In der Mathematik, einer geradlinigen Karte, der geradlinigen kartografisch darstellenden, geradlinigen Transformation oder dem geradlinigen Maschinenbediener (in einigen Zusammenhängen hat auch geradlinige Funktion genannt), ist eine Funktion zwischen zwei Vektorräumen, die die Operationen der Vektor-Hinzufügung und Skalarmultiplikation bewahrt. Infolgedessen stellt es immer Geraden zu Geraden oder 0 kartografisch dar. Der Ausdruck "geradliniger Maschinenbediener" wird für geradlinige Karten von einem Vektorraum bis sich (d. h., Endomorphismen) allgemein verwendet. Manchmal fällt die Definition einer geradlinigen Funktion mit dieser einer geradlinigen Karte zusammen, während in der analytischen Geometrie es nicht tut.

Auf der Sprache der abstrakten Algebra ist eine geradlinige Karte ein Homomorphismus von Vektorräumen. Auf der Sprache der Kategorie-Theorie ist es ein morphism in der Kategorie von Vektorräumen über ein gegebenes Feld.

Definition und die ersten Folgen

Lassen Sie V und W Vektorräume über das dasselbe Feld K sein. Eine Funktion f: Wie man sagt, sind V  W eine geradlinige Karte, wenn für irgendwelche zwei Vektoren x und y in V und ein Skalar α in K die folgenden zwei Bedingungen zufrieden sind:

Das ist zum Verlangen von demselben für jede geradlinige Kombination von Vektoren gleichwertig, d. h. dass für irgendwelche Vektoren x..., x  V und Skalare a..., ein  K, die folgende Gleichheit hält:

:

Die Bezeichnung der Nullen der Vektorräume durch, hieraus folgt dass weil, die Gleichung für die Gleichartigkeit des Grads 1, einlassend

Gelegentlich, V und W kann betrachtet werden, Vektorräume über verschiedene Felder zu sein. Es ist dann notwendig anzugeben, welches von diesen Boden-Feldern in der Definition von "geradlinigen" verwendet wird. Wenn V und W als Räume über Feld K als oben betrachtet werden, sprechen wir über K-Linear-Karten. Zum Beispiel ist die Konjugation von komplexen Zahlen eine R-linear Karte C  C, aber es ist nicht C-linear.

Eine geradlinige Karte von V bis K (mit K, der als ein Vektorraum über sich angesehen ist), wird einen geradlinigen funktionellen genannt.

Beispiele

• Die Identitätskarte und Nullkarte sind geradlinig.
• Die Karte, wo c eine Konstante ist, ist geradlinig.
• Für reelle Zahlen ist die Karte nicht geradlinig.
• Für reelle Zahlen ist die Karte nicht geradlinig (aber ist eine affine Transformation und auch eine geradlinige Funktion, wie definiert, in der analytischen Geometrie.)
• Wenn A eine echte M &times ist; n Matrix dann definiert A eine geradlinige Karte von R bis R durch das Senden des Spaltenvektors x  R zur Spaltenvektor-Axt  R. Umgekehrt kann jede geradlinige Karte zwischen endlich-dimensionalen Vektorräumen auf diese Weise vertreten werden; sieh die folgende Abteilung.
• Das (bestimmte) Integral ist eine geradlinige Karte vom Raum aller reellwertigen Integrable-Funktionen auf einem Zwischenraum zu R
• Das (unbestimmte) Integral (oder Antiableitung) wird als keine geradlinige Transformation betrachtet, weil der Gebrauch einer Konstante der Integration auf eine unendliche Zahl von Produktionen pro Eingang hinausläuft.
• Unterscheidung ist eine geradlinige Karte vom Raum aller Differentiable-Funktionen zum Raum aller Funktionen.
• Wenn V und W endlich-dimensionale Vektorräume über Feld F sind, dann Funktionen, die geradlinige Karten f senden: V  W, um sich (W) - durch-dunklen (V) matrices im in der Fortsetzung beschriebenen Weg zu verdunkeln, sind selbst geradlinige Karten.
• Der erwartete Wert einer zufälligen Variable X ist als geradlinig, aber die Abweichung einer zufälligen Variable ist nicht geradlinig, weil es die zweite Bedingung, Gleichartigkeit des Grads 1 verletzt:.

