In der Mathematik, und mehr spezifisch Mengenlehre ist der leere Satz der einzigartige Satz, der keine Elemente hat; seine Größe oder cardinality (Zählung von Elementen in einem Satz) sind Null. Einige axiomatische Mengenlehren versichern, dass der leere Satz durch das Umfassen eines Axioms des leeren Satzes besteht; in anderen Theorien kann seine Existenz abgeleitet werden. Viele mögliche Eigenschaften von Sätzen sind für den leeren Satz trivial wahr.

Nullmenge war einmal ein allgemeines Synonym für den "leeren Satz", aber ist jetzt ein Fachbegriff in der Maß-Theorie.

Notation

Allgemeine Notationen für den leeren Satz schließen "{}," "", und "" ein. Die letzten zwei Symbole wurden von der Gruppe von Bourbaki (spezifisch André Weil) 1939 eingeführt, durch den Brief Ø im dänischen und norwegischen Alphabet begeistert (und nicht hat sich in jedem Fall auf den griechischen Brief Φ bezogen). Andere Notationen für den leeren Satz schließen "Λ" und "0" ein

Das Symbol des leeren Satzes wird an Punkt-U+2205 von Unicode gefunden. In TeX wird es als \emptyset oder \varnothing codiert.

Eigenschaften

Durch den Grundsatz von extensionality sind zwei Sätze gleich, wenn sie dieselben Elemente haben; deshalb kann es nur einen Satz ohne Elemente geben. Folglich gibt es nur einen leeren Satz, und wir sprechen "vom leeren Satz" aber nicht "einem leeren Satz".

Die mathematischen Symbole, die unten verwendet sind, werden hier erklärt.

Für jeden Satz A:

• Der leere Satz ist eine Teilmenge von A:

:

• Die Vereinigung mit dem leeren Satz ist A:

:

• Die Kreuzung mit dem leeren Satz ist der leere Satz:

:

• Das Kartesianische Produkt von A und dem leeren Satz ist leer:

:

Der leere Satz hat die folgenden Eigenschaften:

• Seine einzige Teilmenge ist der leere Satz selbst:

:

• Der Macht-Satz des leeren Satzes ist ein Satz, der nur den leeren Satz enthält:

:

• Seine Zahl der Elemente (d. h. sein cardinality) sind Null:

:

Die Verbindung zwischen dem leeren Satz und der Null geht weiter jedoch: In der mit dem Standardsatz theoretischen Definition von natürlichen Zahlen verwenden wir Sätze, um die natürlichen Zahlen zu modellieren. In diesem Zusammenhang wird Null durch den leeren Satz modelliert.

Für jedes Eigentum:

• Weil jedes Element des Eigentums (ausdruckslose Wahrheit) hält;
• Es gibt kein Element dessen, für den das Eigentum hält.

Umgekehrt, wenn für ein Eigentum und einen Satz V, die folgenden zwei Behauptungen halten:

• Für jedes Element V hält das Eigentum;
• Es gibt kein Element V, für den das Eigentum, hält

:then.

Durch die Definition der Teilmenge ist der leere Satz eine Teilmenge jedes Satzes A, weil jedes Element x dessen A gehört. Wenn es nicht wahr ist, dass jedes Element dessen in A ist, muss es mindestens ein Element davon geben ist in A nicht da. Da es keine Elemente überhaupt gibt, gibt es kein Element davon ist nicht in A. Folglich ist jedes Element dessen in A, und ist eine Teilmenge von A. Jede Behauptung, die "für jedes Element" beginnt, erhebt keinen substantivischen Anspruch; es ist eine ausdruckslose Wahrheit. Das wird häufig als paraphrasiert "alles trifft auf die Elemente des leeren Satzes zu."

Operationen auf dem leeren Satz

Operationen, die auf dem leeren Satz (als eine Reihe von Dingen durchgeführt sind, auf bedient zu werden), sind ungewöhnlich. Zum Beispiel ist die Summe der Elemente des leeren Satzes Null, aber das Produkt der Elemente des leeren Satzes ist ein (sieh leeres Produkt). Schließlich sagen die Ergebnisse dieser Operationen mehr über die fragliche Operation als über den leeren Satz. Zum Beispiel ist Null das Identitätselement für die Hinzufügung, und man ist das Identitätselement für die Multiplikation.

