: Für eine Matrix, deren Elemente stochastisch sind, sieh Zufällige Matrix

In der Mathematik ist eine stochastische Matrix (auch genannte Wahrscheinlichkeitsmatrix, Übergang-Matrix, Ersatz-Matrix oder Matrix von Markov) eine Matrix, die verwendet ist, um die Übergänge einer Kette von Markov zu beschreiben. Es hat Gebrauch in Wahrscheinlichkeitstheorie, Statistik und geradliniger Algebra, sowie Informatik gefunden. Es gibt mehrere verschiedene Definitionen und Typen von stochastischem matrices;

Stochastische Matrix des Rechts von:A ist eine Quadratmatrix jede bestehen dessen Reihen aus nichtnegativen reellen Zahlen mit jeder Reihe, die zu 1 resümiert.

:A ist abgereist stochastische Matrix ist eine Quadratmatrix jede bestehen dessen Säulen aus nichtnegativen reellen Zahlen mit jeder Säule, die zu 1 resümiert.

:A doppelt stochastische Matrix ist eine Quadratmatrix, wo alle Einträge nichtnegativ sind und alle Reihen und die ganze Säulensumme zu 1.

In derselben Ader kann man einen stochastischen Vektoren als ein Vektor definieren, dessen Elemente aus nichtnegativen reellen Zahlen bestehen, die zu 1 resümieren. So ist jede Reihe (oder Säule) einer stochastischen Matrix ein Wahrscheinlichkeitsvektor, die manchmal stochastische Vektoren genannt werden.

Eine allgemeine Tagung in der englischen Sprachmathematik-Literatur ist, Zeilenvektoren von Wahrscheinlichkeiten und richtigem stochastischem matrices aber nicht Spaltenvektoren von Wahrscheinlichkeiten zu verwenden, und hat stochastischen matrices verlassen; dieser Artikel folgt dieser Tagung.

Definition und Eigenschaften

Eine stochastische Matrix beschreibt eine Kette von Markov über einen Zustandsraum S.

Wenn die Wahrscheinlichkeit des Bewegens von zu in einem Zeitsprung ist, wird die stochastische Matrix P durch das Verwenden als die Reihe und das Säulenelement, z.B, gegeben

:

p_ {2,1} &p_ {2,2} punktiert &\\dots&p_ {2, j} &\\\\

\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\ddots \\

p_ {ich, 1} &p_ {ich, 2} &\\dots&p_ {punktiere ich, j} &\\\\

\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\ddots

\end {Matrix-}\\Recht). </Mathematik>

Da die Wahrscheinlichkeit des Wechselns vom Staat bis einen Staat 1 sein muss, ist diese Matrix eine richtige stochastische Matrix, so dass

:

Die Wahrscheinlichkeit des Wechselns von zu in zwei Schritten wird dann durch das Element des Quadrats gegeben:

:

Im Allgemeinen wird durch den Wahrscheinlichkeitsübergang des Gehens von jedem Staat bis einen anderen Staat in einer begrenzten Kette von Markov, die durch die Matrix in K-Schritten gegeben ist, gegeben.

Ein anfänglicher Vertrieb wird als ein Zeilenvektor gegeben.

Ein stationärer Wahrscheinlichkeitsvektor wird als ein Vektor definiert, der sich laut der Anwendung der Übergang-Matrix nicht ändert; d. h. es wird als ein linker Eigenvektor der Wahrscheinlichkeitsmatrix definiert, die mit eigenvalue 1 vereinigt ist:

:

Der Perron-Frobenius Lehrsatz stellt sicher, dass jede stochastische Matrix solch einen Vektoren hat, und dass der größte absolute Wert eines eigenvalue immer 1 ist. Im Allgemeinen kann es solche mehreren Vektoren geben. Jedoch, für eine Matrix mit ausschließlich positiven Einträgen, ist dieser Vektor einzigartig und kann durch das Bemerken geschätzt werden, dass für irgendwelchen wir die folgende Grenze, haben