Matrices

Wenn V und W endlich-dimensional sind, und man Basen in jenen Räumen gewählt hat, dann kann jede geradlinige Karte von V bis W als eine Matrix vertreten werden; das ist nützlich, weil es konkrete Berechnungen erlaubt. Umgekehrt geben matrices Beispiele von geradlinigen Karten nach: Wenn A eine echte m-by-n Matrix, dann die Regel ist

f (x) = beschreibt Axt eine geradlinige Karte R  R (sieh Euklidischen Raum).

Lassen Sie, eine Basis für V zu sein. Dann wird jeder Vektor v in V durch die Koeffizienten in einzigartig bestimmt

:

Wenn f: V  W sind eine geradlinige Karte,

:

der andeutet, dass die Funktion f durch die Werte von völlig bestimmt wird

Lassen Sie jetzt, eine Basis für W zu sein. Dann können wir die Werte von jedem als vertreten

:

So wird die Funktion f durch die Werte von völlig bestimmt

Wenn wir diese Werte in eine m-by-n MatrixM legen, dann können wir sie günstig verwenden, um den Wert von f für jeden Vektoren in V zu schätzen. Weil, wenn wir die Werte in eine n-1 Matrix C legen, wir Festordner = die m-1 Matrix haben, deren ith Element die Koordinate von f (v) ist, der der Basis gehört.

Eine einzelne geradlinige Karte kann durch viele matrices vertreten werden. Das ist, weil die Werte der Elemente der Matrix von den Basen abhängen, die gewählt werden.

Beispiele der geradlinigen Transformation matrices

Im zweidimensionalen Raum R geradlinige Karten werden durch 2 × 2 echte matrices beschrieben. Das sind einige Beispiele:

• Folge durch 90 Grade gegen den Uhrzeigersinn:

:

• Folge durch θ Grade gegen den Uhrzeigersinn:

:

• Nachdenken gegen die x Achse:

:

• Nachdenken gegen die y Achse:

:

• das Schuppen durch 2 in allen Richtungen:

:

• horizontal scheren kartografisch darzustellen:

:

• drücken Sie kartografisch darzustellen:

:

• Vorsprung auf die y Achse:

:

Das Formen neuer geradliniger Karten von gegebenen

Die Zusammensetzung von geradlinigen Karten ist geradlinig: wenn f: V  W und g: W  sind Z geradlinig, dann so ist ihre Komposition g f: V  Z. Es folgt daraus, dass die Klasse aller Vektorräume über ein gegebenes Feld K, zusammen mit K-Linear-Karten als morphisms, eine Kategorie bildet.

Das Gegenteil einer geradlinigen Karte, wenn definiert, ist wieder eine geradlinige Karte.

Wenn f: V  W und f: V  W sind geradlinig, dann auch ist ihre Summe f + f (der durch (f + f) (x) = f (x) + f (x)) definiert wird.

Wenn f: V  W sind geradlinig und eines Elements des Bodens Feld K zu sein, dann ist die Karte-Niederfrequenz, die durch (die Niederfrequenz) (x) = (f (x)) definiert ist, auch geradlinig.

So bildet der Satz L (V, W) geradliniger Karten von V bis W selbst einen Vektorraum über K, manchmal hat Hom (V, W) angezeigt. Außerdem im Fall, dass V=W, dieser Vektorraum (angezeigtes Ende (V)) eine assoziative Algebra unter der Zusammensetzung von Karten ist, da ist die Zusammensetzung von zwei geradlinigen Karten wieder eine geradlinige Karte, und die Zusammensetzung von Karten ist immer assoziativ. Dieser Fall wird ausführlicher unten besprochen.

