In der Mathematik gestaltet die Summierung durch Teile die Summierung von Produkten von Folgen in andere Summierungen um, häufig die Berechnung oder (besonders) Bewertung von bestimmten Typen von Summen vereinfachend. Die Summierung durch die Teil-Formel wird manchmal das Lemma von Abel oder Transformation von Abel genannt.

Behauptung

Denken Sie, und sind zwei Folgen. Dann,

Mit dem Vorwärtsunterschied-Maschinenbediener kann es mehr kurz und bündig als festgesetzt werden

Bemerken Sie, dass die Summierung durch Teile eine Entsprechung der Integration durch die Teil-Formel, ist

Bemerken Sie auch, dass, obwohl sich Anwendungen fast immer mit Konvergenz von Folgen befassen, die Behauptung rein algebraisch ist und in jedem Feld arbeiten wird. Es wird auch arbeiten, wenn eine Folge in einem Vektorraum ist, und der andere im relevanten Feld von Skalaren ist.

Newton-Reihe

Die Formel wird manchmal in einem von diesen - ein bisschen verschieden gegeben - bildet

&= f_n \sum_ {k=0} ^n g_k - \sum_ {j=0} ^ {n-1} \left (f_ {j+1} - f_j\right) \sum_ {k=0} ^j g_k {richten} \end </Mathematik> {aus}

die spezielle Fälle von der allgemeineren Regel vertreten

&= \sum_ {i=0} ^ {m-1} \left (-1 \right) ^i f_ {n-i} ^ {(i)} \tilde {G} _ {n-i} ^ {(i+1)} + \left (-1 \right) ^ {M} \sum_ {j=0} ^ {n-M} f_j^ {(M)} \tilde {G} _j^ {(M)}; \end {richten} </Mathematik> {aus}

beider ergeben sich aus wiederholter Anwendung der anfänglichen Formel. Die Hilfsmengen sind Reihe von Newton:

und

Ein bemerkenswerter, ist besonderes Ergebnis die beachtenswerte Identität

Hier, ist der binomische Koeffizient.

Methode

Für zwei gegebene Folgen und, mit, will man die Summe der folgenden Reihe studieren: </br>

</br>

Wenn wir definieren

dann für jeden und </br>

Schließlich

Dieser Prozess, genannt eine Transformation von Abel, kann verwendet werden, um mehrere Kriterien der Konvergenz dafür zu beweisen.

Ähnlichkeit mit einer Integration durch Teile

Die Formel für eine Integration durch Teile ist </br>

Neben den Grenzbedingungen bemerken wir, dass das erste Integral zwei multiplizierte Funktionen enthält, (wird) derjenige, der ins Endintegral integriert wird, und derjenige, der unterschieden wird (wird).

Der Prozess der Transformation von Abel ist ähnlich, da eine der zwei anfänglichen Folgen summiert wird (wird), und der andere ist differenced (wird).

Anwendungen

Wir nehmen das an; sonst ist es offensichtlich, dass das eine auseinander gehende Reihe ist.

Wenn durch eine echte M begrenzt wird und absolut konvergent ist, dann eine konvergente Reihe ist.

Und die Summe der Reihe prüft nach:

Siehe auch

• Konvergente Reihe
• Auseinander gehende Reihe
• Integration durch Teile
• Summierung von Cesàro
• Der Lehrsatz von Abel
• Summe-Formel von Abel