In der Geometrie ist ein Simplex (Mehrzahlsimplexe oder simplices) eine Generalisation des Begriffs eines Dreiecks oder Tetraeders zur willkürlichen Dimension. Spezifisch ist ein N-Simplex' ein n-dimensional polytope, der der konvexe Rumpf seines n + 1 Scheitelpunkte ist. Zum Beispiel ist ein 2-Simplexe-ein Dreieck, ein 3-Simplexe-ist ein Tetraeder, und ein 4-Simplexe-ist ein pentachoron. Ein einzelner Punkt kann als ein 0-Simplexe-betrachtet werden, und ein Liniensegment kann als ein 1 Simplex betrachtet werden. Ein Simplex kann als der kleinste konvexe Satz definiert werden, der die gegebenen Scheitelpunkte enthält.

Ein regelmäßiges Simplex ist ein Simplex, das auch ein regelmäßiger polytope ist. Ein regelmäßiges N-Simplex kann von einem Stammkunden (n  1) - Simplex durch das Anschließen eines neuen Scheitelpunkts mit allen ursprünglichen Scheitelpunkten durch die allgemeine Rand-Länge gebaut werden.

In der Topologie und combinatorics ist es üblich, zusammen" simplices "zu kleben, um einen simplicial Komplex zu bilden. Die verbundene kombinatorische Struktur wird einen Auszug simplicial Komplex genannt, in dem Zusammenhang das Wort "Simplex" einfach jeden begrenzten Satz von Scheitelpunkten bedeutet.

Elemente

Der konvexe Rumpf jeder nichtleeren Teilmenge der N+1-Punkte, die ein N-Simplex definieren, wird ein Gesicht des Simplexes genannt. Gesichter sind simplices selbst. Insbesondere der konvexe Rumpf einer Teilmenge der Größe m+1 (der N+1-Definieren-Punkte) ist eine M Simplex, genannt eine M Gesicht' des N-Simplexes. Die 0 Gesichter (d. h., die Definieren-Punkte selbst als Sätze der Größe 1) werden die Scheitelpunkte genannt (einzigartig: Scheitelpunkt), die 1 Gesichter werden die Ränder, (n  1) genannt - Gesichter werden die Seiten genannt, und das alleinige N-Gesicht ist das ganze N-Simplex selbst. Im Allgemeinen ist die Zahl der M Gesichter dem binomischen Koeffizienten gleich. Folglich kann die Zahl der M Gesichter eines N-Simplexes in der Säule (M + 1) der Reihe (n + 1) des Dreiecks des Pascal gefunden werden. Ein Simplex A ist ein coface eines Simplexes B, wenn B ein Gesicht von A ist. Gesicht und Seite können verschiedene Bedeutungen haben, wenn sie Typen von simplices in einem simplicial Komplex beschreiben. Sieh Simplicial

complex#Definitions

Die regelmäßige Simplexfamilie ist von drei regelmäßigen polytope Familien erst, die von Coxeter als α, die anderen zwei etikettiert sind, die die Quer-Polytope-Familie sind, etikettiert als β, und die Hyperwürfel, etikettiert als γ. Eine vierte Familie, der unendliche tessellation von Hyperwürfeln, hat er als δ etikettiert.

Die Zahl von 1 Gesichtern (Ränder) des N-Simplexes ist (n-1) th Dreieck-Zahl, die Zahl von 2 Gesichtern (Gesichter) des N-Simplexes ist (n-2) th Tetraeder-Zahl, die Zahl von 3 Gesichtern (Zellen) des N-Simplexes ist (n-3) th pentachoron Zahl und so weiter.

In einer Vereinbarung wird der leere Satz definiert, um (1) - Simplex zu sein. Die Definition des Simplexes hat oben noch Sinn wenn n = 1. Diese Tagung ist in Anwendungen auf die algebraische Topologie (wie Simplicial-Homologie) üblicher als zur Studie von polytopes.