In Anbetracht wieder des endlich-dimensionalen Falls, wenn Basen gewählt worden sind, dann entspricht die Zusammensetzung von geradlinigen Karten der Matrixmultiplikation, entspricht die Hinzufügung geradliniger Karten der Matrixhinzufügung, und die Multiplikation von geradlinigen Karten mit Skalaren entspricht der Multiplikation von matrices mit Skalaren.

Endomorphismen und automorphisms

Eine geradlinige Transformation f: V  V sind ein Endomorphismus V; der Satz des ganzen Endomorphismus-Endes (V) zusammen mit der Hinzufügung, Zusammensetzung und Skalarmultiplikation, wie definiert, über Formen eine assoziative Algebra mit dem Identitätselement über Feld K (und insbesondere ein Ring). Das multiplicative Identitätselement dieser Algebra ist die Identitätskarte id: V  V.

Ein Endomorphismus V, der auch ein Isomorphismus ist, wird einen automorphism V genannt. Die Zusammensetzung von zwei automorphisms ist wieder ein automorphism und der Satz des ganzen automorphisms von V Formen eine Gruppe, die automorphism Gruppe V, der durch Aut (V) oder GL (V) angezeigt wird. Da die automorphisms genau jene Endomorphismen sind, die Gegenteile unter der Zusammensetzung besitzen, ist Aut (V) die Gruppe von Einheiten am Ringende (V).

Wenn V begrenzte Dimension n hat, dann ist Ende (V) zur assoziativen Algebra des ganzen n durch n matrices mit Einträgen in K isomorph. Die automorphism Gruppe V ist zur allgemeinen geradlinigen Gruppe GL (n, K) des ganzen n durch n invertible matrices mit Einträgen in K isomorph.

Kern, Image und der Lehrsatz der Reihe-Ungültigkeit

Wenn f: V  W sind geradlinig, wir definieren den Kern und das Image oder die Reihe von f durch

::

ker (f) ist ein Subraum V, und im ist (f) ein Subraum von W. Die folgende Dimensionsformel ist als der Lehrsatz der Reihe-Ungültigkeit bekannt:

:

\dim (\ker (f))

+ \dim (\operatorname {im} (f))

\dim (V). </Mathematik>

Die Zahl dunkel (im (f)) wird auch die Reihe von f genannt und als Reihe (f), oder manchmal, ρ (f) geschrieben; die Zahl dunkel (ker (f)) wird die Ungültigkeit von f genannt und als ungültig (f) oder ν (f) geschrieben. Wenn V und W endlich-dimensional sind, sind Basen gewählt worden, und f wird durch die Matrix A vertreten, dann sind die Reihe und Ungültigkeit von f der Reihe und Ungültigkeit der Matrix A beziehungsweise gleich.

Cokernel

Ein feinerer invariant einer geradlinigen Transformation ist der cokernel, der als definiert wird

:

Das ist der Doppelbegriff zum Kern: Da der Kern ein Subraum des Gebiets ist, ist der Co-Kern ein Quotient-Raum des Ziels.

Formell hat man die genaue Folge

:

Diese können so interpretiert werden: In Anbetracht einer geradlinigen Gleichung, um, zu lösen

• der Kern ist der Raum von Lösungen der homogenen Gleichung, und seine Dimension ist die Zahl von Graden der Freiheit in einer Lösung, wenn es besteht;
• der Co-Kern ist der Raum von Einschränkungen, die zufrieden sein müssen, ob die Gleichung eine Lösung haben soll, und seine Dimension die Zahl von Einschränkungen ist, die für die Gleichung zufrieden sein müssen, um eine Lösung zu haben.

Die Dimension des Co-Kerns und die Dimension des Images (die Reihe) belaufen sich auf die Dimension des Zielraums. Für begrenzte Dimensionen bedeutet das, dass die Dimension des Quotient-Raums die Dimension des Zielraums minus die Dimension des Images ist.

