In der Philosophie ist eine Superaufgabe quantitativ bestimmbar unendliche Zahl von Operationen, die folgend innerhalb eines begrenzten Zwischenraums der Zeit vorkommen. Superaufgaben werden "Hyperaufgaben" genannt, wenn die Zahl von Operationen unzählig unendlich wird. Der Begriff Superaufgabe wurde vom Philosophen James F. Thomson ins Leben gerufen, der die Lampe von Thomson ausgedacht hat, und der Begriff Hyperaufgabe auf Clark und Read in ihrer Zeitung dieses Namens zurückzuführen ist.

Geschichte

Zeno

Bewegung

Der Ursprung vom Interesse an Superaufgaben wird normalerweise Zeno von Elea zugeschrieben. Zeno hat behauptet, dass Bewegung unmöglich war. Er hat wie folgt gestritten: Nehmen Sie unseren knospenden "Möbelpacker" an, Achilles, sagen Wünsche, sich von bis B zu bewegen. Um das zu erreichen, muss er Hälfte der Entfernung von bis B überqueren. Vom Mittelpunkt von AB B Achilles zu kommen, muss Hälfte dieser Entfernung und so weiter und so weiter überqueren. Jedoch oft führt er eine dieser "überquerenden" Aufgaben durch es gibt einen anderen ist nach ihm abgereist, um zu tun, bevor er B erreicht. So folgt es gemäß Zeno, diese Bewegung (eine Nichtnullentfernung in der endlichen Zeit reisend), ist eine Superaufgabe. Zeno behauptet weiter, dass Superaufgaben nicht möglich sind (wie kann diese Folge vollendet werden, wenn für jeden, dort überquerend, soll einen anderen kommen?). Hieraus folgt dass Bewegung unmöglich ist.

Das Argument von Zeno nimmt die folgende Form an:

1. Bewegung ist eine Superaufgabe, weil die Vollziehung der Bewegung über jede Satz-Entfernung mit einer unendlichen Zahl von Schritten verbunden ist
2. Superaufgaben sind unmöglicher
3. Deshalb ist Bewegung unmöglicher

Die meisten nachfolgenden Philosophen weisen den kühnen Beschluss von Zeno für den gesunden Menschenverstand zurück. Stattdessen drehen sie sein Argument auf seinem Kopf (das Annehmen, dass es gültig ist) und nehmen Sie es als ein Beweis durch den Widerspruch, wo die Möglichkeit der Bewegung als selbstverständlich betrachtet wird. Sie akzeptieren die Möglichkeit der Bewegung und wenden Modus tollens (contrapositive) zum Argument von Zeno an, um zum Schluss zu gelangen, dass entweder Bewegung nicht eine Superaufgabe oder nicht ist, sind alle Superaufgaben unmöglich.

Achilles und die Schildkröte

Zeno selbst bespricht auch den Begriff dessen, was er "Achilles und die Schildkröte" nennt. Nehmen Sie an, dass Achilles der schnellste Läufer ist, und sich mit einer Geschwindigkeit von 1 m/s bewegt. Achilles jagt einer Schildkröte, einem Tier, das berühmt ist, um langsam zu sein, der sich an 0.1 m/s bewegt. Jedoch fängt die Schildkröte 0.9 Meter vorn an. Gesunder Menschenverstand scheint anzuordnen, dass Achilles die Schildkröte danach genau 1 Sekunde einholen wird, aber Zeno behauptet, dass das nicht der Fall ist. Er schlägt stattdessen vor, dass Achilles den Punkt unvermeidlich erreichen muss, wo die Schildkröte von angefangen hat, aber als er das vollbracht hat, wird die Schildkröte bereits zu einem anderen Punkt weitergegangen sein. Das, geht und jedes Mal weiter, wenn Achilles das Zeichen erreicht, wo die Schildkröte war, wird die Schildkröte einen neuen Punkt schaffen, dass Achilles wird einholen müssen; während es mit 0.9 Metern beginnt, wird es zusätzliche 0.09 Meter, dann 0.009 Meter und so weiter ungeheuer. Während diese Entfernungen sehr klein wachsen werden, werden sie begrenzt bleiben, während das Verfolgen von Achilles der Schildkröte eine unaufhörliche Superaufgabe werden wird. Viel Kommentar ist auf diesem besonderen Paradox gemacht worden; viele behaupten, dass es eine Lücke im gesunden Menschenverstand findet.

