Ein rechtwinkliges Dreieck (Amerikanisches Englisch) oder rechtwinkliges Dreieck (britisches Englisch) ist ein Dreieck, in dem-Winkel ein richtiger Winkel (d. h. ein 90-Grade-Winkel) ist. Die Beziehung zwischen den Seiten und Winkeln eines rechtwinkligen Dreieckes ist die Basis für die Trigonometrie.

Fachsprache

Die Seite gegenüber dem richtigen Winkel wird die Hypotenuse (Seite c in der Zahl oben) genannt. Die Seiten neben dem richtigen Winkel werden Beine genannt (oder catheti, einzigartig:). Ergreifen Sie Partei ein Können, als die Seite neben dem Winkel B und entgegengesetzt (oder gegenüber) identifiziert werden, biegt A um, während Seite b die Seite neben dem Winkel A und entgegengesetzt ist, um B umzubiegen.

Wenn die Längen aller drei Seiten eines rechtwinkligen Dreieckes ganze Zahlen sind, wie man sagt, ist das Dreieck ein Pythagoreisches Dreieck, und seine Seitenlängen sind als ein dreifacher Pythagoreer insgesamt bekannt.

Haupteigenschaften

Gebiet

Als mit jedem Dreieck ist das Gebiet einer Hälfte der mit der entsprechenden Höhe multiplizierten Basis gleich. In einem rechtwinkligen Dreieck, wenn ein Bein als die Basis dann der andere genommen wird, ist Höhe, so ist das Gebiet eines rechtwinkligen Dreieckes eine Hälfte des Produktes der zwei Beine. Als eine Formel ist Gebiet T

:

wo a und b die Beine des Dreiecks sind.

Wenn der incircle Tangente zur Hypotenuse AB am Punkt P ist, dann den Halbumfang als s anzeigend, haben wir und, und das Gebiet wird durch gegeben

:

Diese Formel gilt nur für rechtwinklige Dreiecke.

Höhe

Wenn eine Höhe vom Scheitelpunkt mit dem richtigen Winkel zur Hypotenuse dann gezogen wird, wird das Dreieck in zwei kleinere Dreiecke geteilt, die dem Original sowohl ähnlich als auch deshalb einander ähnlich sind. Davon:

• Die Höhe ist das geometrische Mittel (haben Sie proportional vor) der zwei Segmente der Hypotenuse.
• Jedes Bein des Dreiecks ist die Mittelproportionale von der Hypotenuse und das Segment der Hypotenuse, die neben dem Bein ist.

In Gleichungen,

: (das ist manchmal als der Höhe-Lehrsatz des rechtwinkligen Dreieckes bekannt)

::

wo a, b, c, d, e, f als im Diagramm gezeigt werden. So

:

Außerdem ist die Höhe zur Hypotenuse mit den Beinen des rechtwinkligen Dreieckes durch verbunden

:

Pythagoreischer Lehrsatz

Der Pythagoreische Lehrsatz stellt dass fest:

Das kann in der Gleichungsform als festgesetzt werden

:

wo c die Länge der Hypotenuse ist, und a und b die Längen der restlichen zwei Seiten sind.

Inradius und circumradius

Der Radius des incircle eines rechtwinkligen Dreieckes mit Beinen a und b und Hypotenuse c ist

:

Der Radius des circumcircle ist Hälfte der Länge der Hypotenuse,

:

Charakterisierungen

Ein Dreieck-Abc mit Seiten

Seiten und Halbumfang

Winkel

• A und B sind ergänzend.

Gebiet

• wo P der tangency Punkt des incircle an der längsten Seite AB ist.

Inradius und Ex-Radien

Höhe und Mittellinien

• Die Länge einer Mittellinie ist dem circumradius gleich.
• Die kürzeste Höhe ist das geometrische Mittel der Liniensegmente, in die es die entgegengesetzte (längste) Seite teilt.