Als ein einfaches Beispiel, betrachten Sie die Karte als gegeben durch

Dann für eine Gleichung, um eine Lösung zu haben, müssen wir (eine Einschränkung) haben, und in diesem Fall ist der Lösungsraum oder hat gleichwertig, (ein Grad der Freiheit) festgesetzt. Der Kern kann als der Subraum ausgedrückt werden

Ein Beispiel, das den unendlich-dimensionalen Fall illustriert, wird durch die Karte mit und für gewährt. Sein Image besteht aus allen Folgen mit dem ersten Element 0, und so besteht sein cokernel aus den Klassen von Folgen mit dem identischen ersten Element. So, wohingegen sein Kern Dimension 0 hat (sie stellt nur die Nullfolge zur Nullfolge kartografisch dar), sein Co-Kern hat Dimension 1. Da das Gebiet und der Zielraum dasselbe sind, belaufen sich die Reihe und die Dimension des Kerns auf dieselbe Summe wie die Reihe und die Dimension des Co-Kerns , aber im unendlich-dimensionalen Fall kann es nicht abgeleitet werden, dass der Kern und der Co-Kern eines Endomorphismus dieselbe Dimension haben. Die Rücksituation herrscht für die Karte damit vor. Sein Image ist der komplette Zielraum, und folglich hat sein Co-Kern Dimension 0, aber da es alle Folgen kartografisch darstellt, in denen nur das erste Element Nichtnull zur Nullfolge ist, hat sein Kern Dimension 1.

Index

Für einen geradlinigen Maschinenbediener mit dem endlich-dimensionalen Kern und Co-Kern kann man Index als definieren:

:

nämlich die Grade der Freiheit minus die Zahl von Einschränkungen.

Für eine Transformation zwischen endlich-dimensionalen Vektorräumen ist das gerade der Unterschied durch die Reihe-Ungültigkeit. Das gibt eine Anzeige dessen, wie viele Lösungen, oder wie viele Einschränkungen man hat: Wenn sie von einem größeren Raum bis einen kleineren kartografisch darstellt, kann die Karte darauf sein, und wird so Grade der Freiheit sogar ohne Einschränkungen haben. Umgekehrt, wenn sie von einem kleineren Raum bis einen größeren kartografisch darstellt, kann die Karte nicht auf sein, und so wird man Einschränkungen sogar ohne Grade der Freiheit haben.

Der Index kommt von seinem eigenen in unendlichen Dimensionen: Es ist, wie Homologie definiert wird, der eine Haupttheorie in der Algebra und algebraischen Topologie ist; der Index eines Maschinenbedieners ist genau die Eigenschaft von Euler des 2-Begriffe-Komplexes

In der Maschinenbediener-Theorie ist der Index von Maschinenbedienern von Fredholm ein Gegenstand der Studie mit einem Hauptergebnis, das der Atiyah-Sänger-Index-Lehrsatz ist.

Algebraische Klassifikationen von geradlinigen Transformationen

Keine Klassifikation von geradlinigen Karten konnte hoffen, erschöpfend zu sein. Die folgende unvollständige Liste zählt einige wichtige Klassifikationen auf, die keine zusätzliche Struktur auf dem Vektorraum verlangen.

Lassen Sie V, und W zeigen Vektorräume über ein Feld, F an. Lassen Sie T:V  W eine geradlinige Karte sein.

Wie man

• sagt, ist T injective oder ein monomorphism, wenn einige der folgenden gleichwertigen Bedingungen wahr ist:
• T ist als eine Karte von Sätzen isomorph.
• kerT = {0 }\
• T ist monic oder nach-links-cancellable, der, für jeden Vektorraum U und jedes Paar von geradlinigen Karten R:U  V und S:U  V, die Gleichung sagen soll, bezieht TR=TS R=S ein.
• T ist nach-links-invertible, der sagen soll, dort besteht eine geradlinige Karte S:W  V solch, dass ST die Identitätskarte auf V ist.