Thomson

James F. Thomson hat geglaubt, dass Bewegung nicht eine Superaufgabe war, und er nachdrücklich bestritten hat, dass Superaufgaben möglich sind. Der Beweis, den Thomson dem letzten Anspruch angeboten hat, schließt ein, was wahrscheinlich das berühmteste Beispiel einer Superaufgabe seit Zeno geworden ist. Die Lampe von Thomson kann entweder auf oder aus sein. In der Zeit t = 0 ist die Lampe aus, in der Zeit t = 1/2 es ist auf, in der Zeit t = 3/4 (= 1/2 + 1/4) ist es, t = 7/8 aus (= 1/2 + 1/4 + 1/8) es ist usw. auf. Die natürliche Frage entsteht: An t = 1 ist die Lampe auf oder von? Es scheint nicht, jede nichtwillkürliche Weise zu geben, diese Frage zu entscheiden. Thomson geht weiter und behauptet, dass das ein Widerspruch ist. Er sagt, dass die Lampe dafür nicht auf sein kann, gab es nie einen Punkt, als es auf war, wo es wieder nicht sofort ausgeschaltet wurde. Und ähnlich behauptet er, dass es dafür nicht aus sein kann, gab es nie einen Punkt, als es aus war, wo es wieder nicht sofort eingeschaltet wurde. Durch das Denken von Thomson der Lampe ist weder auf noch noch durch die Bedingung daraus muss entweder auf oder aus sein — das ist ein Widerspruch. Thomson glaubt so, dass Superaufgaben unmöglich sind.

Benacerraf

Paul Benacerraf glaubt, dass Superaufgaben mindestens trotz des offenbaren Widerspruchs von Thomson logisch möglich sind. Benacerraf stimmt mit Thomson überein, insofern als das das Experiment, das er entworfen hat, den Staat der Lampe an t = 1 nicht bestimmt. Jedoch stimmt er mit Thomson nicht überein, dass er einen Widerspruch davon ableiten kann, da der Staat der Lampe an t = 1 durch die vorhergehenden Staaten nicht logisch bestimmt zu werden braucht. Logische Implikation verriegelt die Lampe davon nicht, zu sein auf, von, oder völlig zu verschwinden, um durch einen von Pferden gezogenen Kürbis ersetzt zu werden. Es gibt mögliche Welten, in denen die Lampe von Thomson auf, und Welten fertig ist, in denen sie endet, um unzählig andere nicht zu erwähnen, wo unheimliche und wunderbare Dinge an t = 1 geschehen. Die scheinbare Eigenmächtigkeit entsteht aus der Tatsache, dass das Experiment von Thomson genug Information nicht enthält, um den Staat der Lampe an t = 1, eher wie die Weise zu bestimmen, wie, wie man finden kann, nichts im Spiel von Shakespeare bestimmt, ob Hamlet - oder nach links gereicht Recht hatte.

So wie steht's mit dem Widerspruch? Benacerraf hat gezeigt, dass Thomson einen Fehler begangen hatte. Als er behauptet hat, dass die Lampe nicht auf sein konnte, weil es nie auf war, ohne wieder abgedreht zu werden — hat das nur auf Momente der Zeit ausschließlich weniger als 1 angewandt. Es gilt für 1 nicht, weil 1 in der Folge {0, 1/2, 3/4, 7/8, …} nicht erscheint, wohingegen das Experiment von Thomson nur den Staat der Lampe seit Zeiten mit dieser Folge angegeben hat.

Moderne Literatur

Der grösste Teil der modernen Literatur kommt aus den Nachkommen von Benacerraf, diejenigen, die stillschweigend die Möglichkeit von Superaufgaben akzeptieren. Philosophen, die ihre Möglichkeit zurückweisen, neigen dazu, sie auf dem Boden wie Thomson nicht zurückzuweisen, aber weil sie Schwächen mit dem Begriff der Unendlichkeit selbst haben (natürlich, gibt es Ausnahmen; zum Beispiel behauptet McLaughlin, dass die Lampe von Thomson inkonsequent ist, wenn sie mit der inneren Mengenlehre, einer Variante der echten Analyse analysiert wird).

Philosophie der Mathematik

Wenn Superaufgaben möglich sind, dann konnten die Wahrheit oder Lüge von unbekannten Vorschlägen der Zahlentheorie, wie die Vermutung von Goldbach oder sogar unentscheidbare Vorschläge in einer begrenzten Zeitdauer durch eine Suche der rohen Gewalt des Satzes aller natürlichen Zahlen bestimmt werden. Das würde jedoch im Widerspruch mit der Kirch-Turing-These sein. Einige haben behauptet, dass das ein Problem für intuitionism aufwirft, da der intuitionist zwischen Dingen unterscheiden muss, die nicht bewiesen werden können (weil sie zu lang oder kompliziert sind; sieh Boolos, "Eine Neugierige Schlussfolgerung"), aber werden dennoch "nachweisbar", und diejenigen betrachtet, die durch die unendliche rohe Gewalt im obengenannten Sinn nachweisbar sind.