Symmetrische Graphen von regelmäßigem simplices

Diese Petrie Vieleck (verdrehen orthogonale Vorsprünge), zeigen alle Scheitelpunkte des regelmäßigen Simplexes auf einem Kreis und alle durch Ränder verbundenen Scheitelpunkt-Paare.

Das Standardsimplex

Das StandardN-Simplex (oder EinheitsN-Simplex) sind die Teilmenge von durch gegebenem R

:

Das Simplex Δ liegt im affine erhaltenen Hyperflugzeug durch das Entfernen der Beschränkung t  0 in der obengenannten Definition. Das Standardsimplex ist klar regelmäßig.

Die n+1 Scheitelpunkte des StandardN-Simplexes sind die Punkte e  R, wo

:e = (1, 0, 0..., 0),

:e = (0, 1, 0..., 0),

:

:e = (0, 0, 0..., 1).

Es gibt eine kanonische Karte vom StandardN-Simplex bis ein willkürliches N-Simplex mit Scheitelpunkten (v, …, v) gegeben durch

:

Die Koeffizienten t werden die barycentric Koordinaten eines Punkts im N-Simplex genannt. Solch ein allgemeines Simplex wird häufig ein affine N-Simplex genannt, um zu betonen, dass die kanonische Karte eine affine Transformation ist. Es wird auch manchmal ein orientiertes affine N-Simplex genannt, um zu betonen, dass die kanonische Karte Orientierungsbewahrung oder das Umkehren sein kann.

Mehr allgemein gibt es eine kanonische Karte vom Standard - Simplex (mit n Scheitelpunkten) auf jeden polytope mit n Scheitelpunkten, die durch dieselbe Gleichung gegeben sind (modifizierend mit einem Inhaltsverzeichnis versehend):

:

Diese, sind wie verallgemeinert, barycentric Koordinaten bekannt, und drücken jeden polytope als das Image eines Simplexes aus:

Erhöhung von Koordinaten

Ein alternatives Koordinatensystem wird durch die Einnahme der unbestimmten Summe gegeben:

:

s_0 &= 0 \\

s_1 &= s_0 + t_0 = t_0 \\

s_2 &= s_1 + t_1 = t_0 + t_1 \\

s_3 &= s_2 + t_2 = t_0 + t_1 + t_2 \\

&\\punktiert \\

s_n &= s_ {n-1} + t_ {n-1} = t_0 + t_1 + \dots + t_ {n-1 }\\\

s_ {n+1} &= s_n + t_n = t_0 + t_1 + \dots + t_n = 1

\end {richten }\aus

</Mathematik>

Das gibt die alternative Präsentation durch die Ordnung, nämlich als nichtabnehmende N-Tupel zwischen 0 und 1 nach:

:

Geometrisch ist das eine n-dimensional Teilmenge (maximale Dimension, codimension 0) aber nicht von (codimension 1). Die Hypergesichter, die auf dem Standardsimplex einem Koordinatenverschwinden entsprechen, hier entsprechen aufeinander folgenden Koordinaten, die gleich sind, während das Interieur der Ungleichheit entspricht, die streng (zunehmende Folgen) wird.

Eine Schlüsselunterscheidung zwischen diesen Präsentationen ist das Verhalten unter dem Permutieren von Koordinaten - das Standardsimplex wird durch das Permutieren von Koordinaten stabilisiert, während das Permutieren von Elementen des "bestellten Simplexes" es invariant nicht verlässt, weil das Permutieren einer bestellten Folge es allgemein nicht eingeordnet macht. Tatsächlich ist das bestellte Simplex ein (geschlossenes) grundsätzliches Gebiet für die Handlung der symmetrischen Gruppe auf dem N-Würfel, dass die Bahn des bestellten Simplexes unter dem n bedeutend! Elemente der symmetrischen Gruppe teilen den N-Würfel in größtenteils zusammenhanglosen simplices (zusammenhanglos abgesehen von Grenzen), zeigend, dass dieses Simplex Volumen Wechselweise hat, kann das Volumen durch ein wiederholtes Integral geschätzt werden, dessen aufeinander folgende integrands sind

Ein weiteres Eigentum dieser Präsentation besteht darin, dass sie die Ordnung, aber nicht Hinzufügung verwendet, und so in jeder Dimension über jeden bestellten Satz definiert werden kann, und zum Beispiel verwendet werden kann, um ein unendlich-dimensionales Simplex ohne Probleme der Konvergenz von Summen zu definieren.