Wie man

• sagt, ist T surjective oder ein epimorphism, wenn einige der folgenden gleichwertigen Bedingungen wahr ist:
• T ist auf als eine Karte von Sätzen.
• coker T = {0 }\
• T ist Epos oder Recht-cancellable, das ist, für jeden Vektorraum U und jedes Paar von geradlinigen Karten R:W  U und S:W  U, die Gleichung zu sagen, bezieht RT=ST R=S ein.
• T ist richtig-invertible, der sagen soll, dort besteht eine geradlinige Karte S:W  V solch, dass TS die Identitätskarte auf W ist.

Wie man

• sagt, ist T ein Isomorphismus, wenn es sowohl nach links als auch richtig-invertible ist. Das ist zu T gleichwertig, der sowohl isomorph als auch auf (eine Bijektion von Sätzen) oder auch zu T ist, der sowohl Epos als auch monic ist, und so ein bimorphism ist.
• Wenn T: V  V sind ein Endomorphismus dann:
• Wenn, für eine positive ganze Zahl n, die n-ten von T, T wiederholen, ist identisch Null, dann, wie man sagt, ist T nilpotent.
• Wenn T T = T, dann, wie man sagt, ist T idempotent
• Wenn T = k I, wo k ein Skalar ist, dann, wie man sagt, ist T eine kletternde Transformation oder Skalarmultiplikationskarte; sieh Skalarmatrix.

Änderung der Basis

In Anbetracht einer geradlinigen Karte, deren Matrix A, in der Basis B vom Raum ist, gestaltet es Vektor-Koordinaten [u] als [v] =A  [u] um. Als sich Vektoren mit dem Gegenteil von B ändern, ist seine umgekehrte Transformation [v] =B  [v'].

Das Ersetzen davon im ersten Ausdruck:

Deshalb ist die Matrix in der neuen Basis, B die Matrix der gegebenen Basis seiend.

Deshalb, wie man sagt, sind geradlinige Karten 1-co 1 Gegenseite - verschiedene Gegenstände oder Typ (1, 1) Tensor.

Kontinuität

Eine geradlinige Transformation zwischen topologischen Vektorräumen, zum Beispiel normed Räume, kann dauernd sein. Wenn sein Gebiet und codomain dasselbe sind, wird es dann ein dauernder geradliniger Maschinenbediener sein. Ein geradliniger Maschinenbediener auf einem normed geradlinigen Raum ist dauernd, wenn, und nur wenn er zum Beispiel begrenzt wird, wenn das Gebiet endlich-dimensional ist. Ein unendlich-dimensionales Gebiet kann diskontinuierliche geradlinige Maschinenbediener haben.

Ein Beispiel eines unbegrenzten folglich ist diskontinuierliche, geradlinige Transformation Unterscheidung auf dem Raum von glatten Funktionen, die mit der Supremum-Norm ausgestattet sind (eine Funktion mit kleinen Werten kann eine Ableitung mit großen Werten haben, während die Ableitung 0 0 ist). Unterscheidung ist nicht ein dauernder Maschinenbediener; sein codomain ist größer als sein Gebiet, weil die Ableitung einer glatten Funktion nicht glatt zu sein braucht.

Anwendungen

Eine spezifische Anwendung geradliniger Karten ist für geometrische Transformationen, wie diejenigen, die in der Computergrafik durchgeführt sind, wo die Übersetzung, die Folge und das Schuppen von 2. oder 3D Gegenständen durch den Gebrauch einer Transformationsmatrix durchgeführt werden.

Eine andere Anwendung dieser Transformationen ist in Bearbeiter-Optimierungen des Codes der verschachtelten Schleife, und in parallelizing Bearbeiter-Techniken.

Siehe auch

• Transformation von Affine
• Geradlinige Gleichung
• Begrenzter Maschinenbediener
• Antigeradlinige Karte
• Halbgeradlinige Transformation
• Dauernder geradliniger Maschinenbediener
• Nervennetz
• Computergrafik