In der Mathematik ist eine Kombination eine Weise, mehrere Dinge aus einer größeren Gruppe auszuwählen, wo (verschieden von Versetzungen) Ordnung nicht von Bedeutung ist. In kleineren Fällen ist es möglich, die Zahl von Kombinationen aufzuzählen. Zum Beispiel in Anbetracht drei Frucht, sagen wir ein Apfel, Orange und Birne, gibt es drei Kombinationen zwei, der von diesem Satz gezogen werden kann: ein Apfel und eine Birne; ein Apfel und eine Orange; oder eine Birne und eine Orange.

Mehr formell ist eine K-Kombination eines Satzes S eine Teilmenge von k verschiedenen Elementen von S. Wenn der Satz n Elemente hat, ist die Zahl von K-Kombinationen dem binomischen Koeffizienten gleich

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der mit factorials als geschrieben werden kann, wann auch immer, und der Null wenn ist.

Der Satz aller K-Kombinationen eines Satzes S wird manchmal dadurch angezeigt.

Kombinationen können auf die Kombination von n Dingen genommenen k auf einmal ohne oder mit Wiederholungen verweisen. Im obengenannten Beispiel wurde Wiederholungen nicht erlaubt. Wenn jedoch es möglich wäre, zwei irgendwelcher Art der Frucht zu haben, würde es noch 3 Kombinationen geben: ein mit zwei Äpfeln, ein mit zwei Orangen, und ein mit zwei Birnen.

Mit großen Sätzen wird es notwendig, hoch entwickeltere Mathematik zu verwenden, um die Zahl von Kombinationen zu finden. Zum Beispiel kann eine Schürstange-Hand als ein 5-Kombinationen-(k = 5) Karten von einem 52 Karte-Deck (n = 52) beschrieben werden. Die 5 Karten der Hand sind alle verschieden, und die Ordnung von Karten in der Hand ist nicht von Bedeutung. Es gibt 2,598,960 solche Kombinationen, und die Chance, irgendwelche Hand zu ziehen, ist aufs Geratewohl 1 / 2,598,960.

Zahl von K-Kombinationen

Die Zahl von K-Kombinationen von einem gegebenen ist untergegangen S von n Elementen wird häufig in elementaren combinatorics Texten durch C (n, k), oder durch eine Schwankung solcher als angezeigt, oder sogar (ist die letzte Form auf Französisch, Russisch und polnischen Texten normal). Dieselbe Zahl kommt jedoch in vielen anderen mathematischen Zusammenhängen vor, wo sie dadurch angezeigt wird (häufig gelesen, weil "n k" wählen); namentlich es kommt als Koeffizient in der binomischen Formel, folglich sein Namenbinom-Koeffizient vor. Man kann für alle natürlichen Zahlen k sofort durch die Beziehung definieren

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von dem es dass und für k &gt klar ist; n. Um zu sehen, dass diese Koeffizienten K-Kombinationen von S aufzählen, kann man zuerst eine Sammlung von n verschiedenen Variablen X als etikettiert durch die Elemente s S betrachten, und das Produkt über alle Elemente von S ausbreiten:

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es hat 2 verschiedene Begriffe entsprechend allen Teilmengen von S, jede Teilmenge, die das Produkt der entsprechenden Variablen X gibt. Jetzt alle X setzend, die der unetikettierten Variable X gleich sind, so dass das Produkt wird, wird der Begriff für jede K-Kombination von S X, so dass der Koeffizient dieser Macht im Ergebnis der Zahl solcher K-Kombinationen gleichkommt.

Binomische Koeffizienten können ausführlich auf verschiedene Weisen geschätzt werden. Um sie alle für die Vergrößerungen bis zu zu bekommen, kann man (zusätzlich zu den grundlegenden Fällen bereits gegeben) die recursion Beziehung verwenden

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der = folgt; das führt zum Aufbau des Dreiecks des Pascal.

