In der Mathematik ist die Harmonische bösartig (hat manchmal das Subgegenteil bösartig genannt), eine von mehreren Arten des Durchschnitts. Gewöhnlich ist es für Situationen passend, wenn der Durchschnitt von Raten gewünscht wird.

Der harmonische bösartige H der positiven reellen Zahlen x, x..., x> 0 wird definiert, um zu sein

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Von der dritten Formel in der obengenannten Gleichung ist es mehr offenbar, dass die bösartige Harmonische mit der Arithmetik bösartig und geometrisches Mittel verbunden ist.

Gleichwertig ist die bösartige Harmonische das Gegenstück der der Gegenstücke bösartigen Arithmetik. Als ein einfaches Beispiel ist die Harmonische, die 1, 2, und 4 bösartig

ist

Beziehung mit anderen Mitteln

Die bösartige Harmonische ist eines der drei Pythagoreischen Mittel. Für alle positiven Dateien, die mindestens ein Paar von nichtgleichen Werten enthalten, ist die bösartige Harmonische immer meist der drei Mittel, während die bösartige Arithmetik immer von den drei am größten ist und das geometrische Mittel immer zwischen ist. (Wenn alle Werte in einem nichtleeren dataset gleich sind, sind die drei Mittel immer einander gleich; z.B sind die harmonischen, geometrischen und arithmetischen Mittel {2, 2, 2} alle 2.)

Es ist der spezielle Fall M der bösartigen Macht.

Da die einer Liste von Zahlen bösartige Harmonische stark zu kleinsten Elementen der Liste neigt, neigt sie (im Vergleich zur Arithmetik bösartig) dazu, den Einfluss von großem outliers zu lindern und den Einfluss von kleinen zu erschweren.

Die bösartige Arithmetik wird häufig in Plätzen irrtümlicherweise verwendet, die nach der bösartigen Harmonischen verlangen. Im Geschwindigkeitsbeispiel unter zum Beispiel der Arithmetik bösartig 50 ist falsch, und zu groß.

Die bösartige Harmonische ist mit den anderen Pythagoreischen Mitteln, wie gesehen, in der dritten Formel in der obengenannten Gleichung verbunden. Das wird bemerkt, wenn wir den Nenner interpretieren, um die Arithmetik zu sein, die des Produktes von Zahlen n Zeiten bösartig ist, aber jedes Mal lassen wir den Jth-Begriff weg. D. h. für den ersten Begriff multiplizieren wir alle n Zahlen, aber lassen das erste für das zweite weg wir multiplizieren alle n Zahlen, aber lassen das zweite und so weiter weg. Der Zähler, des n ausschließend, der mit der bösartigen Arithmetik geht, ist das geometrische Mittel zur Macht n. So ist die n-te bösartige Harmonische mit den n-ten geometrischen und arithmetischen Mitteln verbunden.

Wenn eine Reihe nichtidentischer Zahlen einer Mittel-Bewahrausbreitung unterworfen wird — d. h. werden zwei oder mehr Elemente des Satzes einzeln" von einander "ausgebreitet, während man die Arithmetik bösartig unverändert — dann verlässt, die Harmonische bösartig nimmt immer ab.

Für eine Reihe echter Variablen ist es gezeigt worden, dass - H  s / (2 M), wo A die bösartige Arithmetik ist, H die bösartige Harmonische ist, ist M das Maximum des Satzes, und s ist die Abweichung des Satzes.

Belastete bösartige Harmonische

Wenn eine Reihe von Gewichten... zum dataset vereinigt wird..., wird die belastete bösartige Harmonische durch definiert

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Die bösartige wie definierte Harmonische ist der spezielle Fall, wo alle Gewichte 1 gleich sind, und zu jeder belasteten bösartigen Harmonischen gleichwertig ist, wo alle Gewichte gleicher sind

