In der Mengenlehre und seinen Anwendungen auf die Logik, Mathematik und Informatik, ist Notation des Satz-Baumeisters eine mathematische Notation, für einen Satz durch das Angeben der Eigenschaften zu beschreiben, die seine Mitglieder befriedigen müssen. Das Formen von Sätzen auf diese Weise ist auch bekannt als Satz-Verständnis, Satz-Abstraktion oder als das Definieren einer Verstärkung eines Satzes. Obwohl einige es einfach als Satz-Notation kennzeichnen, kann dieses Etikett für die breitere Klasse der Mittel besser vorbestellt werden, Sätze anzuzeigen.

Gebäude von Sätzen

Lassen Sie Φ (x) eine Formel sein, in der x frei scheint. Satz-Baumeister-Notation hat die Form {x: Φ (x)} (oder {x | Φ (x)} gemäß dem internationalen normalen ISO das 31-11 Verwenden der vertikalen Bar statt des Doppelpunkts), den Satz aller Personen im Weltall des Gesprächs anzeigend, das die Formel Φ (x), d. h. der Satz befriedigt, dessen Mitglieder jeder individuelle solcher y sind, dass Φ (y) wahr ist: formell, die Erweiterung des Prädikats. Manchmal wird das Weltall des Gesprächs innerhalb der Notation gegründet; das Schreiben {x  U: Φ (x)} stellt fest, dass das Weltall des Gesprächs U zum Zwecke des Satzes ist, der wird baut. Satz-Baumeister-Notation bindet die Variable x und muss mit derselben Sorge verwendet werden, die auf durch quantifiers gebundene Variablen angewandt ist.

Beispiele (kann das Weltall des Gesprächs genommen werden, um der Satz von reellen Zahlen, wo nicht angegeben innerhalb der Notation zu sein):

• ist der Satz,

• ist der Satz aller positiven reellen Zahlen.

• ist der Satz aller gleichen natürlichen Zahlen,

• ist der Satz von rationalen Zahlen; d. h. Zahlen, die als das Verhältnis von zwei ganzen Zahlen geschrieben werden können.

• So, z.B, usw. (n.b.: im Fall von Sätzen ist die Ordnung nicht wichtig; konnte verwendet werden). Als ein Beispiel,

Das Zeichen tritt ein und, beide Bedingungen verlangend, gleichzeitig erfüllt werden. Es wird häufig durch ein Komma Strichpunkt ersetzt oder als ausgeschrieben und.

Das Zeichen zeigt Satz-Mitgliedschaft an, und kann als "darin" gelesen werden.

Logische Gleichwertigkeit

Logische Gleichwertigkeit ist ein wichtiges Konzept in der Notation des Satz-Baumeisters:

.

Das bedeutet, dass zwei Sätze gleich sind, wenn, und nur wenn ihre "Mitgliedschaft-Voraussetzungen" logisch gleichwertig sind.

Zum Beispiel, weil, für jede reelle Zahl x, x = 1 wenn und nur wenn |x = 1; und, deshalb, erzeugen beide Aufbauten denselben Satz {-1,1}.

Das Paradox von Russell

Lassen Sie zeigen den Satz R von allen Sätzen S an, die sich nicht gehören. Die Widersprüchlichkeit der Existenz dieses Satzes ist als das Paradox von Russell bekannt.

Lösungen des Paradoxes schränken den Begriff des Satz-Aufbaus irgendwie ein. Um das in Bezug auf unsere Notation zu illustrieren, lassen Sie X = {x  A: P (x)} zeigen den Satz jedes Elements Einer Zufriedenheit des Prädikats P (x) an. Die kanonische Beschränkung der Satz-Baumeister-Notation behauptet, dass X ein Satz nur ist, wenn, wie man bereits bekannt, A ein Satz ist. Diese Beschränkung wird im Axiom-Diagramm der Trennungsgegenwart in der axiomatischen Standardmengenlehre kodifiziert. Bemerken Sie, dass dieses Axiom-Diagramm R von sethood ausschließt.

Andere Probleme

Die Notation kann kompliziert werden, besonders wenn im vorherigen Beispiel und den Abkürzungen häufig verwendet werden, wenn Zusammenhang die Natur einer Variable anzeigt. Zum Beispiel:

• {x: x> 0\, in einem Zusammenhang, wo die Variable x nur für reelle Zahlen verwendet wird, zeigt den Satz aller positiven reellen Zahlen an;
• {p/q: q  0\, in einem Zusammenhang, wo die Variablen p und q nur für ganze Zahlen verwendet werden, zeigt den Satz aller rationalen Zahlen an; und
• {S: S gehört S\in einem Zusammenhang nicht, wo die Variable S nur für Sätze verwendet wird, zeigt den Satz aller Sätze an, die sich nicht gehören.

Da sich das letzte Beispiel zeigt, könnte solch eine abgekürzte Notation wieder keinen wirklichen nichtparadoxen Satz anzeigen, wenn es tatsächlich die eine Reihe aller Gegenstände nicht gibt, die durch die fragliche Variable beschrieben werden könnten.

Schwankungen

Begriffe, die mehr kompliziert sind als eine einzelne Variable

Eine andere Schwankung auf der Notation des Satz-Baumeisters ersetzt die einzelne Variable x durch einen Begriff T, der eine oder mehr Variablen einschließen kann, die mit Funktionen verbunden sind, die ihnen folgen. So statt {x: Φ (x)}, wir würden {T haben: Φ (x... x)}, wo T ein Begriff ist, der Variablen x durch x einschließt.

Zum Beispiel:

• {2n: n  N\wo N der Satz aller natürlichen Zahlen ist, ist der Satz aller gleichen natürlichen Zahlen.
• {p/q: p, q  Z, q0}, wo Z der Satz aller ganzen Zahlen ist, ist der Satz aller rationalen Zahlen (Q).

Z Notation

In der Z Notation, dem Satz des ganzen x (in einem Weltall des Gesprächs A) würde Zufriedenheit der Bedingung P (x) geschrieben. In Z wird eine Element-X'S-Satz-Mitgliedschaft als statt geschrieben, die vertikale Bar wird verwendet, um ein Prädikat anzuzeigen. Versionen der Satz-Baumeister-Notation sind auch in Z verfügbar, die Begriffe berücksichtigen, die mehr kompliziert sind als eine einzelne Variable mit einer Kugel, um die Form von Mitgliedern des Satzes anzuzeigen. So zeigt den Satz aller Werte F (x) an, wo x in A ist und P (x) hält.

Parallelen auf Programmiersprachen

Eine ähnliche Notation, die auf mehreren Programmiersprachen (namentlich Pythonschlange und Haskell) verfügbar ist, ist das Listenverständnis, das Karte und Filteroperationen über eine oder mehr Listen verbindet.

In der Pythonschlange sind die geschweiften Klammern des Satz-Baumeisters ersetzt durch eckige Klammern, Parenthesen oder lockige geschweifte Klammern, Liste, Generator und Satz-Gegenstände beziehungsweise gebend. Pythonschlange verwendet eine englische basierte Syntax. Haskell ersetzt die geschweiften Klammern des Satz-Baumeisters durch eckige Klammern und verwendet Symbole, einschließlich des Standardsatz-Baumeisters vertikale Bar. Betrachten Sie diese Beispiele als gegeben in der Notation des Satz-Baumeisters, Pythonschlange und Haskell:

Die Satz-Baumeister-Notation und Listenverständnis-Notation sind beide Beispiele einer allgemeineren Notation bekannt als monad Verständnisse, der map/filter-like Operationen über jeden monad mit einem Nullelement erlaubt.