In der Geometrie, dem incircle oder eingeschriebenen Kreis eines Dreiecks ist der größte im Dreieck enthaltene Kreis; es berührt sich (ist Tangente zu) die drei Seiten. Das Zentrum des incircle wird den incenter des Dreiecks genannt.

Ein Ex-Kreis oder escribed Kreis des Dreiecks sind ein Kreis, der außerhalb des Dreiecks, der Tangente zu einer seiner Seiten und der Tangente zu den Erweiterungen der anderen zwei liegt.

Jedes Dreieck hat drei verschiedene Ex-Kreise, jede Tangente zu einer der Seiten des Dreiecks.

Das Zentrum des incircle kann als die Kreuzung der drei inneren Winkelhalbierungslinien gefunden werden.

Das Zentrum eines Ex-Kreises ist die Kreuzung der inneren Halbierungslinie eines Winkels und der Außenhalbierungslinien der anderen zwei. Weil die innere Halbierungslinie eines Winkels auf seiner Außenhalbierungslinie rechtwinklig ist, hieraus folgt dass das Zentrum des incircle zusammen mit den drei Ex-Kreismittelpunkten ein orthocentric System bildet.

Siehe auch Tangente-Linien zu Kreisen.

Beziehung zum Gebiet des Dreiecks

Die Radien in - und Ex-Kreise sind nah mit dem Gebiet des Dreiecks verbunden. Lassen Sie K das Gebiet des Dreiecks sein und a, b und c zu lassen, die Längen seiner Seiten zu sein. Durch die Formel des Reihers ist das Gebiet des Dreiecks

:

\begin {richten }\aus

K & {} = \frac {1} {4 }\\sqrt {(P) (a-b+c) (b-c+a) (c-a+b)} \\

& {} = \sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c) }\

\end {richten }\aus

</Mathematik>

wo der Halbumfang ist und P = 2s der Umfang ist.

Der Radius des incircle (auch bekannt als der inradius, r) ist

:

So kann Gebiet K eines Dreiecks durch das Multiplizieren des inradius durch den Halbumfang gefunden werden:

:

Die Radien in den Ex-Kreisen werden die Ex-Radien genannt. Der Ex-Kreis an der Seite hat Radius

:

Ähnlich sind die Radien der Ex-Kreise an Seiten b und c beziehungsweise

:und:

Von diesen Formeln kann man sehen, dass die Ex-Kreise immer größer sind als der incircle, und dass der größte Ex-Kreis eine Tangente zur längsten Seite ist und der kleinste Ex-Kreis Tangente zur kürzesten Seite ist. Weiter gibt das Kombinieren dieser Formeln mit der Bereichsformel des Reihers das Ergebnis das nach

:

Das Verhältnis des Gebiets des incircle zum Gebiet des Dreiecks ist weniger als oder gleich mit der Gleichheit, die nur für gleichseitige Dreiecke hält.

Neun-Punkte-Kreis und Punkt von Feuerbach

Die Kreistangente zu allen drei der Ex-Kreise sowie des incircle ist als der Neun-Punkte-Kreis bekannt. Der Punkt, wo der Neun-Punkte-Kreis den incircle berührt, ist als der Punkt von Feuerbach bekannt.

Dreieck von Gergonne und Punkt

Das Gergonne Dreieck des Abc wird durch die Scheitelpunkte T, T und T angezeigt, die die drei Punkte sind, wo der incircle das Bezugsdreieck-Abc berührt, und wo T Gegenteil von A usw. ist. Dieses Dreieck TTT ist auch bekannt als das Kontakt-Dreieck oder intouch Dreieck des Abc. Der incircle des Abc ist der circumcircle von TTT. Die drei Linien AN, BT und CT schneiden sich in einem einzelnen Punkt, Gergonne des Dreiecks spitzen Ge - X (7) an. Interessanterweise ist der Punkt von Gergonne eines Dreiecks der symmedian Punkt seines Dreiecks von Gergonne. Weil ein voller Satz von Eigenschaften des Punkts von Gergonne sieht.

Die touchpoints der drei Ex-Kreise mit Segmenten v. Chr., CA und AB sind die Scheitelpunkte des Ex-Berührungsdreiecks. Die Punkte der Kreuzung der Innenwinkelhalbierungslinien des Abc mit den Segmenten v. Chr., CA, sind AB die Scheitelpunkte des incentral Dreiecks.

Dreieck von Nagel und Punkt

Das Dreieck von Nagel des Abc wird durch die Scheitelpunkte X, X und X angezeigt, die die drei Punkte sind, wo die Ex-Kreise das Bezugsdreieck-Abc berühren, und wo X Gegenteil von A usw. ist. Dieses Dreieck XXX ist auch bekannt als das Ex-Berührungsdreieck des Abc. Der circumcircle des Ex-Berührungsdreiecks XXX wird den Kreis von Mandart genannt. Die drei Linien-AXT, BX und CX schneiden sich in einem einzelnen Punkt, der Punkt von Nagel des Dreiecks Na - X (8).