Beispiele

In der Physik

In bestimmten Situationen, besonders viele Situationen, die Raten und Verhältnisse einschließen, stellt die bösartige Harmonische den wahrsten Durchschnitt zur Verfügung. Zum Beispiel, wenn ein Fahrzeug eine bestimmte Entfernung mit einer Geschwindigkeit x (z.B 60 Kilometer pro Stunde) und dann dieselbe Entfernung wieder mit einer Geschwindigkeit y reist (z.B 40 Kilometer pro Stunde), dann ist seine durchschnittliche Geschwindigkeit die Harmonische, die von x und y (48 Kilometer pro Stunde) bösartig ist, und seine Gesamtfahrzeit ist dasselbe, als ob es die ganze Entfernung mit dieser durchschnittlichen Geschwindigkeit gereist war. Jedoch, wenn das Fahrzeugreisen für eine bestimmte Zeitdauer mit einer Geschwindigkeit x und dann dieselbe Zeitdauer mit einer Geschwindigkeit y, dann ist seine durchschnittliche Geschwindigkeit die Arithmetik, die von x und y bösartig ist, der im obengenannten Beispiel 50 Kilometer pro Stunde ist. Derselbe Grundsatz gilt für mehr als zwei Segmente: in Anbetracht einer Reihe von Subreisen mit verschiedenen Geschwindigkeiten, wenn jede Subreise dieselbe Entfernung bedeckt, dann ist die durchschnittliche Geschwindigkeit die Harmonische, die aller Subreisegeschwindigkeiten bösartig ist, und wenn jede Subreise dieselbe Zeitdauer nimmt, dann ist die durchschnittliche Geschwindigkeit die aller Subreisegeschwindigkeiten bösartige Arithmetik. (Wenn keiner der Fall ist, dann ist eine belastete harmonische bösartige oder beschwerte bösartige Arithmetik erforderlich.)

Ähnlich, wenn man zwei elektrische Widerstände in der Parallele, ein habender Widerstand x (z.B 60Ω) und ein habender Widerstand y verbindet (z.B 40Ω), dann ist die Wirkung dasselbe, als ob man zwei Widerstände mit demselben Widerstand verwendet hatte, der sowohl der Harmonischen gleich ist, die von x als auch y (48Ω) bösartig ist: Der gleichwertige Widerstand ist in jedem Fall 24Ω (eine Hälfte der Harmonischen bösartig). Jedoch, wenn man die Widerstände der Reihe nach verbindet, dann ist der durchschnittliche Widerstand die Arithmetik, die von x und y (mit dem Gesamtwiderstand bösartig ist, der der Summe von x und y gleich ist). Und, als mit dem vorherigen Beispiel, gilt derselbe Grundsatz, wenn mehr als zwei Widerstände verbunden werden, vorausgesetzt, dass alle in der Parallele sind oder alle der Reihe nach sind.

In anderen Wissenschaften

In der Informatik, spezifisch Informationsgewinnung und das Maschinenlernen, wird die Harmonische, die der Präzision und des Rückrufs bösartig ist, häufig als eine angesammelte Leistungskerbe für die Einschätzung von Algorithmen und Systemen verwendet: die F-Kerbe (oder F-Maß).

Eine interessante Folge entsteht aus der grundlegenden Algebra in Problemen des Zusammenarbeitens. Als ein Beispiel, wenn eine gasangetriebene Pumpe eine Lache in 4 Stunden und einer batterieangetriebenen Pumpe dränieren kann, kann dieselbe Lache in 6 Stunden dränieren, dann wird man beide Pumpen brauchen (6 · 4) / (6 + 4), der 2.4 Stunden gleich ist, um die Lache zusammen zu dränieren. Interessanterweise ist das eine Hälfte der Harmonischen, die 6 und 4 bösartig ist.

In der Hydrologie wird die bösartige Harmonische verwendet, um hydraulische Leitvermögen-Werte für den Fluss im Durchschnitt zu betragen, der auf Schichten rechtwinklig ist (z.B geologisch oder Boden), während die Fluss-Parallele zu Schichten die bösartige Arithmetik verwendet. Dieser offenbare Unterschied in der Mittelwertbildung wird durch die Tatsache erklärt, dass Hydrologie Leitvermögen verwendet, das das Gegenteil des spezifischen Widerstands ist.

In sabermetrics ist die mit der Machtgangzahl eines Spielers die Harmonische, die seines Hauslaufs und gestohlener Grundsummen bösartig ist.