Vorsprung auf das Standardsimplex

Besonders in numerischen Anwendungen der Wahrscheinlichkeitstheorie ist ein Vorsprung auf das Standardsimplex von Interesse. Gegeben mit vielleicht negativen Einträgen hat der nächste Punkt auf dem Simplex Koordinaten

:

wo solch dass gewählt wird

kann vom Sortieren leicht berechnet werden.

Ecke des Würfels

Schließlich soll eine einfache Variante "das Summieren zu 1" mit dem "Summieren zu höchstens 1" ersetzen; das erhebt die Dimension um 1, um so Notation, die Indexieren-Änderungen zu vereinfachen:

:

Das gibt ein N-Simplex als eine Ecke des N-Würfels nach, und ist ein orthogonales Standardsimplex. Das ist das Simplex, das in der Simplexmethode verwendet ist, die am Ursprung basiert, und lokal einen Scheitelpunkt auf einem polytope mit N-Gesichtern modelliert.

Kartesianische Koordinaten für das regelmäßige n-dimensional Simplex in R

Die Koordinaten der Scheitelpunkte eines regelmäßigen n-dimensional Simplexes können bei diesen zwei Eigenschaften, erhalten werden

1. Für ein regelmäßiges Simplex sind die Entfernungen seiner Scheitelpunkte zu seinem Zentrum gleich.
2. Der Winkel, der durch irgendwelche zwei Scheitelpunkte eines n-dimensional Simplexes durch sein Zentrum entgegengesetzt ist, ist

Diese können wie folgt verwendet werden. Lassen Sie Vektoren (v, v..., v) vertreten die Scheitelpunkte eines N-Simplexzentrums der Ursprung, alle Einheitsvektoren so eine Entfernung 1 vom Ursprung, das erste Eigentum befriedigend. Das zweite Eigentum bedeutet, dass das Punktprodukt zwischen jedem Paar der Vektoren ist-. Das kann verwendet werden, um Positionen für sie zu berechnen.

Zum Beispiel in drei Dimensionen sind die Vektoren (v, v, v, v) die Scheitelpunkte eines 3-Simplexe- oder Tetraeders. Schreiben Sie diese als

:

Wählen Sie den ersten Vektoren v, um alle außer der ersten Teilnull zu haben, so durch das erste Eigentum muss es sein (1, 0, 0) und die Vektoren werden

:

Durch das zweite Eigentum ist das Punktprodukt von v mit allen anderen Vektoren - so muss jeder ihrer x Bestandteile dem gleichkommen, und die Vektoren werden

:

Wählen Sie als nächstes v, um alle außer der ersten zwei Element-Null zu haben. Das zweite Element ist das einzige unbekannte. Es kann vom ersten Eigentum mit dem Pythagoreischen Lehrsatz berechnet werden (wählen Sie einige der zwei Quadratwurzeln), und so der zweite Vektor vollendet werden kann:

:

Das zweite Eigentum kann verwendet werden, um die restlichen y Bestandteile, durch die Einnahme des Punktproduktes von v mit jedem und das Lösen zu berechnen, um zu geben

:

Von dem die z Bestandteile mit dem Pythagoreischen Lehrsatz wieder berechnet werden können, um das erste Eigentum, die zwei möglichen Quadratwurzeln zu befriedigen, die die zwei Ergebnisse geben

:

Dieser Prozess kann in jeder Dimension, mit n + 1 Vektoren ausgeführt werden, die ersten und zweiten Eigenschaften abwechselnd anwendend, um alle Werte zu bestimmen.