Koordinaten von Trilinear für die Scheitelpunkte des intouch Dreiecks werden durch gegeben

Koordinaten von Trilinear für die Scheitelpunkte des Ex-Berührungsdreiecks werden durch gegeben

Koordinaten von Trilinear für die Scheitelpunkte des incentral Dreiecks werden durch gegeben

Koordinaten von Trilinear für die Scheitelpunkte des Ex-Hauptdreiecks werden durch gegeben

Koordinaten von Trilinear für den Punkt von Gergonne werden durch gegeben

:

oder, gleichwertig, nach dem Gesetz von Sinus,

:.

Koordinaten von Trilinear für den Punkt von Nagel werden durch gegeben

:oder, gleichwertig, nach dem Gesetz von Sinus,:.

Es ist der des Punkts von Gergonne verbundene isotomic.

Koordinaten des incenter

Die Kartesianischen Koordinaten des incenter sind ein gewogener Mittelwert der Koordinaten der drei Scheitelpunkte mit den Seitenlängen des Dreiecks als Gewichte. (Die Gewichte sind positiv, so liegt der incenter innerhalb des Dreiecks wie oben angegeben.), Wenn die drei Scheitelpunkte an, und, und die Seiten gegenüber diesen Scheitelpunkten gelegen werden, haben entsprechende Längen, und, dann ist der incenter an

:

wo

Koordinaten von Trilinear für den incenter werden durch gegeben

:

Koordinaten von Barycentric für den incenter werden durch gegeben

:

Gleichungen für vier Kreise

Lässt x: y: z, ein variabler Punkt in Trilinear-Koordinaten sein, und u = weil (A/2), v = weil (B/2), w = weil (C/2) zu lassen. Die vier Kreise, die oben beschrieben sind, werden durch diese Gleichungen gegeben:

:* Incircle:

::

:* A-Ex-Kreis:

::

:* B-Ex-Kreis:

::

:* C-Ex-Kreis:

::

Andere incircle Eigenschaften

Nehmen Sie an, dass die tangency Punkte des incircle die Seiten in Längen von x und y, y und z, und z und x teilen. Dann hat der incircle den Radius

:

und das Gebiet des Dreiecks ist

:

Wenn die Höhen von Seiten von Längen a, b, und c h, h, und h dann sind, ist der inradius r ein Drittel der Harmonischen, die dieser Höhen bösartig ist, d. h.

:

Die Entfernung d zwischen dem circumcenter und dem incenter wird durch gegeben

:

wo r der incircle Radius ist und R der circumcircle Radius ist. So ist der incircle Radius nicht größer als Hälfte des circumcircle Radius (die Dreieck-Ungleichheit von Euler).

Das Produkt des incircle Radius und des circumcircle Radius eines Dreiecks mit Seiten a, b, und c ist

Jede Linie durch ein Dreieck, das sowohl das Gebiet des Dreiecks als auch seinen Umfang entzwei spaltet, geht den incenter des Dreiecks (das Zentrum seines incircle) durch. Es gibt entweder ein, zwei, oder drei von diesen für jedes gegebene Dreieck.

Andere Ex-Kreiseigenschaften

Die Entfernung d zwischen dem circumcenter und dem Zentrum eines Ex-Kreises wird durch gegeben

:

wo R der circumradius ist und r der Radius des Ex-Kreises ist.

Der kreisförmige Rumpf der Ex-Kreise ist innerlich Tangente zu jedem der Ex-Kreise, und ist so ein Kreis von Apollonius.

Incircle in einem Vierseit

Einige (aber nicht alle) Vierseite haben einen incircle. Diese werden tangentiale Vierseite genannt. Unter ihren vielen Eigenschaften vielleicht ist das wichtigste, dass ihre Gegenseiten gleiche Summen haben. Das wird den Lehrsatz von Pitot genannt.

Siehe auch

• Höhe (Dreieck)
• Umschriebener Kreis
• Ex-tangentiales Vierseit
• Eingeschriebener Bereich
• Macht eines Punkts
• Steiner inellipse
• Tangentiales Vierseit
• Dreieck-Zentrum
• Clark Kimberling, "Dreieck-Zentren und Hauptdreiecke," Congressus Numerantium 129 (1998) i-xxv und 1-295.
• Sándor Kuss, "Der Orthic-of-Intouch und die Intouch-of-Orthic Dreiecke," Forum Geometricorum 6 (2006) 171-177.

Links

• Abstammung der Formel für den Radius von incircle eines Dreiecks

Interaktiv

• Dreieck incenter Dreieck incircle Incircle eines regelmäßigen Vielecks Mit interaktiven Zeichentrickfilmen
• Das Konstruieren eines incenter eines Dreiecks / incircle mit dem Kompass und Haarlineal Eine interaktive belebte Demonstration
• Gleicher Incircles Lehrsatz an der Knoten-Kürzung
• Fünf Incircles Lehrsatz an der Knoten-Kürzung
• Paare von Incircles in einem Vierseit an der Knoten-Kürzung
• Ein interaktives Java applet für den incenter