Für einen individuellen binomischen Koeffizienten zu bestimmen, ist es praktischer, um die Formel zu verwenden

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Der Zähler gibt die Zahl von K-Versetzungen von n, d. h. von Folgen von k verschiedenen Elementen von S, während der Nenner die Zahl solcher K-Versetzungen gibt, die dieselbe K-Kombination geben, wenn die Ordnung ignoriert wird.

Wenn k n/2 überschreitet, enthält die obengenannte Formel Faktoren, die für den Zähler und den Nenner üblich sind, und das Annullieren von ihnen gibt die Beziehung

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Das drückt eine Symmetrie aus, die von der binomischen Formel offensichtlich ist, und auch in Bezug auf K-Kombinationen durch die Einnahme der Ergänzung solch einer Kombination verstanden werden kann, die - Kombination ist.

Schließlich gibt es eine Formel, die diese Symmetrie direkt ausstellt, und das Verdienst hat, leicht zu sein, sich zu erinnern:

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wo n den factorial von n anzeigt. Es wird bei der vorherigen Formel durch das Multiplizieren des Nenners und Zählers dadurch erhalten!, so ist es sicher als eine Methode der Berechnung zu dieser Formel untergeordnet.

Die letzte Formel kann direkt, durch das Betrachten der n Versetzungen aller Elemente von S verstanden werden. Jede solche Versetzung gibt eine K-Kombination durch das Auswählen seiner ersten k Elemente. Es gibt viele Doppelauswahlen: jede vereinigte Versetzung der ersten k Elemente unter einander, und des Finales (n − k) erzeugen Elemente unter einander dieselbe Kombination; das erklärt die Abteilung in der Formel.

Von den obengenannten Formeln folgen Beziehungen zwischen angrenzenden Zahlen im Dreieck des Pascal in allen drei Richtungen:

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:.

Zusammen mit den grundlegenden Fällen erlauben diese aufeinander folgende Berechnung beziehungsweise aller Zahlen von Kombinationen von demselben Satz (eine Reihe im Dreieck des Pascal), von K-Kombinationen von Sätzen von wachsenden Größen, und von Kombinationen mit einer Ergänzung der festen Größe.

Beispiel des Zählens von Kombinationen

Als ein konkretes Beispiel kann man die Zahl von Fünf-Karten-Händen schätzen, die von einem zweiundfünfzig Standardkarte-Deck als möglich sind:

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2,598,960. </math>

Wechselweise kann man die Formel in Bezug auf factorials verwenden und die Faktoren im Zähler gegen Teile der Faktoren im Nenner annullieren, nach dem nur die Multiplikation der restlichen Faktoren erforderlich ist:

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&= \frac {52\times51\times50\times49\times48\times\cancel {47!}} {5\times4\times3\times2\times\cancel {1 }\\times\cancel {47!}} \\

&= \frac {52\times51\times50\times49\times48} {5\times4\times3\times2} \\

&= \frac{(26\times\cancel{2})\times(17\times\cancel{3})\times(10\times\cancel{5})\times49\times(12\times\cancel{4})}{\cancel{5}\times\cancel{4}\times\cancel{3}\times\cancel{2}} \\

&= {26\times17\times10\times49\times12} \\&= 2,598,960.\end {alignat} </Mathematik>

Eine andere alternative Berechnung, die fast zum ersten gleichwertig ist, basiert auf dem Schreiben

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der gibt

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Wenn bewertet, als kann das mit nur die Arithmetik der ganzen Zahl geschätzt werden. Der Grund, dass alle Abteilungen ohne Rest sind, besteht darin, dass die Zwischenergebnisse, die sie erzeugen, selbst binomische Koeffizienten sind.