Geometrische Eigenschaften

Das orientierte Volumen eines N-Simplexes im n-dimensional Raum mit Scheitelpunkten (v..., v) ist

:

{1\over n! }\\det

\begin {pmatrix }\

v_1-v_0 & v_2-v_0& \dots & v_ {n-1}-v_0 & v_n-v_0

\end {pmatrix }\

</Mathematik>

wo jede Säule des n × n Determinante der Unterschied zwischen den Vektoren ist, die zwei Scheitelpunkte vertreten. Ohne den 1/n! es ist die Formel für das Volumen eines n-parallelepiped. Eine Weise, den 1/n zu verstehen! Faktor ist wie folgt. Wenn die Koordinaten eines Punkts in einem EinheitsN-Kasten, zusammen mit 0 und 1 sortiert werden, und aufeinander folgende Unterschiede genommen werden, dann da die Ergebnisse zu einem beitragen, ist das Ergebnis ein Punkt in einem n Simplex, das durch den Ursprung und den nächsten n Scheitelpunkten des Kastens abgemessen ist. Die Einnahme von Unterschieden war ein unimodular (Volumen-Bewahrung) Transformation, aber das Sortieren hat den Raum durch einen Faktor von n zusammengepresst!.

Das Volumen unter einem StandardN-Simplex (d. h. zwischen dem Ursprung und dem Simplex in R) ist

:

{1 \over (n+1)! }\

</Mathematik>

Das Volumen eines regelmäßigen N-Simplexes mit der Einheitsseitenlänge ist

:

{\\frac {\\sqrt {n+1}} {n! \sqrt {2^n}} }\

</Mathematik>

wie durch das Multiplizieren der vorherigen Formel durch x gesehen werden kann, um das Volumen unter dem N-Simplex als eine Funktion seiner Scheitelpunkt-Entfernung x vom Ursprung, das Unterscheiden in Bezug auf x, an zu bekommen (wo die N-Simplexseitenlänge 1 ist), und das Normalisieren durch die Länge der Zunahme, entlang dem normalen Vektoren.

Der zweiflächige Winkel eines regelmäßigen n-dimensional Simplexes ist weil (1/n).

Simplexe mit einer "orthogonalen Ecke"

Orthogonale Ecke bedeutet hier, dass es einen Scheitelpunkt gibt, an dem alle angrenzenden Hypergesichter orthogonal pairwise sind. Solche Simplexe sind Generalisationen von richtigen Winkeldreiecken, und für sie dort besteht eine n-dimensional Version des Pythagoreischen Lehrsatzes:

Die Summe des karierten (n-1) - dimensionale Volumina der Hypergesichter neben der orthogonalen Ecke kommt dem karierten (n-1) - dimensionales Volumen des Hypergesichtsgegenteils der orthogonalen Ecke gleich.

:

wo Hypergesichter sind, die pairwise orthogonal zu einander, aber nicht orthogonal dazu sind, der das Hypergesichtsgegenteil der orthogonalen Ecke ist.

Für einen 2-Simplexe-ist der Lehrsatz der Pythagoreische Lehrsatz für Dreiecke mit einem richtigen Winkel, und für einen 3-Simplexe-ist es der Lehrsatz von de Gua für ein Tetraeder

mit einer Würfel-Ecke.

Beziehung zu (n+1)-hypercube

Das Diagramm von Hasse des Gesichtsgitters eines N-Simplexes ist zum Graphen der Ränder des (n+1)-hypercube mit den Scheitelpunkten des Hyperwürfels isomorph, die zu jedem der Elemente des N-Simplexes, einschließlich des kompletten Simplexes und des ungültigen polytope als die äußersten Punkte des Gitters kartografisch darstellen (kartografisch dargestellt zu zwei entgegengesetzten Scheitelpunkten auf dem Hyperwürfel). Diese Tatsache kann verwendet werden, um das Gesichtsgitter des Simplexes effizient aufzuzählen, da allgemeinere Gesichtsgitter-Enumerationsalgorithmen mehr rechenbetont teuer sind.

