In der Mathematik sind Grundzahlen oder Kardinäle für den kurzen, eine Generalisation der natürlichen Zahlen, die verwendet sind, um den cardinality (Größe) von Sätzen zu messen. Der cardinality eines begrenzten Satzes ist eine natürliche Zahl - die Zahl der Elemente im Satz. Die transfiniten Grundzahlen beschreiben die Größen von unendlichen Sätzen.

Cardinality wird in Bezug auf bijektive Funktionen definiert. Zwei Sätze haben dieselbe Grundzahl wenn und nur, wenn es eine Bijektion zwischen ihnen gibt. Im Fall von begrenzten Sätzen stimmt das mit dem intuitiven Begriff der Größe überein. Im Fall von unendlichen Sätzen ist das Verhalten komplizierter. Ein Hauptsatz wegen Georg Cantors zeigt, dass es für unendliche Sätze möglich ist, verschiedenen cardinalities zu haben, und insbesondere der Satz von reellen Zahlen und der Satz von natürlichen Zahlen dieselbe Grundzahl nicht haben. Es ist auch für eine richtige Teilmenge eines unendlichen Satzes möglich, denselben cardinality wie der ursprüngliche Satz, etwas zu haben, was mit richtigen Teilmengen von begrenzten Sätzen nicht geschehen kann.

Es gibt eine transfinite Folge von Grundzahlen:

:

Diese Folge fängt mit den natürlichen Zahlen einschließlich der Null an, (begrenzte Kardinäle), den von den aleph Zahlen (unendliche Kardinäle von gut bestellten Sätzen) gefolgt wird. Die aleph Zahlen werden durch Ordinalzahlen mit einem Inhaltsverzeichnis versehen. Unter der Annahme des Axioms der Wahl schließt diese transfinite Folge jede Grundzahl ein. Wenn man dieses Axiom zurückweist, ist die Situation mit zusätzlichen unendlichen Kardinälen mehr kompliziert, die nicht alephs sind.

Cardinality wird um seinetwillen als ein Teil der Mengenlehre studiert. Es ist auch ein Werkzeug, das in Zweigen der Mathematik einschließlich combinatorics, abstrakter Algebra und mathematischer Analyse verwendet ist.

Geschichte

Der Begriff von cardinality, wie jetzt verstanden, wurde von Georg Cantor, dem Schöpfer der Mengenlehre, in 1874-1884 formuliert. Cantor hat zuerst cardinality als ein Instrument eingesetzt, um begrenzte Sätze zu vergleichen; z.B sind die Sätze {1,2,3} und {2,3,4} nicht gleich, aber haben denselben cardinality: drei.

Kantor hat die Tatsache identifiziert, dass isomorphe Ähnlichkeit die Weise ist zu sagen, dass zwei Sätze dieselbe Größe, genannt "cardinality" im Fall von begrenzten Sätzen haben. Mit dieser isomorphen Ähnlichkeit hat er das Konzept auf unendliche Sätze angewandt; z.B der Satz von natürlichen Zahlen N = {0, 1, 2, 3...}. Er hat diese Grundzahlen transfinite Grundzahlen genannt, und hat alle Sätze definiert, die eine isomorphe Ähnlichkeit mit N haben, um denumerable (zählbar unendlich) Sätze zu sein.

Diese Grundzahl, aleph-ungültig nennend, hat Kantor bewiesen, dass jede unbegrenzte Teilmenge von N denselben cardinality wie N hat, selbst wenn das auf den ersten Blick scheinen könnte, gegen die Intuition zu laufen. Er hat auch bewiesen, dass der Satz aller befohlenen Paare von natürlichen Zahlen denumerable ist (der andeutet, dass der Satz aller rationalen Zahlen denumerable ist), und später bewiesen hat, dass der Satz aller algebraischen Zahlen auch denumerable ist. Jede algebraische Zahl z kann als eine begrenzte Folge von ganzen Zahlen verschlüsselt werden, die die Koeffizienten in der polynomischen Gleichung sind, deren es die Lösung, d. h. das bestellte N-Tupel zusammen mit einem Paar von solchem rationals ist, dass z die einzigartige Wurzel des Polynoms mit Koeffizienten ist, das im Zwischenraum liegt.

In seiner 1874-Zeitung hat Kantor bewiesen, dass dort höherwertige Grundzahlen durch die Vertretung bestehen, dass der Satz von reellen Zahlen cardinality größer hat als dieser von N. Seine ursprüngliche Präsentation hat ein kompliziertes Argument mit verschachtelten Zwischenräumen verwendet, aber in einer 1891-Zeitung hat er dasselbe Ergebnis mit seinem genialen, aber einfachen diagonalen Argument bewiesen. Diese neue Grundzahl, genannt den cardinality des Kontinuums, wurde vom Kantoren genannt.

