.

Kommentare

• T. Gosset: Auf den Regelmäßigen und Halbregelmäßigen Abbildungen in Raum von n Dimensionen, Boten der Mathematik, Macmillan, 1900
• A. Boole Stott: Geometrischer Abzug des Halbstammkunden von regelmäßigem polytopes und Raumfüllungen, Verhandelingen der Akademie von Koninklijke Breite-Einheit von van Wetenschappen Amsterdam, Eerste Sectie 11,1, Amsterdam, 1910
• H.S.M. Coxeter:
• H. S. M. Coxeter, M. S. Longuet-Higgins und J. C. P. Miller: Gleichförmige Polyeder, Philosophische Transaktionen der Königlichen Gesellschaft Londons, Londne, 1954
• H.S.M. Coxeter, Regelmäßiger Polytopes, 3. Ausgabe, Dover New York, 1973
• Kaleidoskope: Ausgewählte Schriften von H.S.M. Coxeter, editied durch F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asien Ivic Weiss, Wiley-Zwischenwissenschaftsveröffentlichung, 1995, internationale Standardbuchnummer 978-0-471-01003-6

http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471010030.html

• (Papier 22) H.S.M. Coxeter, Regelmäßiger und Regelmäßiger Halbpolytopes I, [Mathematik. Zeit. 46 (1940) 380-407, HERR 2,10]
• (Papier 23) H.S.M. Coxeter, Regelmäßiger und Halbregelmäßiger Polytopes II, [Mathematik. Zeit. 188 (1985) 559-591]
• (Papier 24) H.S.M. Coxeter, Regelmäßiger und Halbregelmäßiger Polytopes III, [Mathematik. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• J.H. Conway und M.J.T. Guy: Vierdimensionaler Archimedean Polytopes, Verhandlungen des Kolloquiums auf der Konvexität an Kopenhagen, Seite 38 und 39, 1965
• N.W. Johnson: Die Theorie von Gleichförmigem Polytopes und Honigwaben, Doktordoktorarbeit, Universität Torontos, 1966
• Vierdimensionaler Archimedean Polytopes (Deutscher), Marco Möller, 2004 Doktordoktorarbeit

http://www.sub.uni-hamburg.de/opus/volltexte/2004/2196/pdf/Dissertation.pdf

Links

• Gleichförmiger Polychora, Lauben von Jonathan
• Uniform polychoron Zuschauer - Java3D Applet mit Quellen
• Dr R. Klitzing, polychora