In der Mathematik wird ein Element x eines Rings R nilpotent genannt, wenn dort eine positive ganze Zahl n solch dass x = 0 besteht.

Der Begriff wurde von Benjamin Peirce im Zusammenhang von Elementen einer Algebra eingeführt, die, wenn erhoben, zu einer Macht verschwinden.

Beispiele

• Diese Definition kann insbesondere auf das Quadrat matrices angewandt werden. Die Matrix

::

0&1&0 \\

0&0&1 \\

0&0&0 \end {pmatrix }\

</Mathematik>

:is nilpotent weil = 0. Sieh nilpotent Matrix für mehr.

• Im Faktor-RingZ/9Z ist die Gleichwertigkeitsklasse 3 nilpotent, weil 3 zu 0 modulo 9 kongruent ist.
• Nehmen Sie an, dass zwei Elemente a, b in einem (nichtauswechselbaren) Ring R ab = 0 befriedigen. Dann ist das Element c = ba nilpotent (wenn Nichtnull) als c = (ba) = b (ab) = 0. Ein Beispiel mit matrices (für a, b):

::

0&1 \\

0&1

\end {pmatrix}, \; \;

B = \begin {pmatrix }\

0&1 \\

0&0

\end {pmatrix}.

</Mathematik>

: Hier AB = 0, BA = B.

• Der Ring von coquaternions enthält einen Kegel von nilpotents.

Eigenschaften

Kein nilpotent Element kann eine Einheit sein (außer im trivialen Ring {0}, der nur ein einzelne Element 0 = 1 hat). Die ganze Nichtnull nilpotent Elemente ist Nullteiler.

Eine n-by-n Matrix mit Einträgen von einem Feld ist nilpotent, wenn, und nur wenn sein charakteristisches Polynom t ist.

Die nilpotent Elemente von einem Ersatzring bilden ein Ideal; das ist eine Folge des binomischen Lehrsatzes. Dieses Ideal ist der nilradical des Rings. Jedes nilpotent Element in einem Ersatzring wird in jedem Hauptideal dieses Rings enthalten, und tatsächlich ist die Kreuzung aller dieser Hauptideale dem nilradical gleich.

Wenn x nilpotent, dann 1 &minus ist; x ist eine Einheit, weil x = 0 zur Folge hat

:

Weiter, wenn x nilpotent ist, dann 1 + ist x auch eine Einheit durch die ähnliche Gleichheit

:

Nilpotency in der Physik

Ein operand Q, der Q = 0 befriedigt, ist nilpotent. Zahlen von Grassmann, die einem Pfad integrierte Darstellung für Felder von Fermionic erlauben, sind nilpotents, da ihre Quadrate verschwinden. Die BRST-Anklage ist ein wichtiges Beispiel in der Physik.

Da geradlinige Maschinenbediener eine assoziative Algebra und so einen Ring bilden, ist das ein spezieller Fall der anfänglichen Definition. Mehr allgemein, im Hinblick auf die obengenannten Definitionen, ist ein Maschinenbediener Q nilpotent, wenn es solchen nN dass Q = 0 (die Nullfunktion) gibt. So ist eine geradlinige Karte nilpotent iff es hat eine nilpotent Matrix in einer Basis. Ein anderes Beispiel dafür ist die Außenableitung (wieder mit n = 2). Beide, werden auch durch die Supersymmetrie und Morsezeichen-Theorie, wie gezeigt, von Edward Witten in einem berühmten Artikel verbunden.

Das elektromagnetische Feld einer Flugzeug-Welle ohne Quellen ist nilpotent, wenn es in Bezug auf die Algebra des physischen Raums ausgedrückt wird.

Algebraischer nilpotents

Die zweidimensionalen Doppelzahlen enthalten einen nilpotent Raum. Andere Algebra und Zahlen, die nilpotent Räume enthalten, schließen Spalt-quaternions (coquaternions), Spalt-octonions, ein

biquaternions und Komplex octonions.

Siehe auch

• Idempotent
• Unipotent
• Reduzierter Ring