In der Mathematik sind coalgebras oder cogebras Strukturen, die (im Sinne des Umkehrens von Pfeilen) zu unital assoziativen Algebra Doppel-sind. Die Axiome von unital assoziativen Algebra können in Bezug auf Ersatzdiagramme formuliert werden. Alle Pfeile umdrehend, erhält man die Axiome von coalgebras.

Jeder coalgebra, durch (den Vektorraum) Dualität, verursacht eine Algebra, aber nicht im Allgemeinen den anderen Weg. In begrenzten Dimensionen geht diese Dualität in beide Richtungen (sieh unten) hinein.

Coalgebras kommen natürlich in mehreren Zusammenhängen (zum Beispiel, universale Einschlagen-Algebra und Gruppenschemas) vor.

Es gibt auch F-coalgebras mit wichtigen Anwendungen in der Informatik.

Formelle Definition

Formell ist ein coalgebra über Feld K ein Vektorraum C über K zusammen mit K-Linear-Karten und solch dass

1. .

(Hier und beziehen Sie sich auf das Tensor-Produkt über K, und id ist die Identitätsfunktion.)

Gleichwertig pendeln die folgenden zwei Diagramme:

Im ersten Diagramm identifizieren wir uns still damit; die zwei sind natürlich isomorph. Ähnlich im zweiten Diagramm die natürlich isomorphen Räume, und werden identifiziert.

Das erste Diagramm ist der Doppel-von demjenigen, der associativity von der Algebra-Multiplikation ausdrückt (hat den coassociativity des comultiplication genannt); das zweite Diagramm ist der Doppel-von demjenigen, der die Existenz einer multiplicative Identität ausdrückt. Entsprechend wird die Karte Δ den comultiplication (oder coproduct) C genannt, und ε ist C.

Beispiele

:

Durch die Linearität können sowohl Δ als auch ε dann zu allen C einzigartig erweitert werden. Der Vektorraum C wird ein coalgebra mit comultiplication Δ und counit ε (überprüfend, dass das eine gute Weise ist, sich an die Axiome zu gewöhnen). </li>

Als ein zweites Beispiel, denken Sie den polynomischen Ring K [X] in einem unbestimmtem X. Das wird ein coalgebra (die geteilte Macht coalgebra), wenn wir definieren

:

und

:

0& \mbox {wenn} n> 0

\end {Fälle} </Mathematik>

für alle Wieder, wegen der Linearität, genügt das, um Δ und ε einzigartig auf allen K [X] zu definieren. Jetzt K [X] ist sowohl eine unital assoziative Algebra als auch ein coalgebra, und die zwei Strukturen sind vereinbar. Gegenstände wie das werden bialgebras genannt, und tatsächlich sind die meisten wichtigen coalgebras betrachtet in der Praxis bialgebras. Beispiele schließen Algebra von Hopf ein und Liegen bialgebras. </li>

In einigen Fällen bildet die einzigartige Homologie eines topologischen Raums einen coalgebra. </li>

Wenn C der K-Vektorraum mit der Basis {s, c} ist, ziehen Sie in Betracht wird durch gegeben

::

und wird durch gegeben

::

In dieser Situation, ist ein als trigonometrischer coalgebra bekannter coalgebra.

</li>

</ul>

Begrenzte Dimensionen

In begrenzten Dimensionen, der Dualität zwischen Algebra und coalgebras ist näher: Der Doppel-von einem endlich-dimensionalen (unital assoziativ) Algebra ist ein coalgebra, während der Doppel-von einem endlich-dimensionalen coalgebra (unital assoziativ) Algebra ist. Im Allgemeinen kann die Doppel-von einer Algebra kein coalgebra sein.

Der Stichpunkt ist dass in begrenzten Dimensionen.

Diese zu unterscheiden: Im Allgemeinen sind Algebra und coalgebra Doppelbegriffe (das Meinen, dass ihre Axiome Doppel-sind: Kehren Sie die Pfeile um), während für begrenzte Dimensionen sie Doppelgegenstände sind (das Meinen, dass ein coalgebra der Doppelgegenstand einer Algebra und umgekehrt ist).

Wenn A eine endlich-dimensionale unital assoziative K-Algebra ist, dann ist sein K-dual A, aus allen K-Linear-Karten von bis K bestehend, ein coalgebra. Die Multiplikation von A kann als eine geradlinige Karte, der angesehen werden, wenn dualized eine geradlinige Karte nachgibt. Im endlich-dimensionalen Fall, ist dazu natürlich isomorph, so haben wir einen comultiplication auf A definiert. Der counit von A wird durch das Auswerten geradlinigen functionals an 1 gegeben.