Physische Möglichkeit

Einige haben behauptet, dass die Lampe von Thomson physisch unmöglich ist, da sie Teile haben muss, die sich mit Geschwindigkeiten schneller bewegen als die Geschwindigkeit des Lichtes (z.B, der Lampe-Schalter). Adolf Grünbaum schlägt vor, dass die Lampe einen Streifen der Leitung haben konnte, die, wenn gehoben, den Stromkreis stört und die Lampe abdreht; dieser Streifen konnte dann durch eine kleinere Entfernung jedes Mal gehoben werden, wenn die Lampe abgedreht werden soll, eine unveränderliche Geschwindigkeit aufrechterhaltend. Jedoch würde solch ein Design schließlich scheitern, weil schließlich die Entfernung zwischen den Kontakten so klein sein würde, um Elektronen zu erlauben, die Lücke zu springen, den Stromkreis davon abhaltend, überhaupt gebrochen zu werden.

Andere physisch mögliche Superaufgaben sind angedeutet worden. In einem Vorschlag zählt eine Person (oder Entität) aufwärts von 1, eine unendliche Zeitdauer nehmend, während eine andere Person das von einem Bezugssystem beobachtet, wo das in einem begrenzten Zeitraum vorkommt. Für den Schalter ist das nicht eine Superaufgabe, aber für den Beobachter, es ist. (Das konnte wegen der Zeitausdehnung zum Beispiel theoretisch vorkommen, wenn der Beobachter in ein schwarzes Loch fiel, während er einen Schalter beobachtet hat, dessen Position hinsichtlich der Eigenartigkeit befestigt wird.)

Davies in seiner Zeitung "Gebäude Unendlicher Maschinen" hat ein Gerät zusammengebraut, das er fordert, ist bis zur unendlichen Teilbarkeit physisch möglich. Es schließt eine Maschine ein, die eine genaue Replik von sich schafft, aber Hälfte seiner Größe und zweimal seiner Geschwindigkeit hat. Und doch, entweder für einen Menschen oder für jedes Gerät, um wahrzunehmen oder nach dem Staat der Lampe zu handeln, muss etwas Maß zum Beispiel getan werden das Licht von der Lampe würde ein Auge oder einen Sensor erreichen müssen. Jedes solches Maß wird einen festen Rahmen der Zeit nehmen, egal wie klein und, deshalb, bei etwas Punkt-Maß des Staates unmöglich sein wird. Da der Staat an t=1 sogar im Prinzip nicht bestimmt werden kann, ist es nicht bedeutungsvoll, um von der Lampe zu sprechen, die entweder auf oder von ist.

Turing Supermaschinen

Der Einfluss von Superaufgaben auf der theoretischen Informatik hat etwas neue und interessante Arbeit ausgelöst (sieh Hamkins und Lewis — "Unendliche Zeit Turing Maschine").

Prominente Superaufgaben

Das Tagebuch von Tristram Shandy

Tristram Shandy, der Held eines Romans von Laurence Sterne, schreibt seine Autobiografie so gewissenhaft, dass sie ihm nimmt, hat sich ein Jahr dazu die Ereignisse eines Tages hingelegt. Wenn er sterblich ist, kann er nie enden; aber wenn er für immer dann leben würde, würde kein Teil seines Tagebuches ungeschrieben bleiben, weil zu jedem Tag seines Lebens ein der Beschreibung dieses Tages gewidmetes Jahr entsprechen würde.

Paradox von Ross-Littlewood

Nehmen Sie an, dass es ein Glas gibt, das dazu fähig ist, ungeheuer viele Marmore zu enthalten, und eine unendliche Sammlung von Marmoren 1, 2, 3, und so weiter etikettiert hat. In der Zeit t = 0 werden Marmore 1 bis 10 ins Glas gelegt, und Marmor-1 wird weggenommen. An t = 0.5 werden Marmore 11 bis 20 ins Glas gelegt, und Marmor-2 wird weggenommen; an t = 0.75 werden Marmore 21 bis 30 im Glas gestellt, und Marmor-3 wird weggenommen; und im Allgemeinen in der Zeit t = 1  0.5 werden Marmore 10n + 1 durch 10n + 10 ins Glas gelegt, und Marmor n + 1 wird weggenommen. Wie viele Marmore im Glas in der Zeit t = 1 sind?