In der Bevölkerungsgenetik wird die bösartige Harmonische verwendet, wenn man die Effekten von Schwankungen in der Generationsgröße auf der wirksamen Zuchtbevölkerung berechnet. Das soll die Tatsache in Betracht ziehen, dass eine sehr kleine Generation effektiv einem Engpass ähnlich ist und meint, dass eine sehr kleine Anzahl von Personen unverhältnismäßig zur Genlache beiträgt, die auf höhere Niveaus der Inzucht hinauslaufen kann.

Wenn

man Kraftstoffwirtschaft in Automobilen denkt, werden zwei Maßnahmen - Meilen pro Gallone (mpg) und Liter pro 100 km allgemein verwendet. Da die Dimensionen dieser Mengen das Gegenteil von einander sind (man ist Entfernung pro Volumen, das andere Volumen pro Entfernung), wenn man den Mittelwert der Kraftstoffwirtschaft einer Reihe von Autos nimmt ein Maß wird die Harmonische erzeugen, die vom anderen bösartig ist - d. h. das Umwandeln des Mittelwerts der Kraftstoffwirtschaft, die in Litern pro 100 km zu Meilen pro Gallone ausgedrückt ist, wird die Harmonische erzeugen, die der in Meilen pro Gallone ausgedrückten Kraftstoffwirtschaft bösartig ist.

In der Finanz

Die bösartige Harmonische ist die vorzuziehende Methode, um Vielfachen wie das Verhältnis des Preises/Verdienens im Durchschnitt zu betragen, in dem Preis im Zähler ist. Wenn diese Verhältnisse mit einer bösartigen Arithmetik durchschnittlich sind (ein allgemeiner Fehler), werden hohe Datenpunkte größere Gewichte gegeben als niedrige Datenpunkte. Die Harmonische bösartig gibt andererseits gleiches Gewicht jedem Datenpunkt.

In der Geometrie

In jedem Dreieck ist der Radius des incircle ein Drittel die der Höhen bösartige Harmonische.

Für jeden Punkt P auf dem geringen Kreisbogen v. Chr. des circumcircle eines gleichseitigen Dreieck-Abc, mit Entfernungen q und t von B und C beziehungsweise, und mit der Kreuzung des PAPAS und v. Chr. in einer Entfernung y vom Punkt P seiend, haben wir das y ist Hälfte der Harmonischen, die von q und t bösartig ist.

In einem rechtwinkligen Dreieck mit Beinen a und b und Höhe h von der Hypotenuse bis den richtigen Winkel ist h Hälfte der Harmonischen, die von a und b bösartig ist.

Lassen Sie t und s (t> s), die Seiten der zwei eingeschriebenen Quadrate in einem rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse c sein. Dann kommt s Hälfte der Harmonischen gleich, die von c und t bösartig ist.

Lassen Sie ein Trapezoid Scheitelpunkte A, B, C, und D in der Folge haben und parallele Seiten AB und CD haben. Lassen Sie E die Kreuzung der Diagonalen sein, und F auf der Seite DA und G sein zu lassen, auf der v. Chr. solcher Seite sein, dass FEG zu AB und CD parallel ist. Dann ist FG die Harmonische, die von AB und Gleichstrom bösartig ist. (Das ist nachweisbare verwendende ähnliche Dreiecke.)

Im durchquerten Leiter-Problem liegen zwei Leitern entgegengesetzt über eine Allee, jeden mit Füßen an der Basis einer Flanke, mit einer, sich gegen eine Wand an der Höhe A und der andere lehnend, sich gegen die entgegengesetzte Wand an der Höhe B, wie gezeigt, lehnend. Die Leitern treffen sich an einer Höhe von h über dem Allee-Fußboden. Dann ist h Hälfte der Harmonischen, die von A und B bösartig ist. Dieses Ergebnis hält noch, ob die Wände abgeschrägt sind, aber noch anpassen und die "Höhen" A, B, und h als Entfernungen vom Fußboden entlang der Linienparallele zu den Wänden gemessen werden.