Mathematik

Verlängerte reelle Zahlen

Da der leere Satz keine Mitglieder hat, wenn es als eine Teilmenge jedes bestellten Satzes betrachtet wird, dann wird jedes Mitglied dieses Satzes ein oberer gebunden und tiefer bestimmt für den leeren Satz sein. Zum Beispiel, wenn betrachtet, als eine Teilmenge der reellen Zahlen, mit seiner üblichen Einrichtung, die durch die Linie der reellen Zahl vertreten ist, ist jede reelle Zahl beide ein oberer und für den leeren Satz gebundenes niedrigeres. Wenn betrachtet, da eine Teilmenge des verlängerten gebildeten reals durch das Hinzufügen von zwei "Zahlen" oder "Punkten" zu den reellen Zahlen, nämlich negativer Unendlichkeit, angezeigt hat, der definiert wird, um weniger zu sein, als jede andere verlängerte reelle Zahl und positive Unendlichkeit, angezeigt haben, der definiert wird, um größer zu sein, als jede andere verlängerte reelle Zahl dann:

:und:

D. h. das am wenigsten obere gebunden (Mund voll oder Supremum) des leeren Satzes ist negative Unendlichkeit, während das größte tiefer bestimmt (inf oder infimum) positive Unendlichkeit ist. Analog mit dem obengenannten, im Gebiet des verlängerten reals, ist negative Unendlichkeit das Identitätselement für das Maximum und die Supremum-Maschinenbediener, während positive Unendlichkeit das Identitätselement für das Minimum und infimum ist.

Topologie

Betrachtet als eine Teilmenge der Linie der reellen Zahl (oder mehr allgemein jeder topologische Raum) wird der leere Satz sowohl geschlossen und offen; es ist ein Beispiel eines "Clopen"-Satzes. Alle seine Grenzpunkte (von denen es niemanden gibt) sind im leeren Satz, und der Satz wird deshalb geschlossen; während für jeden seiner Punkte (von denen es wieder niemanden gibt) es eine offene Nachbarschaft im leeren Satz gibt, und der Satz deshalb offen ist. Außerdem ist der leere Satz ein Kompaktsatz durch die Tatsache, dass jeder begrenzte Satz kompakt ist.

Der Verschluss des leeren Satzes ist leer. Das ist als "Bewahrung von nullary Vereinigungen bekannt."

Kategorie-Theorie

Wenn A ein Satz ist, dann dort besteht genau eine Funktion f von {} zu A, der leeren Funktion. Infolgedessen ist der leere Satz der einzigartige anfängliche Gegenstand der Kategorie von Sätzen und Funktionen.

Der leere Satz kann in einen topologischen Raum, genannt den leeren Raum auf gerade eine Weise verwandelt werden: Durch das Definieren des leeren Satzes, um offen zu sein. Dieser leere topologische Raum ist der einzigartige anfängliche Gegenstand in der Kategorie von topologischen Räumen mit dauernden Karten.

Infrage gestellte Existenz

Axiomatische Mengenlehre

In der Zermelo Mengenlehre wird die Existenz des leeren Satzes durch das Axiom des leeren Satzes gesichert, und seine Einzigartigkeit folgt aus dem Axiom von extensionality. Jedoch kann das Axiom des leeren Satzes überflüssig auf jede von zwei Weisen gezeigt werden:

• Eine solche Logik, dass provability und Wahrheit für beide leeren sowie nichtleeren Gebiete halten, wird eine freie Logik genannt. Mengenlehre wird fast mit der freien Logik als seine Hintergrundlogik nie formuliert; folglich sind viele Lehrsätze der Mengenlehre nur gültig, wenn das Gebiet des Gesprächs nichtleer ist. Kanonische axiomatische Mengenlehre nimmt an, dass alles im (nichtleeren) Gebiet ein Satz ist. Deshalb besteht mindestens ein Satz; nennen Sie es A. Durch das Axiom-Diagramm der Trennung (ein Lehrsatz in einigen Theorien) besteht der Satz B = {x xA  x  x} und, keine Mitglieder habend, ist der leere Satz;
• Das Axiom der Unendlichkeit, die in alle mathematisch interessanten axiomatischen Mengenlehren eingeschlossen ist, behauptet nicht nur die Existenz eines unendlichen Satzes I (von dem B im vorhergehenden Paragrafen gebaut werden kann), aber verlangt normalerweise, dass der leere Satz ein Mitglied von mir ist.