Ein Argument stellt fest, dass es ungeheuer viele Marmore im Glas geben sollte, weil an jedem Schritt vorher t = 1 die Zahl von Marmorzunahmen vom vorherigen Schritt und so unbegrenzt tut. Ein zweites Argument zeigt jedoch, dass das Glas leer ist. Denken Sie das folgende Argument: Wenn das Glas nichtleer ist, dann muss es einen Marmor im Glas geben. Lassen Sie uns sagen, dass dieser Marmor mit der Nummer n etikettiert wird. Aber in der Zeit t = 1  0.5 ist der n-te Marmor weggenommen worden, so kann Marmor n nicht im Glas sein. Das ist ein Widerspruch, so muss das Glas leer sein. Das Paradox von Ross-Littlewood besteht darin, dass hier wir zwei anscheinend vollkommen gute Argumente mit völlig entgegengesetzten Beschlüssen haben.

Weitere Komplikationen werden durch die folgende Variante eingeführt. Nehmen Sie an, dass wir demselben Prozess wie oben folgen, aber anstatt Marmor-1 an t = 0 wegzunehmen, nimmt man Marmor-2 weg. Und an t = 0.5 nimmt man Marmor-3, an t = 0.75 Marmor-4 usw. weg. Dann kann man dieselbe Logik von oben verwenden, um zu zeigen, dass, während an t = 1 Marmor-1 noch im Glas ist, keine anderen Marmore im Glas verlassen werden können. Ähnlich kann man Drehbücher bauen, wo schließlich 2 Marmore, oder 17 oder, natürlich, ungeheuer viele verlassen werden. Aber wieder ist das paradox: Vorausgesetzt, dass in allen diesen Schwankungen dieselbe Zahl von Marmoren hinzugefügt oder an jedem Schritt des Weges weggenommen wird, wie kann sich das Endergebnis unterscheiden?

Einige Menschen entscheiden sich dafür, einfach die Kugel zu beißen und zu sagen, dass anscheinend das Endergebnis wirklich abhängt, welche Marmore in jedem Moment weggenommen werden. Jedoch besteht ein unmittelbares Problem mit dieser Ansicht darin, dass man an das Gedanke-Experiment als dasjenige denken kann, wo keiner der Marmore wirklich etikettiert wird, und so alle obengenannten Schwankungen einfach verschiedene Weisen sind, denselben Prozess zu beschreiben; es scheint unvernünftig zu sagen, dass das Endergebnis eines wirklichen Prozesses unterwegs abhängt, beschreiben wir, was geschieht.

Außerdem bieten Allis und Koetsier die folgende Schwankung auf diesem Gedanke-Experiment an: An t = 0 werden Marmore 1 bis 9 ins Glas gelegt, aber anstatt einen Marmor wegzunehmen, kritzeln sie 0 nach 1 auf dem Etikett des ersten Marmors, so dass es jetzt "10" etikettiert wird. An t = 0.5 werden Marmore 11 bis 19 ins Glas gelegt, und anstatt Marmor-2 wegzunehmen, 0 wird darüber geschrieben, es als 20 kennzeichnend. Der Prozess wird ad infinitum wiederholt. Bemerken Sie jetzt, dass das Endergebnis an jedem Schritt entlang dem Weg dieses Prozesses dasselbe als im ursprünglichen Experiment ist, und tatsächlich das Paradox bleibt: Seitdem an jedem Schritt entlang dem Weg, mehr Marmore wurden hinzugefügt, muss es ungeheuer Marmore geben, die am Ende noch zur gleichen Zeit verlassen sind, seitdem jeder Marmor mit der Nummer n an t = 1  0.5 weggenommen wurde, können keine Marmore am Ende verlassen werden. Jedoch, in diesem Experiment, werden keine Marmore jemals weggenommen, und so wird jedes Gespräch über das Endergebnis, das 'abhängt', auf dem Marmore entlang dem Weg weggenommen werden, unmöglich gemacht.

Eine bloß-nackte Schwankung, die wirklich gerade zum Herzen von all diesem geht, geht wie folgt: An t = 0 gibt es einen Marmor im Glas mit der darauf gekritzelten Nummer 0. An t = 0.5 wird die Nummer 0 auf dem Marmor durch die Nummer 1, an t = 0.75 ersetzt, die Zahl wird zu 2, usw. geändert. Jetzt werden keine Marmore jemals dazu hinzugefügt oder vom Glas, so an t = 1 entfernt, es sollte noch genau dass ein Marmor im Glas geben. Jedoch, da wir immer die Zahl auf diesem Marmor mit einer anderen Zahl ersetzt haben, sollte es eine Nummer n darauf haben, und das ist unmöglich, weil wir genau wissen, als diese Zahl ersetzt wurde, und sich nie wieder später wiederholt hat. Mit anderen Worten können wir auch schließen, dass kein Marmor am Ende dieses Prozesses verlassen werden kann, der ein echtes Paradox ist.

