Im mathematischen Feld der Kategorie-Theorie ist die Kategorie von Sätzen, angezeigt als Satz, die Kategorie, deren Gegenstände Sätze sind. Die Pfeile oder morphisms zwischen Sätzen A und B sind alle Funktionen von bis B. Sorge muss in der Definition des Satzes genommen werden, um mit dem Satz theoretische Paradoxe zu vermeiden.

Viele andere Kategorien (wie die Kategorie von Gruppen, mit dem Gruppenhomomorphismus als Pfeile) fügen Struktur zu den Gegenständen der Kategorie von Sätzen hinzu und/oder schränken die Pfeile auf Funktionen einer besonderen Art ein.

Eigenschaften der Kategorie von Sätzen

Die epimorphisms im Satz sind die Surjective-Karten, die monomorphisms sind die Injective-Karten, und der Isomorphismus ist die bijektiven Karten.

Der leere Satz dient als der anfängliche Gegenstand im Satz mit leeren Funktionen als morphisms. Jeder Singleton ist ein Endgegenstand mit den Funktionen, die alle Elemente der Quellsätze zum einzelnen Zielelement als morphisms kartografisch darstellen. Es gibt so keine Nullgegenstände im Satz.

Der Kategorie-Satz ist abgeschlossen und co-complete. Das Produkt in dieser Kategorie wird durch das kartesianische Produkt von Sätzen gegeben. Der coproduct wird von der zusammenhanglosen Vereinigung gegeben: Gegebene Sätze, wo ich mich über einen Index erstrecke, gehen I unter, wir bauen den coproduct als die Vereinigung von A× {ich} (das kartesianische Produkt damit mir diene, um sicherzustellen, dass alle Bestandteile zusammenhanglos bleiben).

Satz ist der Prototyp einer konkreten Kategorie; andere Kategorien sind konkret, wenn sie Satz auf eine bestimmte Weise "ähneln".

Jeder Zwei-Elemente-Satz dient als ein Subgegenstand classifier im Satz. Der Macht-Gegenstand eines Satzes A wird durch seinen Macht-Satz gegeben, und der Exponentialgegenstand der Sätze A und B wird durch den Satz aller Funktionen von bis B gegeben. Satz ist so ein topos (und im besonderen Kartesianer geschlossen).

Satz ist nicht abelian, Zusatz oder Vorzusatz. Seine Null morphisms ist die leeren Funktionen   X.

Jeder ist nicht der anfängliche Gegenstand im Satz injective und (das Annehmen des Axioms der Wahl) auch projektiv.

Fundamente für die Kategorie von Sätzen

In der Zermelo-Fraenkel Mengenlehre ist die Sammlung aller Sätze nicht ein Satz; das folgt aus dem Axiom des Fundaments. Man bezieht sich auf Sammlungen, die nicht Sätze als richtige Klassen sind. Man kann richtige Klassen nicht behandeln, wie man Sätze behandelt; insbesondere man kann nicht schreiben, dass jene richtigen Klassen einer Sammlung (entweder ein Satz oder eine richtige Klasse) gehören. Das ist ein Problem: Es bedeutet, dass die Kategorie von Sätzen aufrichtig in dieser Einstellung nicht formalisiert werden kann.

Eine Weise, das Problem aufzulösen, ist, in einem System zu arbeiten, das formellen Status richtigen Klassen wie NBG-Mengenlehre gibt. In dieser Einstellung, wie man sagt, sind von Sätzen gebildete Kategorien klein und diejenigen (wie Satz), die von richtigen Klassen gebildet werden, werden gesagt, groß zu sein.

Eine andere Lösung ist, die Existenz des Weltalls von Grothendieck anzunehmen. Grob sprechend, ist ein Weltall von Grothendieck ein Satz, der selbst ein Modell von ZF (C) ist (zum Beispiel, wenn ein Satz einem Weltall gehört, werden seine Elemente und sein powerset dem Weltall gehören). Die Existenz des Weltalls von Grothendieck (anders als der leere Satz und der Satz aller hereditarily begrenzten Sätze) wird durch die üblichen ZF Axiome nicht einbezogen; es ist ein zusätzliches, unabhängiges Axiom, das grob zur Existenz von stark unzugänglichen Kardinälen gleichwertig ist. Dieses Extraaxiom annehmend, kann man die Gegenstände des Satzes zu den Elementen eines besonderen Weltalls beschränken. (Es gibt keinen "Satz aller Sätze" innerhalb des Modells, aber man kann noch über die Klasse U aller inneren Sätze, d. h., Elemente von U. vernünftig urteilen)

In einer Schwankung dieses Schemas ist die Klasse von Sätzen die Vereinigung des kompletten Turms des Weltalls von Grothendieck. (Das ist notwendigerweise eine richtige Klasse, aber jedes Weltall von Grothendieck ist ein Satz, weil es ein Element von einem größeren Weltall von Grothendieck ist.) Jedoch arbeitet man direkt mit der "Kategorie aller Sätze" nicht. Statt dessen werden Lehrsätze in Bezug auf den Kategorie-Satz ausgedrückt, dessen Gegenstände die Elemente eines genug großen Weltalls von Grothendieck U sind, und dann gezeigt werden, von der besonderen Wahl von U nicht abzuhängen. Als ein Fundament für die Kategorie-Theorie wird diese Annäherung zu einem System wie Tarski-Grothendieck Mengenlehre gut verglichen, in der direkt über richtige Klassen nicht vernünftig urteilen kann; sein Hauptnachteil ist, dass ein Lehrsatz auf den ganzen Satz, aber nicht des Satzes zutreffen kann.

Verschiedene andere Lösungen und Schwankungen auf dem obengenannten, sind vorgeschlagen worden.

Dieselben Probleme entstehen mit anderen konkreten Kategorien, wie die Kategorie von Gruppen oder die Kategorie von topologischen Räumen.

Siehe auch

• Mengenlehre
• Kleiner Satz (Kategorie-Theorie)

Referenzen

• Blass, A. Die Wechselwirkung zwischen Kategorie-Theorie und Mengenlehre. Zeitgenössische Mathematik 30 (1984).
• Feferman, S. Mit dem Satz theoretische Fundamente der Kategorie-Theorie. Springer Lect. Zeichen-Mathematik. 106 (1969): 201-247.
• Lawvere, F.W. Eine elementare Theorie der Kategorie von Sätzen (lange Version) mit dem Kommentar
• Die Mac Lane, S. Ein Weltall als ein Fundament für die Kategorie-Theorie. Springer Lect. Zeichen-Mathematik. 106 (1969): 192-200.

• (Band 5 in den Reihe-Absolvententexten in der Mathematik)