Philosophische Probleme

Während der leere Satz ein Standard ist und weit mathematisches Konzept akzeptiert hat, bleibt es eine ontologische Wissbegierde, deren Bedeutung und Nützlichkeit von Philosophen und Logikern diskutiert wird.

Der leere Satz ist nicht dasselbe Ding wie nichts; eher ist es ein Satz mit nichts darin, und ein Satz ist immer etwas. Dieses Problem kann durch die Betrachtung eines Satzes als eine Tasche überwunden werden — eine leere Tasche besteht zweifellos noch. Liebling (2004) erklärt, dass der leere Satz nicht nichts, aber eher "der Satz aller Dreiecke mit vier Seiten, der Satz aller Zahlen ist, die größer als neun, aber kleiner sind als acht, und der Satz aller öffnenden Bewegungen im Schach, die einen König einbeziehen."

Der populäre Syllogismus

:Nothing ist besser als ewiges Glück; ein Schinkenbrot ist besser als nichts; deshalb ist ein Schinkenbrot besser als ewiges Glück

wird häufig verwendet, um die philosophische Beziehung zwischen dem Konzept von nichts und dem leeren Satz zu demonstrieren. Liebling schreibt, dass die Unähnlichkeit durch das Neuschreiben der Behauptungen gesehen werden kann, "Ist nichts besser, als ewiges Glück" und" [Ein] Schinkenbrot besser sind als nichts" in einem mathematischen Ton. Gemäß dem Liebling ist der erstere "Zum Satz aller Dinge gleichwertig, die besser sind, als ewiges Glück ist" und der Letztere "Zum Satz {Schinkenbrot} besser ist als der Satz". Es wird bemerkt, dass das erste Elemente von Sätzen vergleicht, während das zweite die Sätze selbst vergleicht.

Jonathan Lowe behauptet dass während der leere Satz:

: "... war zweifellos ein wichtiger Grenzstein in der Geschichte der Mathematik, … sollten wir nicht annehmen, dass sein Dienstprogramm in der Berechnung nach seiner wirklichen Bezeichnung eines Gegenstands abhängig ist."

es ist auch der Fall dass:

: "Alles, was wir jemals über den leeren Satz informiert werden, ist, dass es (1) ein Satz ist, (2) hat keine Mitglieder, und (3) ist darunter einzigartig setzt ein keine Mitglieder zu haben. Jedoch gibt es sehr viele Dinge, die 'keine Mitglieder', im mit dem Satz theoretischen Sinn-nämlich, allen Nichtsätzen haben. Es ist vollkommen klar, warum diese Dinge keine Mitglieder haben, weil sie nicht Sätze sind. Was unklar ist, ist, wie es, einzigartig unter Sätzen, ein Satz geben kann, der keine Mitglieder hat. Wir können solch eine Entität in die Existenz durch die bloße Bedingung nicht beschwören."

George Boolos hat so viel davon diskutiert, wem ehemals durch die Mengenlehre erhalten worden ist, kann genauso durch die Mehrzahlquantifizierung über Personen ohne Sätze leicht erhalten werden wie einzigartige Entitäten, die andere Entitäten als Mitglieder haben.

Der leere Satz ist ein entscheidender Teil der Philosophie von Alain Badiou. Für Badiou, wie man betrachtet, ist der leere Satz, gekennzeichnet als "die Leere," "der Eigenname," und so das foundational Material der Ontologie zu sein.

Siehe auch

• Bewohnt setzt

Referenzen

• Paul Halmos, Naive Mengenlehre. Princeton, New Jersey:D. Van Nostrand Company, 1960. Nachgedruckt vom Springer-Verlag, New York, 1974. Internationale Standardbuchnummer 0-387-90092-6 (Ausgabe des Springers-Verlag).
• Jech, Thomas, 2003. Mengenlehre: Die Dritte Millennium-Ausgabe, Revidiert und Ausgebreitet. Springer. Internationale Standardbuchnummer 3-540-44085-2.