Das N-Simplex ist auch die Scheitelpunkt-Zahl (n+1)-hypercube. Es ist auch die Seite (n+1)-orthoplex.

Topologie

Topologisch ist ein N-Simplex zu einem N-Ball gleichwertig. Jedes N-Simplex ist eine N-Dimensional-Sammelleitung mit Ecken.

Wahrscheinlichkeit

In der Wahrscheinlichkeitstheorie, den Punkten des StandardN-Simplexes in - Raum sind der Raum von möglichen Rahmen (Wahrscheinlichkeiten) des kategorischen Vertriebs auf n+1 möglichen Ergebnissen.

Algebraische Topologie

In der algebraischen Topologie werden simplices als Bausteine verwendet, um eine interessante Klasse von genannten simplicial Komplexen der topologischen Räume zu bauen. Diese Räume werden von simplices geklebt zusammen auf eine kombinatorische Mode gebaut. Komplexe von Simplicial werden verwendet, um eine bestimmte Art der genannten simplicial Homologie der Homologie zu definieren.

Ein begrenzter Satz von in einer offenen Teilmenge von R eingebetteten K-Simplexen wird eine affine K-Kette genannt. Die Simplexe in einer Kette brauchen nicht einzigartig zu sein; sie können mit der Vielfältigkeit vorkommen. Anstatt Standardsatz-Notation zu verwenden, um eine affine Kette anzuzeigen, ist es stattdessen die Standardpraxis, um Pluszeichen zu verwenden, jedes Mitglied im Satz zu trennen. Wenn einige der Simplexe die entgegengesetzte Orientierung haben, werden diese durch minus das Zeichen vorbefestigt. Wenn einige der Simplexe im Satz mehr vorkommen als einmal, werden diese mit einer Zählung der ganzen Zahl vorbefestigt. So nimmt eine affine Kette die symbolische Form einer Summe mit Koeffizienten der ganzen Zahl an.

Bemerken Sie, dass jedes Gesicht eines N-Simplexes ein affine n-1-simplex ist, und so die Grenze eines N-Simplexes ein affine n-1-chain ist. So, wenn wir ein positiv orientiertes affine Simplex als anzeigen

:

mit der Bezeichnung der Scheitelpunkte dann ist die Grenze von σ die Kette

:

(-1) ^j [v_0..., v_ {j-1}, v_ {j+1}..., v_n] </Mathematik>.

Mehr allgemein kann ein Simplex (und eine Kette) in eine Sammelleitung mittels des glatten, differentiable Karte eingebettet werden. In diesem Fall pendelt sowohl die Summierungstagung, für den Satz als auch die Grenzoperation anzuzeigen, mit dem Einbetten. D. h.

:

wo der ganzen Zahlen zu sein, die Orientierung und Vielfältigkeit anzeigen. Für den Grenzmaschinenbediener hat man:

:

wo ρ eine Kette ist. Die Grenzoperation pendelt damit, kartografisch darzustellen, weil, schließlich, die Kette als ein Satz und ein wenig mehr definiert wird, und die Satz-Operation immer mit der Karte-Operation (definitionsgemäß einer Karte) pendelt.

Eine dauernde Karte zu einem topologischen Raum X wird oft ein einzigartiges N-Simplex genannt.

Algebraische Geometrie

Da klassische algebraische Geometrie erlaubt, über polynomische Gleichungen, aber nicht Ungleichheit zu sprechen, wird das algebraische StandardN-Simplex als die Teilmenge von affine n+1-dimensional Raum allgemein definiert, wo alle Koordinaten zu 1 (so das Auslassen des Ungleichheitsteils) summieren. Die algebraische Beschreibung dieses Satzes ist

:

der der mit dem Schema theoretischen Beschreibung mit gleichkommt

:

der Ring von regelmäßigen Funktionen auf dem algebraischen N-Simplex (für jeden Ring).