Notation von Sweedler

Wenn

sie mit coalgebras arbeitet, vereinfacht eine bestimmte Notation für den comultiplication die Formeln beträchtlich und ist ziemlich populär geworden. In Anbetracht eines Elements c des coalgebra (C, Δ,ε), wissen wir, dass dort Elemente c und c in solchem C dass bestehen

:

In der Notation von Sweedler wird das zu abgekürzt

:

Die Tatsache, dass ε ein counit ist, kann dann mit der folgenden Formel ausgedrückt werden

:

Der coassociativity von Δ kann als ausgedrückt werden

:

In der Notation von Sweedler werden beide dieser Ausdrücke als geschrieben

:

Einige Autoren lassen die Summierungssymbole ebenso weg; in dieser sumless Notation von Sweedler können wir schreiben

:und:

Wann auch immer auf eine Variable mit dem gesenkten und parenthesized Index in einem Ausdruck dieser Art gestoßen wird, wird ein Summierungssymbol für diese Variable einbezogen.

Weitere Konzepte und Tatsachen

Ein coalgebra wird co-commutative genannt, wenn, wo die K-Linear-Karte ist, die durch für den ganzen c, d in C definiert ist. In der sumless Notation von Sweedler ist C co-commutative wenn und nur wenn

:

für den ganzen c in C. (ist Es wichtig zu verstehen, dass die implizierte Summierung hier bedeutend ist: Wir verlangen nicht, dass alle summands gleich nur pairwise sind, dass die Summen, eine viel schwächere Voraussetzung gleich sind.)

Wenn und zwei coalgebras über das dasselbe Feld K sind, dann ist ein coalgebra morphism von dazu eine solche K-Linear-Karte dass und.

In der sumless Notation von Sweedler kann der erste von diesen Eigenschaften als geschrieben werden:

:

Die Zusammensetzung von zwei coalgebra morphisms ist wieder ein coalgebra morphism, und die coalgebras über K zusammen mit diesem Begriff von morphism bilden eine Kategorie.

Ein geradliniger Subraum I in C wird einen coideal wenn Iker (ε) und Δ (I) IC + CI genannt. In diesem Fall der Quotient-Raum wird C/I ein coalgebra auf eine natürliche Mode.

Ein Subraum D C wird einen subcoalgebra wenn Δ (D) DD genannt; in diesem Fall ist D selbst ein coalgebra, mit der Beschränkung von ε zu D als counit.

Der Kern jedes coalgebra morphism f: C  ist C ein coideal in C, und das Image ist ein subcoalgebra von C. Die allgemeinen Isomorphismus-Lehrsätze sind für coalgebras gültig, so zum Beispiel C/ker ist (f) zu im (f) isomorph.

Wenn A eine endlich-dimensionale unital assoziative K-Algebra, dann ist

A ist ein endlich-dimensionaler coalgebra, und tatsächlich entsteht jeder endlich-dimensionale coalgebra auf diese Mode aus einer endlich-dimensionalen Algebra (nämlich vom K-dual des coalgebra). Unter dieser Ähnlichkeit entsprechen die endlich-dimensionalen Ersatzalgebra dem cocommutative endlich-dimensionalen coalgebras. So im endlich-dimensionalen Fall sind die Theorien von Algebra und coalgebras Doppel-; das Studieren von demjenigen ist zum Studieren vom anderen gleichwertig. Jedoch weichen Dinge im unendlich-dimensionalen Fall ab: Während der K-dual jedes coalgebra eine Algebra ist, braucht der K-dual einer unendlich-dimensionalen Algebra kein coalgebra zu sein.

Jeder coalgebra ist die Summe seines endlich-dimensionalen coalgebras, etwas, was es für Algebra nicht wahr ist. Im gewissen Sinne dann sind coalgebras Generalisationen (duals) endlich-dimensionale unital assoziative Algebra.

Entsprechend dem Konzept der Darstellung für Algebra ist ein corepresentation oder comodule.

Zeichen

Siehe auch

• Cofree coalgebra
• comodule
• bialgebra
• Algebra von Hopf

. .

• Kapitel III, Abschnitt 11 in

Außenverbindungen

• William Chin: Eine kurze Einführung in die coalgebra Darstellungstheorie