Natürlich würde es klug sein, die Wörter von Benacerraf zu beachten, dass die Staaten der Gläser vorher t = 1 den Staat an t = 1 nicht logisch bestimmen. So bedeutet das Argument oder Allis keines Ross und Koetsiers für den Staat des Glases an t = 1 Erlös durch den logischen nur. Deshalb muss eine Extraproposition eingeführt werden, um irgendetwas über den Staat des Glases an t = 1 zu sagen. Allis und Koetsier glauben, dass solch eine Extraproposition durch das physische Gesetz zur Verfügung gestellt werden kann, dass die Marmore dauernde Raum-Zeit-Pfade, und deshalb von der Tatsache haben, dass für jeden n Marmor n außer dem Glas für t ist

Die schöne Superaufgabe von Laraudogoitia

Diese Superaufgabe ist ein Beispiel von indeterminism in der Newtonischen Mechanik. Die Superaufgabe besteht aus einer unendlichen Sammlung von Punkt-Massen, von denen alle stationär sind und spontan selbsterregen werden (fangen an, sich aus keinem offenbaren Grund zu bewegen). Die Punkt-Massen sind die ganze MassenM und werden entlang einer Linie AB gelegt, der Meter in der Länge an Positionen B, AB / 2, AB / 4, AB / 8, und so weiter ist. Die erste Partikel an B wird zu einer Geschwindigkeit von einem Meter pro Sekunde zu A beschleunigt. Gemäß den Gesetzen der Newtonischen Mechanik, wenn die erste Partikel mit dem zweiten kollidiert, wird sie zum Rest kommen, und die zweite Partikel wird seine Geschwindigkeit von 1 m/s erben. Dieser Prozess wird als ein unendlicher Betrag von Kollisionen weitergehen, und nachdem 1 Sekunde alle Kollisionen fertig gewesen sein werden, seitdem sich alle Partikeln an 1 Meter pro Sekunde bewegten. Jedoch wird keine Partikel aus A erscheinen, da es keine letzte Partikel in der Folge gibt. Hieraus folgt dass alle Partikeln jetzt beruhigt sind, Bewahrung der Energie widersprechend. Jetzt sind die Gesetze der Newtonischen Mechanik time-reversal-invariant; d. h. wenn wir die Richtung der Zeit umkehren, werden alle Gesetze dasselbe bleiben. Wenn Zeit in dieser Superaufgabe umgekehrt wird, haben wir ein System von stationären Punkt-Massen vorwärts zu AB / 2, der aufs Geratewohl spontan anfangen wird, mit einander zu kollidieren, auf eine Partikel hinauslaufend, die von B an einer Geschwindigkeit von 1 m/s abrückt. Alper und Bridger haben das Denken in dieser Superaufgabe infrage gestellt, die die Unterscheidung zwischen der wirklichen und potenziellen Unendlichkeit anruft.

Die Supermaschine von Davies

Das ist eine Maschine, die, im Raum von einer halben Stunde, eine genaue Replik von sich schaffen kann, der Hälfte seiner Größe und fähig zu zweimal seiner Erwiderungsgeschwindigkeit ist. Diese Replik wird der Reihe nach eine noch schnellere Version von sich mit denselben Spezifizierungen schaffen, auf eine Superaufgabe hinauslaufend, die nach einer Stunde fertig ist. Wenn, zusätzlich, die Maschinen eine Nachrichtenverbindung zwischen der Elternteil- und Kindermaschine schaffen, die nacheinander schnellere Bandbreite nachgibt und die Maschinen auch zur einfachen Arithmetik fähig sind, kann die Superaufgabe verwendet werden, um Beweise der rohen Gewalt von unbekannten Vermutungen durchzuführen.

Siehe auch

• Maschine von Zeno
• NP (Kompliziertheit)
• Transfinite und Wirkliche Unendlichkeit
• Thomson, J., 1954-55, 'Aufgaben und Superaufgaben, Analyse, XV, Seiten 1-13.

Links

• Artikel über Superaufgaben in der Enzyklopädie von Stanford der Philosophie
• Martin C. Cooke, Unendliche Folgen: Finitist Folge, Brite. J. Phil. Sci. 54 (2003), Seiten 591-599.