Durch das Verwenden derselben Definitionen bezüglich des klassischen N-Simplexes versammeln sich die n-simplices für verschiedene Dimensionen n in einen Simplicial-Gegenstand, während sich die Ringe in einen Cosimplicial-Gegenstand versammeln (in der Kategorie von Schemas resp. Ringe, da das Gesicht und die Entartungskarten das ganze Polynom sind).

Die algebraischen n-simplices werden in der höheren K-Theorie und in der Definition von höheren Gruppen von Chow verwendet.

Anwendungen

Simplices werden im Plotten von Mengen verwendet, die zu 1, wie Verhältnisse von Subbevölkerungen, als in einem dreifältigen Anschlag resümieren.

In der Industriestatistik entstehen simplices in der Problem-Formulierung und in der algorithmischen Lösung. Im Design von Brot muss der Erzeuger Hefe, Mehl, Wasser, Zucker usw. verbinden. In solchen Mischungen, nur die Verhältnisverhältnisse von Zutat-Sachen: Für eine optimale Brot-Mischung, wenn das Mehl dann verdoppelt wird, sollte die Hefe verdoppelt werden. Solches Mischungsproblem wird häufig mit normalisierten Einschränkungen formuliert, so dass die nichtnegativen Bestandteile zu einem resümieren, in welchem Fall das ausführbare Gebiet ein Simplex bildet. Die Qualität der Brot-Mischungen kann mit der Ansprechoberflächenmethodik geschätzt werden, und dann kann ein lokales Maximum mit einem nichtlinearen Programmierverfahren wie folgende quadratische Programmierung geschätzt werden.

In der Operationsforschung können geradlinige Programmierprobleme durch den Simplexalgorithmus von George Dantzig behoben werden.

Im geometrischen Design und der Computergrafik führen viele Methoden zuerst simplicial Triangulationen des Gebiets durch und passen dann interpolierende Polynome an jedes Simplex.

Siehe auch

• Kausale dynamische Triangulation
• Entfernungsgeometrie
• Triangulation von Delaunay
• Hügel-Tetraeder
• Anderer regelmäßiger n-polytopes
• Hyperwürfel
• Quer-Polytope
• Tesseract
• Polytope
• Das Gesetz von Metcalfe
• Liste von regelmäßigem polytopes
• Schläfli orthoscheme
• Simplexalgorithmus - eine Methode, um Optimierungsprobleme mit der Ungleichheit zu beheben.
• Komplex von Simplicial
• Homologie von Simplicial
• Simplicial setzen
• Dreifältiger Anschlag
• 3-Bereiche-

Referenzen

• Walter Rudin, Grundsätze der Mathematischen Analyse (die Dritte Ausgabe), (1976) McGraw-Hügel, New York, internationale Standardbuchnummer 0 07 054235 X (Sieh Kapitel 10 für eine einfache Rezension von topologischen Eigenschaften.).
• Andrew S. Tanenbaum, Computernetze (4. Ed), (2003) Prentice Hall, internationale Standardbuchnummer 0-13-066102-3 (Sieh 2.5.3).
• Luc Devroye, Ungleichförmige Zufällige Variate Generation. (1986) internationale Standardbuchnummer 0-387-96305-7; frei herunterladbare Webversion.
• H.S.M. Coxeter, Regelmäßiger Polytopes, die Dritte Ausgabe, (1973), Ausgabe von Dover, internationale Standardbuchnummer 0-486-61480-8
• p120-121
• p. 296, Tabelle I (iii): Regelmäßiger Polytopes, drei regelmäßige polytopes in N-Dimensionen (n> =5)

Links