Kantor hat auch einen großen Teil der allgemeinen Theorie von Grundzahlen entwickelt; er hat bewiesen, dass es eine kleinste transfinite Grundzahl (aleph-ungültig) und dass für jede Grundzahl gibt, gibt es einen nächst-größeren grundsätzlichen

:

Seine Kontinuum-Hypothese ist der Vorschlag, der dasselbe als ist, aber, wie man gefunden hat, ist das der Standardaxiome der mathematischen Mengenlehre unabhängig gewesen; es kann weder bewiesen noch unter den Standardannahmen widerlegt werden.

Motivation

Im informellen Gebrauch ist eine Grundzahl, was normalerweise eine Zählen-Zahl genannt wird, vorausgesetzt, dass 0 eingeschlossen wird: 0, 1, 2.... Sie können mit den natürlichen Zahlen identifiziert werden, die mit 0 beginnen.

Die Zählen-Zahlen sind genau, was formell als die begrenzten Grundzahlen definiert werden kann. Unendliche Kardinäle kommen nur in der Mathematik des höheren Niveaus und Logik vor.

Mehr formell kann eine Nichtnullzahl zu zwei Zwecken verwendet werden: Die Größe eines Satzes zu beschreiben, oder die Position eines Elements in einer Folge zu beschreiben. Für begrenzte Sätze und Folgen ist es leicht zu sehen, dass diese zwei Begriffe zusammenfallen, seitdem für jede Zahl, die eine Position in einer Folge beschreibt, können wir einen Satz bauen, der genau die richtige Größe hat, z.B 3 beschreibt die Position von 'c' in der Folge

Die Intuition hinter der formellen Definition des Kardinals ist der Aufbau eines Begriffs der Verhältnisgröße oder "Größe" eines Satzes ohne Berücksichtigung der Art von Mitgliedern, die es hat. Für begrenzte Sätze ist das leicht; man zählt einfach die Zahl der Elemente auf, die ein Satz hat. Um die Größen von größeren Sätzen zu vergleichen, ist es notwendig, an feinere Begriffe zu appellieren.

Ein Satz Y ist mindestens nicht weniger als, oder größer oder gleich einem Satz X, wenn es einen injective gibt von den Elementen X zu den Elementen von Y (isomorph) kartografisch darzustellen. Isomorph kartografisch darzustellen, identifiziert jedes Element des Satzes X mit einem einzigartigen Element des Satzes Y. Das wird durch ein Beispiel am leichtesten verstanden; nehmen Sie an, dass wir die Sätze X = {1,2,3} und Y = {a, b, c, d} dann mit diesem Begriff der Größe haben, würden wir bemerken, dass es gibt kartografisch darzustellen:

: 1  ein

: 2  b

: 3  c

der isomorph ist, und beschließen Sie folglich, dass Y cardinality größer oder gleich X hat. Bemerken Sie, dass das Element d kein dazu kartografisch darstellendes Element hat, aber das wird erlaubt, weil wir nur verlangen, und nicht notwendigerweise ein isomorpher isomorph kartografisch darzustellen und darauf kartografisch darzustellen. Der Vorteil dieses Begriffs besteht darin, dass er zu unendlichen Sätzen erweitert werden kann.

Wir können dann das zu einer mit der Gleichheit artigen Beziehung erweitern.

Wie man

sagt, haben zwei Sätze X und Y denselben cardinality, wenn dort eine Bijektion zwischen X und Y besteht. Durch den Lehrsatz von Schroeder-Bernstein ist das dazu gleichwertig, dort zu sein, von X bis Y sowohl isomorph kartografisch darzustellen als auch von Y bis X isomorph kartografisch darzustellen.

Wir schreiben dann | X | = | Y |. Die Grundzahl X selbst wird häufig als der am wenigsten Ordnungs-mit | | = | X | definiert. Das wird den Kardinal von von Neumann Anweisung genannt; für diese Definition, um Sinn zu haben, muss es bewiesen werden, dass jeder Satz denselben cardinality wie eine Ordnungszahl hat; diese Behauptung ist der gut bestellende Grundsatz. Es ist jedoch möglich, den relativen cardinality von Sätzen zu besprechen, ohne Namen zu Gegenständen ausführlich zuzuteilen.

