In der Mathematik, und besonders in der Kategorie-Theorie ist ein Ersatzdiagramm ein Diagramm von Gegenständen (auch bekannt als Scheitelpunkte) und morphisms (auch bekannt als Pfeile oder Ränder) solch, dass alle geleiteten Pfade im Diagramm mit demselben Anfang und Endpunkten zu demselben Ergebnis durch die Zusammensetzung führen. Ersatzdiagramme spielen die Rolle in der Kategorie-Theorie, dass Gleichungen in der Algebra spielen.

Bemerken Sie, dass ein Diagramm nicht auswechselbar sein kann, d. h. die Zusammensetzung von verschiedenen Pfaden im Diagramm dasselbe Ergebnis nicht geben kann. Für die Erläuterung pendeln Ausdrücke wie "dieses Ersatzdiagramm" oder "das Diagramm" kann verwendet werden.

Beispiele

Im folgenden Diagramm, das den ersten Isomorphismus-Lehrsatz ausdrückt, bedeutet commutativity dass:

Unten ist ein allgemeines Ersatzquadrat, in der

Symbole

In Algebra-Texten kann der Typ von morphism mit dem verschiedenen Pfeil-Gebrauch angezeigt werden: monomorphisms mit a, epimorphisms mit a und Isomorphismus mit a. Der verflixte Pfeil vertritt normalerweise den Anspruch, dass der angezeigte morphism besteht, wann auch immer der Rest des Diagramms hält. Das ist üblich genug, dass Texte häufig die Bedeutungen der verschiedenen Typen des Pfeils nicht erklären.

Das Überprüfen commutativity

Commutativity hat Sinn für ein Vieleck jeder begrenzten Zahl von Seiten (einschließlich gerade 1 oder 2), und ein Diagramm ist auswechselbar, wenn jedes polygonale Subdiagramm auswechselbar ist.

Das Diagramm-Verfolgen

Das Diagramm-Verfolgen ist eine Methode des mathematischen Beweises verwendet besonders in der homological Algebra. In Anbetracht eines Ersatzdiagramms schließt ein Beweis durch das Diagramm-Verfolgen den formellen Gebrauch der Eigenschaften des Diagramms, wie injective oder Surjective-Karten oder genaue Folgen ein. Ein Syllogismus wird gebaut, für den die grafische Anzeige des Diagramms gerade eine Sehhilfe ist. Hieraus folgt dass man "Verfolgen"-Elemente um das Diagramm beendet, bis das gewünschte Element oder Ergebnis gebaut oder nachgeprüft werden.

Beispiele von Beweisen durch das Diagramm-Verfolgen schließen diejenigen ein, die normalerweise für das fünf Lemma, das Schlange-Lemma, das zickzackförmige Lemma und das neun Lemma gegeben sind.

Diagramme als functors

Ein Ersatzdiagramm in einer Kategorie C kann als ein functor von einer Index-Kategorie J zu C interpretiert werden; man nennt den functor ein Diagramm.

Mehr formell ist ein Ersatzdiagramm eine Vergegenwärtigung eines durch eine poset Kategorie mit einem Inhaltsverzeichnis versehenen Diagramms:

• man zieht einen Knoten für jeden Gegenstand in der Index-Kategorie,
• ein Pfeil für einen Erzeugen-Satz von morphisms,
• :omitting-Identitätskarten und morphisms, der als Zusammensetzungen, ausgedrückt werden kann
• und der commutativity des Diagramms (die Gleichheit von verschiedenen Zusammensetzungen von Karten zwischen zwei Gegenständen) entspricht der Einzigartigkeit einer Karte zwischen zwei Gegenständen in einer poset Kategorie.

Umgekehrt, in Anbetracht eines Ersatzdiagramms, definiert es eine poset Kategorie:

• die Gegenstände sind die Knoten,
• es gibt einen morphism zwischen irgendwelchen zwei Gegenständen wenn und nur, wenn es einen (geleiteten) Pfad zwischen den Knoten, gibt
• mit der Beziehung, dass dieser morphism einzigartig ist (wird jede Zusammensetzung von Karten durch sein Gebiet und Ziel definiert: Das ist das commutativity Axiom).

Jedoch pendelt nicht jedes Diagramm (der Begriff des Diagramms verallgemeinert ausschließlich Ersatzdiagramm): am einfachsten, das Diagramm eines einzelnen Gegenstands mit einem Endomorphismus , oder mit zwei parallelen Pfeilen , wie verwendet, in der Definition des Equalizers braucht nicht zu pendeln. Weiter können Diagramme unordentlich oder unmöglich sein zu ziehen, wenn die Zahl von Gegenständen oder morphisms groß (oder sogar unendlich ist).

Siehe auch

• Mathematisches Diagramm

Außenverbindungen

• Diagramm, das an MathWorld nachjagt