Das Verwenden der symmetrischen Formel in Bezug auf factorials, ohne Vereinfachungen durchzuführen, gibt eine ziemlich umfassende Berechnung:

:\begin {richten }\aus

{52 \choose 5} &= \frac {n!} {k! (n-k)!} = \frac {52!} {5! (52-5)!} = \frac {52!} {5! 47!} \\

&= \tfrac {80,658,175,170,943,878,571,660,636,856,403,766,975,289,505,440,883,277,824,000,000,000,000} {120\times258,623,241,511,168,180,642,964,355,153,611,979,969,197,632,389,120,000,000,000} \\

&= 2,598,960.

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Das Aufzählen von K-Kombinationen

Man kann alle K-Kombinationen eines gegebenen Satzes von n Elementen in einer festen Ordnung aufzählen, die eine Bijektion von einem Zwischenraum von ganzen Zahlen mit dem Satz jener K-Kombinationen gründet. Das Annehmen wird selbst, zum Beispiel} bestellt, es gibt zwei natürliche Möglichkeiten, um seine K-Kombinationen zu bestellen: durch das Vergleichen ihrer kleinsten Elemente zuerst (als in den Illustrationen oben) oder durch das Vergleichen ihrer größten Elemente zuerst. Die letzte Auswahl hat den Vorteil, dass das Hinzufügen eines neuen größten Elements dazu den anfänglichen Teil der Enumeration nicht ändern, aber gerade die neuen K-Kombinationen des größeren Satzes nach den vorherigen hinzufügen wird. Diesen Prozess wiederholend, kann die Enumeration unbestimmt mit K-Kombinationen von jemals größeren Sätzen erweitert werden. Wenn außerdem die Zwischenräume der ganzen Zahlen gebracht werden, um an 0 anzufangen, dann kann die K-Kombination an einem gegebenen Platz i in der Enumeration leicht von mir geschätzt werden, und die so erhaltene Bijektion ist bekannt als das kombinatorische Zahl-System. Es ist auch bekannt als "Reihe" / "Rangordnung" und "Unrangordnung" in der rechenbetonten Mathematik.

Zahl von Kombinationen mit der Wiederholung

Eine K-Kombination mit Wiederholungen, oder K-Mehrkombination oder Mehrsatz der Größe k von einem Satz S werden durch eine Folge von k nicht notwendigerweise verschiedene Elemente von S gegeben, wo Ordnung nicht in Betracht gezogen wird: Dessen zwei Folgen bei anderem durch das Permutieren der Begriffe erhalten werden kann, definieren denselben Mehrsatz. Mit anderen Worten, die Zahl von Wegen zur Probe k Elemente von einer Reihe von n Elementen, Duplikate (d. h., mit dem Ersatz) berücksichtigend, aber verschiedene Einrichtung (z.B {2,1,2} = {1,2,2}) ignorierend. Wenn S n Elemente hat, wird die Zahl solcher K-Mehrkombinationen auch durch einen binomischen Koeffizienten nämlich durch gegeben

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(der Fall, wo sowohl n als auch k Null sind, ist speziell; der richtige Wert 1 (für den leeren 0-Mehrkombinationen-) wird durch die linke Seite, aber nicht durch die rechte Seite gegeben).

Beispiel des Zählens von Mehrkombinationen

Zum Beispiel, wenn Sie zehn Typen von Berlinern (n = 10) auf einem Menü haben, um davon zu wählen, und Sie drei Berliner wollen (k = 3), kann die Zahl von Weisen zu wählen als berechnet werden

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Die Analogie mit dem K-Kombinationsfall kann durch das Schreiben des Zählers als eine steigende Macht betont werden

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Es gibt eine leichte Weise, das obengenannte Ergebnis zu verstehen. Etikettieren Sie die Elemente von S mit Nummern 0, 1..., und wählen Sie eine K-Kombination aus dem Satz von Zahlen {1, 2...,} (so dass es ungewählte Zahlen gibt). Ändern Sie jetzt diese K-Kombination in eine K-Mehrkombination von S, indem Sie jede (gewählte) Nummer x in der K-Kombination durch das Element von S ersetzen, der durch die Zahl von ungewählten Zahlen weniger etikettiert ist als x. Das ist immer eine Zahl im Rahmen der Etiketten, und es ist leicht zu sehen, dass jede K-Mehrkombination von S für eine Wahl einer K-Kombination erhalten wird.