Das klassische verwendete Beispiel ist das des unendlichen Hotelparadoxes, auch genannt das Paradox von Hilbert des Grand Hotels. Nehmen Sie an, dass Sie ein Gastwirt in einem Hotel mit einer unendlichen Zahl von Zimmern sind. Das Hotel ist voll, und dann kommt ein neuer Gast an. Es ist möglich, den Extragast in durch das Fragen des Gasts anzupassen, der im Zimmer 1 war, um sich zum Zimmer 2, dem Gast im Zimmer 2 zu bewegen, um sich zum Zimmer 3 zu bewegen, und so weiter Zimmer 1 frei verlassend. Wir können ein Segment darüber ausführlich schreiben kartografisch darzustellen:

: 1  2

: 2  3

: 3  4

:...

: n  n+1

:...

Auf diese Weise können wir dass der Satz {1,2,3 sehen...} hat denselben cardinality wie der Satz {2,3,4...} seit einer Bijektion zwischen dem ersten und dem zweiten ist gezeigt worden. Das motiviert die Definition eines unendlichen Satzes, der jeder Satz ist, der eine richtige Teilmenge desselben cardinality hat; in diesem Fall {2,3,4...} ist eine richtige Teilmenge {1,2,3...}.

Als

wir diese großen Gegenstände gedacht haben, könnten wir auch sehen wollen, ob der Begriff des Zählens der Ordnung mit diesem des Kardinals zusammenfällt, der oben für diese unendlichen Sätze definiert ist. Es geschieht, dass es nicht tut; indem wir das obengenannte Beispiel denken, können wir dass sehen, wenn ein Gegenstand "ein größerer als Unendlichkeit" besteht, dann muss es denselben cardinality wie der unendliche Satz haben, mit dem wir aufgebrochen sind. Es ist möglich, einen verschiedenen formellen Begriff für die Zahl, genannt Ordnungszahlen zu verwenden, die auf den Ideen gestützt sind, jede Zahl der Reihe nach aufzuzählen und zu denken, und wir entdecken, dass die Begriffe von cardinality und ordinality auseinander gehend sind, sobald wir uns aus den begrenzten Zahlen bewegen.

Es kann bewiesen werden, dass der cardinality der reellen Zahlen größer ist als diese der gerade beschriebenen natürlichen Zahlen. Das kann mit dem diagonalen Argument des Kantoren vergegenwärtigt werden;

klassische Fragen von cardinality (zum Beispiel die Kontinuum-Hypothese) sind mit dem Entdecken beschäftigt, ob es einen Kardinal zwischen einem Paar anderer unendlicher Kardinäle gibt. In neueren Zeiten haben Mathematiker die Eigenschaften von größeren und größeren Kardinälen beschrieben.

Da cardinality solch ein allgemeines Konzept in der Mathematik ist, eine Vielfalt von Namen sind im Gebrauch. Die Gleichheit von cardinality wird manchmal equipotence, equipollence, oder equinumerosity genannt. Es wird so gesagt, dass zwei Sätze mit demselben cardinality, beziehungsweise, equipotent, equipollent, oder equinumerous sind.

Formelle Definition

Formell, das Axiom der Wahl annehmend, ist der cardinality eines Satzes X der solcher am wenigsten Ordnungs-α, dass es eine Bijektion zwischen X und α gibt. Diese Definition ist als der Kardinal von von Neumann Anweisung bekannt. Wenn das Axiom der Wahl nicht angenommen wird, müssen wir etwas anderes tun. Die älteste Definition des cardinality eines Satzes X (implizit im Kantoren und ausführlich in Frege und Principia Mathematica) ist als die Klasse [X] aller Sätze, die equinumerous mit X sind. Das arbeitet in ZFC oder anderen zusammenhängenden Systemen der axiomatischen Mengenlehre nicht, weil, wenn X nichtleer ist, diese Sammlung zu groß ist, um ein Satz zu sein. Tatsächlich, für X ≠ ∅ es gibt eine Einspritzung vom Weltall in [X], indem es einen Satz M zur {M} &times kartografisch dargestellt wird; X und so durch die Beschränkung der Größe, [X] ist eine richtige Klasse. Die Definition arbeitet wirklich jedoch in der Typ-Theorie und in Neuen Fundamenten und verwandten Systemen. Jedoch, wenn wir von dieser Klasse bis jene equinumerous mit X einschränken, die kleinste Reihe haben, dann wird es arbeiten (das ist ein Trick wegen Dana Scotts: Es arbeitet, weil die Sammlung von Gegenständen mit jeder gegebenen Reihe ein Satz ist).