In einer Ellipse ist der semi-latus Mastdarm (die Entfernung von einem Fokus bis die Ellipse entlang einer Linienparallele zur geringen Achse) die Harmonische, die der maximalen und minimalen Entfernungen der Ellipse von einem Fokus bösartig ist.

In der Trigonometrie

Im Fall von der Tangente-Identität des doppelten Winkels, wenn die Tangente eines Winkels A als a/b gegeben wird, dann ist die Tangente 2A das Produkt (1) die Harmonische, die des Zählers und Nenners der Lohe A und (2) das Gegenstück (der Nenner minus der Zähler der Lohe A) bösartig ist.

Im Allgemeinen kann die Formel des doppelten Winkels als geschrieben werden

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wenn und und reelle Zahlen sind.

Zum Beispiel, wenn

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dann ist die vertrauteste Form der Formel des doppelten Winkels

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aber das kann auch als geschrieben werden

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Harmonisch bösartig von zwei Zahlen

Für den speziellen Fall von gerade zwei Zahlen und kann die bösartige Harmonische geschrieben werden

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In diesem speziellen Fall ist die bösartige Harmonische mit bösartigem der Arithmetik verbunden

und das geometrische Mittel durch

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Also, die Bedeutung des geometrischen Mittels der zwei Zahlen kommt dem geometrischen Mittel ihrer Arithmetik und harmonischer Mittel gleich.

Wie bemerkt, über dieser Beziehung zwischen den drei Pythagoreischen Mitteln wird auf n nicht beschränkt ist 1 oder 2 gleich; es gibt eine Beziehung für den ganzen n. Jedoch sollte es bemerkt werden, dass für n gleich ist, das 1 ganze Mittel sind gleich, und für n ist 2 gleich wir haben die obengenannte Beziehung zwischen den Mitteln. Für willkürlichen n2 können wir diese Formel, wie bemerkt, oben verallgemeinern, indem wir die dritte Gleichung für die Harmonische bösartig verschieden interpretieren. Die verallgemeinerte Beziehung wurde bereits oben erklärt. Wenn man sorgfältig die dritte Gleichung beobachtet, wird man bemerken, dass sie auch für n=1 arbeitet. D. h. es sagt die Gleichwertigkeit zwischen der Harmonischen und den geometrischen Mitteln voraus, aber es bleibt zurück, indem es die Gleichwertigkeit zwischen den harmonischen und arithmetischen Mitteln nicht vorausgesagt wird.

Die allgemeine Formel, die aus der dritten Formel für die durch die Umdeutung bösartige Harmonische, wie erklärt, in der Beziehung mit anderen Mitteln abgeleitet werden kann, ist

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Bemerken Sie das, weil wir haben

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wo wir die Tatsache verwendet haben, dass die bösartige Arithmetik zu derselben der Ordnung der Begriffe unabhängigen Zahl bewertet. Diese Gleichung kann auf die ursprüngliche Gleichung reduziert werden, wenn wir dieses Ergebnis in Bezug auf die Maschinenbediener selbst wiederinterpretieren. Wenn wir das tun, bekommen wir die symbolische Gleichung

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weil jede Funktion an bewertet wurde

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Statistik

Für eine zufällige Probe wird die bösartige Harmonische als oben berechnet. Es sollte bemerkt werden, dass das bedeutet, kann unendlich sein (wenn es mindestens einen Begriff der Form 1/0 einschließt). Die Abweichung kann schwierig sein zu bestimmen, weil es auch unendlich sein kann.

Wenn sie

annimmt, dass die Abweichung ziemlich begrenzt ist, und dass der Hauptgrenzwertsatz für die Probe dann mit der Delta-Methode gilt, ist die Abweichung der Probe

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wo M der arthmetic ist, der der Gegenstücke bösartig

ist:

s ist die Abweichung der Gegenstücke der Daten

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und n ist die Zahl von Datenpunkten in der Probe.

Siehe auch

• Verallgemeinerter bösartiger
• Harmonische Zahl
• Rate (Mathematik)
• Belasteter bösartiger

Links

• Durchschnitte, Arithmetik und Harmonische Mittel an der Knoten-Kürzung