Ein konkretes Beispiel kann nützlich sein. Nehmen Sie an, dass es 4 Typen von Früchten (Apfel, orange, Birne, Banane) an einem Lebensmittelgeschäft gibt, und Sie 12 Stücke der Frucht kaufen wollen. So n = 4 und k = 12. Verwenden Sie Etikett 0 für Äpfel, 1 für Orangen, 2 für Birnen, und 3 für Bananen. Eine Auswahl an 12 Früchten kann in eine Auswahl an 12 verschiedenen Zahlen in der Reihe 1..., 15 durch das Auswählen so vieler Konsekutivzahlen übersetzt werden, die von 1 anfangen, wie es Äpfel in der Auswahl gibt, dann lassen Sie eine Zahl aus, setzen Sie fort, als viele Konsekutivzahlen zu wählen, weil es ausgewählte Orangen gibt, lassen Sie wieder eine Zahl andererseits für Birnen aus, lassen Sie diejenige wieder aus, und wählen Sie schließlich die restlichen Zahlen (als viele, weil es Bananen ausgewählt gibt). Zum Beispiel für 2 Äpfel, 7 Orangen, 0 Birnen und 3 Bananen, werden die gewählten Zahlen 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 14, 15 sein. Um die Früchte wieder zu erlangen, werden die Nummern 1, 2 (nicht vorangegangen durch irgendwelche ungewählten Zahlen) durch Äpfel, die Nummern 4, 5 ersetzt. .. 10 (vorangegangen durch eine ungewählte Zahl: 3) durch Orangen und die Nummern 13, 14, 15 (vorangegangen durch drei ungewählte Zahlen: 3, 11, und 12) durch Bananen; es gibt keine gewählten Zahlen, die durch genau 2 ungewählte Zahlen, und deshalb keine Birnen in der Auswahl vorangegangen sind.

Die Gesamtzahl von möglichen Auswahlen ist

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Zahl von K-Kombinationen für den ganzen k

Die Zahl von K-Kombinationen für den ganzen k ist die Summe der n-ten Reihe (von 0 zählend), von den binomischen Koeffizienten. Diese Kombinationen werden durch die 1 Ziffern des Satzes der Basis 2 Zahlen aufgezählt, die von 0 bis zählen, wo jede Ziffer-Position ein Artikel vom Satz von n ist.

Wahrscheinlichkeit: Stichprobenerhebung einer zufälligen Kombination

Es gibt verschiedene Algorithmen, um eine zufällige Kombination von einem gegebenen Satz oder Liste auszuwählen. Verwerfungsstichprobenerhebung ist für große Beispielgrößen äußerst langsam. Eine Weise, eine K-Kombination effizient von einer Bevölkerung der Größe n auszuwählen, soll über jedes Element der Bevölkerung wiederholen, und an jedem Schritt picken dieses Element mit einer sich dynamisch ändernden Wahrscheinlichkeit dessen auf.

Siehe auch

• Kombinatorisches Zahl-System
• Combinatorics
• Mehrsatz
• Binomischer Koeffizient
• Versetzung
• Liste von Versetzungsthemen
• Teilmenge
• Wahrscheinlichkeit
• Das Dreieck des Pascal

Links

• C codieren, um alle Kombinationen von n Elementen gewählt als k zu erzeugen
• Viele Typen Common der Versetzung und Kombinationsmatheprobleme, mit ausführlichen Lösungen
• Die Unbekannte Formel Für Kombinationen, wenn Wahlen wiederholt werden können und Ordnung, ist NICHT von Bedeutung
• http://www.nitte.ac.in/userfiles/file/Combinations%20with%20Repetitions.pdf Kombinationen mit Wiederholungen (durch: Akshatha AG und Smitha B)