Formell wird die Ordnung unter Grundzahlen wie folgt definiert: | X |  | Y | bedeutet, dass dort eine Injective-Funktion von X bis Y besteht. Der Cantor-Bernstein-Schroeder Lehrsatz stellt dass wenn | X |  | Y | und | Y |  | X | dann | X | = | Y | fest. Das Axiom der Wahl ist zur Behauptung dass gegeben zwei Sätze X und Y, entweder | X |  | Y | oder | Y |  | X | gleichwertig.

Ein Satz X ist Dedekind-unendlich, wenn dort eine richtige Teilmenge Y von X mit | X | = | Y |, und Dedekind-begrenzt besteht, wenn solch eine Teilmenge nicht besteht. Die begrenzten Kardinäle sind gerade die natürlichen Zahlen, d. h. ein Satz X ist wenn und nur wenn | X | = | n | = n für eine natürliche Zahl n begrenzt. Jeder andere Satz ist unendlich. Das Axiom der Wahl annehmend, kann es bewiesen werden, dass die Begriffe von Dedekind den normalen entsprechen. Es kann auch bewiesen werden, dass der Kardinal (aleph ungültig oder aleph-0, wo aleph der erste Brief im hebräischen Alphabet, vertreten ist) des Satzes von natürlichen Zahlen der kleinste unendliche Kardinal ist, d. h. dass jeder unendliche Satz eine Teilmenge von cardinality hat, durch den Der folgende größere Kardinal und so weiter angezeigt wird. Für jeden Ordnungs-α gibt es eine Grundzahl, und diese Liste erschöpft alle unendlichen Grundzahlen.

Grundsätzliche Arithmetik

Wir können arithmetische Operationen auf Grundzahlen definieren, die die gewöhnlichen Operationen wegen natürlicher Zahlen verallgemeinern. Es kann gezeigt werden, dass für begrenzte Kardinäle diese Operationen mit den üblichen Operationen wegen natürlicher Zahlen zusammenfallen. Außerdem teilen diese Operationen viele Eigenschaften mit der gewöhnlichen Arithmetik.

Nachfolger-Kardinal

Wenn das Axiom der Wahl hält, hat jeder grundsätzliche κ einen Nachfolger κ> κ, und es gibt keine Kardinäle zwischen κ und seinem Nachfolger. Für begrenzte Kardinäle ist der Nachfolger einfach κ + 1. Für unendliche Kardinäle unterscheidet sich der Nachfolger-Kardinal vom Ordnungs-Nachfolger.

Grundsätzliche Hinzufügung

Wenn X und Y zusammenhanglos sind, wird Hinzufügung von der Vereinigung X und Y gegeben. Wenn die zwei Sätze nicht bereits zusammenhanglos sind, dann können sie durch zusammenhanglose Sätze desselben cardinality z.B ersetzt werden, ersetzen Sie X durch X× {0} und Y durch Y× {1}.

:

Null ist eine zusätzliche Identität κ + 0 = 0 + κ = κ.

Hinzufügung ist (κ + μ) + ν = κ + (μ + ν) assoziativ.

Hinzufügung ist Ersatz-κ + μ = μ + κ.

Hinzufügung nimmt in beiden Argumenten nichtab:

:

Das Axiom der Wahl annehmend, ist die Hinzufügung unendlicher Grundzahlen leicht. Wenn entweder oder, dann unendlich

ist:

Subtraktion

Das Annehmen des Axioms der Wahl und, in Anbetracht eines unendlichen grundsätzlichen σ und eines grundsätzlichen μ, dort besteht ein grundsätzlicher solcher κ dass μ + κ = σ wenn und nur wenn μ  σ. Es wird einzigartig (und σ gleich sein), wenn und nur wenn μ

κ\· 0 = 0 · κ = 0.

κ\· μ = 0 (κ = 0 oder μ = 0).

Man ist eine multiplicative Identität κ\· 1 = 1 · κ = κ.

Multiplikation ist assoziativ (κ\· μ) · ν = κ\· (μ\· ν).

Multiplikation ist auswechselbarer κ\· μ = μ\· κ.

Multiplikation nimmt in beiden Argumenten nichtab:

κ  μ (κ\· ν  μ\· ν und ν\· κ  ν\· μ).

Multiplikation verteilt über die Hinzufügung:

κ\· (μ + ν) = κ\· μ + κ\· ν und

(μ + ν) · κ = μ\· κ + ν\· κ.

