In der Mathematik ist eine binäre Funktion oder Funktion von zwei Variablen, eine Funktion, die zwei Eingänge nimmt.

Genau festgesetzt ist eine Funktion binär, wenn dort solche Sätze dass besteht

wo das Kartesianische Produkt und der ist

Alternative Definitionen

Gesetzt theoretisch kann man eine binäre Funktion als eine Teilmenge des Kartesianischen Produktes X × Y × Z vertreten, wo (x, y, z) der Teilmenge wenn und nur wenn f (x, y) = z gehört.

Umgekehrt definiert eine Teilmenge R eine binäre Funktion, wenn, und nur wenn, für jeden x in X und y in Y, dort ein einzigartiger z in solchem Z besteht, der (x, y, z) R gehört.

Wir definieren dann f (x, y), um dieser z zu sein.

Wechselweise kann eine binäre Funktion als einfach eine Funktion von X × Y zu Z interpretiert werden.

Selbst wenn gedacht dieser Weg, jedoch, man allgemein f (x, y) statt f ((x, y)) schreibt.

(D. h. dasselbe Paar von Parenthesen wird verwendet, um sowohl Funktionsanwendung als auch die Bildung eines befohlenen Paares anzuzeigen.)

Beispiel - Abteilung

Von der Abteilung von ganzen Zahlen kann als eine Funktion gedacht werden; wenn Z der Satz von ganzen Zahlen ist, ist N der Satz von natürlichen Zahlen (abgesehen von der Null), und Q ist der Satz von rationalen Zahlen, dann ist Abteilung eine binäre Funktion von Z und N zu Q.

Beschränkungen zu gewöhnlichen Funktionen

Der Reihe nach kann man auch gewöhnliche Funktionen einer Variable von einer binären Funktion ableiten.

In Anbetracht jedes Elements x X gibt es eine Funktion f oder f (x, ·), von Y bis Z, der durch f (y) gegeben ist: = f (x, y).

Ähnlich in Anbetracht jedes Elements y Y gibt es eine Funktion f oder f (· y), von X bis Z, der durch f (x) gegeben ist: = f (x, y). (In der Informatik wird diese Identifizierung zwischen einer Funktion von X × Y zu Z und einer Funktion von X bis Z genannt Mit Currysoße zubereitend.)

NB: Z ist der Satz aller Funktionen von Y bis Z

Verallgemeinerungen

Die verschiedenen Konzepte in Zusammenhang mit Funktionen können auch zu binären Funktionen verallgemeinert werden.

Zum Beispiel ist das Abteilungsbeispiel oben surjective (oder auf), weil jede rationale Zahl als ein Quotient einer ganzen Zahl und einer natürlichen Zahl ausgedrückt werden kann.

Dieses Beispiel ist injective in jedem Eingang getrennt, weil die Funktionen f und f immer injective sind.

Jedoch ist es nicht injective in beiden Variablen gleichzeitig, weil (zum Beispiel) f (2,4) = f (1,2).

Man kann auch teilweise binäre Funktionen denken, die nur für bestimmte Werte der Eingänge definiert werden können.

Zum Beispiel, das Abteilungsbeispiel über dem Mai, auch als eine teilweise binäre Funktion von Z und N zu Q interpretiert werden, wo N der Satz aller natürlichen Zahlen einschließlich der Null ist.

Aber diese Funktion ist unbestimmt, wenn der zweite Eingang Null ist.

Eine binäre Operation ist eine binäre Funktion, wo die Sätze X, Y, und Z alle gleich sind; binäre Operationen werden häufig verwendet, um algebraische Strukturen zu definieren.

In der geradlinigen Algebra ist eine bilineare Transformation eine binäre Funktion, wo die Sätze X, Y, und Z alle Vektorräume und die abgeleiteten Funktionen f sind und f alle geradlinigen Transformationen sind.

Eine bilineare Transformation, wie jede binäre Funktion, kann als eine Funktion von X × Y zu Z interpretiert werden, aber diese Funktion wird im Allgemeinen nicht geradlinig sein.

Jedoch kann die bilineare Transformation auch als eine einzelne geradlinige Transformation vom Tensor-Produkt bis Z interpretiert werden.

Verallgemeinerungen zu dreifältigen und anderen Funktionen

Das Konzept der binären Funktion verallgemeinert zum dreifältigen (oder 3-ary) Funktion, Vierergruppe (oder 4-ary) Funktion, oder mehr allgemein zur n-stufigen Funktion für jede natürliche Zahl n.

Eine 0-ary Funktion zu Z wird einfach durch ein Element von Z gegeben.

Man kann auch eine A-Ary-Funktion definieren, wo A jeder Satz ist; es gibt Derjenige-Eingang für jedes Element von A.

Kategorie-Theorie

In der Kategorie-Theorie verallgemeinern n-stufige Funktionen zu n-stufigem morphisms in einer Mehrkategorie.

Die Interpretation eines n-stufigen morphism als ein gewöhnlicher morphisms, dessen Gebiet eine Art Produkt der Gebiete des ursprünglichen n-stufigen morphism ist, wird in einer monoidal Kategorie arbeiten.

Der Aufbau des abgeleiteten morphisms einer Variable wird in einer geschlossenen monoidal Kategorie arbeiten.

Die Kategorie von Sätzen wird monoidal geschlossen, aber ist auch die Kategorie von Vektorräumen, den Begriff der bilinearen Transformation oben gebend.