Circumcircle und incircle

• Das Dreieck kann in einem Halbkreis mit einer Seite eingeschrieben werden, die mit der Gesamtheit des Diameters (der Lehrsatz von Thales) zusammenfällt.
• Der circumcenter ist der Mittelpunkt der längsten Seite.
• Die längste Seite ist ein Diameter des circumcircle
• Der circumcircle ist Tangente zum Neun-Punkte-Kreis.
• Der orthocenter liegt auf dem circumcircle.
• Die Entfernung zwischen dem incenter und dem orthocenter ist dem gleich.

Trigonometrische Verhältnisse

Die trigonometrischen Funktionen für akute Winkel können als Verhältnisse der Seiten eines rechtwinkligen Dreieckes definiert werden. Für einen gegebenen Winkel kann ein rechtwinkliges Dreieck mit diesem Winkel und den Seiten etikettiert gegenüber, angrenzend und Hypotenuse bezüglich dieses Winkels gemäß den Definitionen oben gebaut werden. Diese Verhältnisse der Seiten hängen vom besonderen rechtwinkligen Dreieck gewählt, aber nur auf dem gegebenen Winkel nicht ab, seitdem alle Dreiecke diesen Weg gebaut haben, sind ähnlich. Wenn für einen gegebenen Winkel α, die Gegenseite, angrenzende Seite und Hypotenuse O, A und H beziehungsweise etikettiert werden, dann sind die trigonometrischen Funktionen

:

Spezielle rechtwinklige Dreiecke

Die Werte der trigonometrischen Funktionen können genau für bestimmte Winkel mit rechtwinkligen Dreiecken mit speziellen Winkeln bewertet werden. Diese schließen das 30-60-90 Dreieck ein, das verwendet werden kann, um die trigonometrischen Funktionen für jedes Vielfache von π/6 und das 45-45-90 Dreieck zu bewerten, das verwendet werden kann, um die trigonometrischen Funktionen für jedes Vielfache von π/4 zu bewerten.

Der Lehrsatz von Thales

Der Lehrsatz von Thales stellt fest, dass, wenn A ein Punkt des Kreises mit dem Diameter v. Chr. ist (außer B oder C selbst) Abc ein rechtwinkliges Dreieck ist, wo A der richtige Winkel ist. Die gegenteiligen Staaten, dass, wenn ein rechtwinkliges Dreieck in einem Kreis dann eingeschrieben wird, die Hypotenuse ein Diameter des Kreises sein wird. Eine Folgeerscheinung ist, dass die Länge der Hypotenuse zweimal die Entfernung vom richtigen Winkelscheitelpunkt bis den Mittelpunkt der Hypotenuse ist. Außerdem ist das Zentrum des Kreises, der ein rechtwinkliges Dreieck umschreibt, der Mittelpunkt der Hypotenuse, und sein Radius ist eine Hälfte der Länge der Hypotenuse.

Mittellinien

Die folgenden Formeln halten für die Mittellinien eines rechtwinkligen Dreieckes:

:

Die Mittellinie auf der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreieckes teilt das Dreieck in zwei gleichschenklige Dreiecke, weil die Mittellinie einer Hälfte der Hypotenuse gleichkommt.

Beziehung zu verschiedenen Mitteln und dem goldenen Verhältnis

Lassen Sie H, G, und A die Harmonische bösartig, das geometrische Mittel und die Arithmetik sein, die von zwei positiven Zahlen a und b mit a> b bösartig ist. Wenn ein rechtwinkliges Dreieck Beine H und G und Hypotenuse A, dann hat

:und:

wo das goldene Verhältnis ist

Andere Eigenschaften

Wenn Segmente von Längen p und q, der vom Scheitelpunkt C ausgeht, die Hypotenuse in Segmente der Länge c/3, dann dreimal teilen

:

Das rechtwinklige Dreieck ist das einzige Dreieck, das zwei, aber nicht drei, verschiedene eingeschriebene Quadrate hat.

Lassen Sie h und s (h> s), die Seiten der zwei eingeschriebenen Quadrate in einem rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse c sein. Dann

:

Der Umfang eines rechtwinkligen Dreieckes kommt der Summe der Radien des incircle und der drei Ex-Kreise gleich.

Links

• Rechenmaschine für rechtwinklige Dreiecke