Das Axiom der Wahl annehmend, ist die Multiplikation von unendlichen Grundzahlen auch leicht. Wenn entweder κ oder μ unendlich sind und beide Nichtnull, dann sind

:

Abteilung

Das Annehmen des Axioms der Wahl und, in Anbetracht eines unendlichen grundsätzlichen π und eines grundsätzlichen Nichtnull-μ, dort besteht ein grundsätzlicher solcher κ dass μ · κ = π wenn und nur wenn μ  π. Es wird einzigartig (und π gleich sein), wenn und nur wenn μ

wo X der Satz aller Funktionen von Y bis X ist.

:κ = 1 (in besonderem 0 = 1), sieh leere Funktion.

:If 1  μ, dann 0 = 0.

:1 = 1.

:κ = κ.

:κ = κ\· κ.

:κ = (κ).

:(κ\· μ) = κ\· μ.

Exponentiation nimmt in beiden Argumenten nichtab:

: (1  ν und κ  μ) (ν  ν) und

:(κ  μ) (κ  μ).

Bemerken Sie, dass 2 der cardinality des Macht-Satzes des Satzes X ist und das diagonale Argument des Kantoren dass 2> | X | für jeden Satz X zeigt. Das beweist, dass kein größter Kardinal besteht (weil für jeden grundsätzlichen κ wir immer größere grundsätzliche 2 finden können). Tatsächlich ist die Klasse von Kardinälen eine richtige Klasse.

Alle restlichen Vorschläge in dieser Abteilung nehmen das Axiom der Wahl an:

:If κ und μ sind sowohl begrenzt als auch größer als 1, und ν, ist dann κ = μ unendlich.

:If κ ist unendlich, und μ ist begrenzt und Nichtnull, dann κ = κ.

Wenn 2  κ und 1  μ und mindestens ein von ihnen, dann unendlich sind:

:Max (κ, 2)  κ  Max (2, 2).

Mit dem Lehrsatz von König kann man κ und κ beweisen) für jeden unendlichen grundsätzlichen κ, wo vgl (κ) der cofinality von κ ist.

Wurzeln

Wenn sie

das Axiom der Wahl und, in Anbetracht eines unendlichen Kardinals und eines begrenzten Kardinals annehmen wird, der größer ist als 0, wird die grundsätzliche Zufriedenheit sein.

Logarithmen

Das Annehmen des Axioms der Wahl und, in Anbetracht eines unendlichen Kardinals und eines begrenzten Kardinals, der größer ist als 1, dort kann oder kann keine grundsätzliche Zufriedenheit sein. Aber wenn solch ein Kardinal besteht, ist es unendlich und weniger als, und irgendwelcher begrenzt cardinality größer als 1 wird auch befriedigen.

Der Logarithmus einer unendlichen Grundzahl κ wird als die am wenigsten Grundzahl μ solch dass κ  2 definiert. Logarithmen von unendlichen Kardinälen sind in einigen Feldern der Mathematik zum Beispiel in der Studie von grundsätzlichem invariants von topologischen Räumen nützlich, obwohl sie an einigen der Eigenschaften Mangel haben, die Logarithmen von positiven reellen Zahlen besitzen.

Die Kontinuum-Hypothese

Die Kontinuum-Hypothese (CH) stellt fest, dass es keine Kardinäle ausschließlich zwischen und gibt

Die letzte Grundzahl wird auch häufig dadurch angezeigt; es ist der cardinality des Kontinuums (der Satz von reellen Zahlen). In diesem Fall stellt Die verallgemeinerte Kontinuum-Hypothese (GCH) fest, dass für jeden unendlichen Satz X es keine Kardinäle ausschließlich zwischen | X | und 2 gibt.

Die Kontinuum-Hypothese ist der üblichen Axiome der Mengenlehre, die Zermelo-Fraenkel Axiome zusammen mit dem Axiom der Wahl (ZFC) unabhängig.

Siehe auch

• Das Zählen
• Namen von Zahlen in englischem
• Großer grundsätzlicher
• Einschließungsausschluss-Grundsatz
• Nominelle Zahl
• Ordinalzahl
• Regelmäßiger grundsätzlicher
• Das Paradox des größten grundsätzlichen
• Zahl von Aleph
• Zahl von Beth

Referenzen

• , Unendlichkeit, Teil IX, Kapitel 2, Band 3 Der Welt der Mathematik. New York: Simon und Schuster, 1956.
• , Naive Mengenlehre. Princeton, New Jersey:D. Van Nostrand Company, 1960. Nachgedruckt vom Springer-Verlag, New York, 1974. Internationale Standardbuchnummer 0-387-90092-6 (Ausgabe des Springers-Verlag).

Links

• Cardinality an Beweisen von ProvenMath der grundlegenden Lehrsätze auf cardinality.