In der mathematischen Analyse stellt der Annäherungslehrsatz von Weierstrass fest, dass jeder dauernden Funktion, die auf einem geschlossenen Zwischenraum [a, b] definiert ist, so nah gleichförmig näher gekommen werden kann wie gewünscht nach einer polynomischen Funktion. Weil Polynome unter den einfachsten Funktionen sind, und weil Computer Polynome direkt bewerten können, hat dieser Lehrsatz sowohl praktische als auch theoretische Relevanz besonders in der polynomischen Interpolation. Die ursprüngliche Version dieses Ergebnisses wurde von Karl Weierstrass 1885 mit dem Weierstrass gegründet verwandeln sich.

Marshall H. Stone hat beträchtlich den Lehrsatz verallgemeinert und hat den Beweis vereinfacht. Sein Ergebnis ist als der Stein-Weierstrass Lehrsatz bekannt. Der Stein-Weierstrass Lehrsatz verallgemeinert den Annäherungslehrsatz von Weierstrass in zwei Richtungen: Statt des echten Zwischenraums [a, b], wird ein willkürlicher Kompaktraum von Hausdorff X, und statt der Algebra von polynomischen Funktionen betrachtet, die Annäherung mit Elementen von allgemeineren Subalgebra von C (X) wird untersucht. Der Stein-Weierstrass Lehrsatz ist ein Lebensergebnis in der Studie der Algebra von dauernden Funktionen auf einem Kompaktraum von Hausdorff.

Weiter gibt es eine Generalisation des Stein-Weierstrass Lehrsatzes, um Räume von Tychonoff nämlich nichtzusammenzupressen, jeder dauernden Funktion auf einem Raum von Tychonoff wird gleichförmig auf Kompaktsätzen durch Algebra des Typs näher gekommen, der im Stein-Weierstrass Lehrsatz erscheint, und unten beschrieben.

Eine verschiedene Generalisation des ursprünglichen Lehrsatzes von Weierstrass ist der Lehrsatz von Mergelyan, der es zu auf bestimmten Teilmengen des komplizierten Flugzeugs definierten Funktionen verallgemeinert.

Annäherungslehrsatz von Weierstrass

Die Behauptung des Annäherungslehrsatzes, wie ursprünglich entdeckt, durch Weierstrass ist wie folgt:

: Nehmen Sie an, dass ƒ eine dauernde Komplex-geschätzte Funktion ist, die auf dem echten Zwischenraum [a, b] definiert ist. Für jeden, dort besteht eine polynomische Funktion p über solchen C, dass für den ganzen x in [a, b], wir haben