:

wo das Element des Zeilenvektoren ist. Das deutet an, dass die langfristige Wahrscheinlichkeit, in einem Staat zu sein, des anfänglichen Staates unabhängig ist. Dass jede dieser zwei Berechnung ein gibt und derselbe stationäre Vektor eine Form eines ergodic Lehrsatzes ist, der in einem großen Angebot an dissipative dynamischen Systemen allgemein wahr ist: Das System entwickelt sich mit der Zeit zu einem stationären Staat. Intuitiv vertritt eine stochastische Matrix eine Kette von Markov ohne Becken-Staaten, das deutet an, dass die Anwendung der stochastischen Matrix zu einem Wahrscheinlichkeitsvertrieb die Wahrscheinlichkeitsmasse des ursprünglichen Vertriebs neu verteilen würde, während sie seine Gesamtmasse bewahrt. Wenn dieser Prozess wiederholt angewandt wird, läuft der Vertrieb zu einem stationären Vertrieb für die Kette von Markov zusammen.

Beispiel: die Katze und Maus

Nehmen Sie an, dass Sie einen Zeitmesser und eine Reihe von fünf angrenzenden Kästen, mit einer Katze im ersten Kasten und einer Maus im fünften Kasten an der Zeitnull haben. Die Katze und die Maus beider Sprung zu einem zufälligen angrenzenden Kasten, wenn der Zeitmesser vorwärts geht. Z.B, wenn die Katze im zweiten Kasten und der Maus in der vierten ist, ist die Wahrscheinlichkeit ein Viertel, dass die Katze im ersten Kasten und der Maus im fünften sein wird, nachdem der Zeitmesser vorwärts geht. Wenn die Katze im ersten Kasten und der Maus in der fünften ist, ist die Wahrscheinlichkeit diejenige, dass die Katze im Kasten zwei sein wird und die Maus im Kasten vier sein wird, nachdem der Zeitmesser vorwärts geht. Die Katze isst die Maus, wenn beide in demselben Kasten enden, an der Zeit das Spiel endet. Die zufällige Variable K gibt die Zahl von Zeitsprüngen die Maus bleibt im Spiel.

Die Kette von Markov, die dieses Spiel vertritt, enthält die folgenden fünf Staaten:

• Staats-1: Katze im ersten Kasten, Maus im dritten Kasten: (1, 3)
• Staats-2: Katze im ersten Kasten, Maus im fünften Kasten: (1, 5)
• Staats-3: Katze im zweiten Kasten, Maus im vierten Kasten: (2, 4)
• Staats-4: Katze im dritten Kasten, Maus im fünften Kasten: (3, 5)
• Staats-5: Die Katze hat die Maus und das beendete Spiel gegessen: F.

Wir verwenden eine stochastische Matrix, um die Übergangswahrscheinlichkeiten dieses Systems, zu vertreten

:

\begin {bmatrix }\

0 & 0 & 1/2 & 0 & 1/2 \\

0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\

1/4 & 1/4 & 0 & 1/4 & 1/4 \\

0 & 0 & 1/2 & 0 & 1/2 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 1

\end {bmatrix}. </Mathematik>

Langfristige Durchschnitte

Wie 5 feststellen, ist ein fesselnder Staat der langfristige durchschnittliche Vektor. Unabhängig von den anfänglichen Bedingungen wird die Katze schließlich die Maus fangen.

Darstellung des Phase-Typs

Da das Spiel fesselnde staatliche 5 hat, ist der Vertrieb der Zeit zur Absorption getrennter verteilter Phase-Typ. Nehmen Sie die Systemanfänge in staatlichen 2 an, die durch den Vektoren vertreten sind. Um die Berechnungen zu vereinfachen, setzen Sie fünf fest kann ignoriert werden. Lassen Sie

:

und entfernen Sie staatliche fünf, um eine substochastische Matrix, zu machen

:

0 & 0 & 1/2 & 0 \\

0 & 0 & 1 & 0 \\

1/4 & 1/4 & 0 & 1/4 \\

0 & 0 & 1/2 & 0 \\

\end {bmatrix }\\, </Mathematik> damit

\begin {bmatrix} 2.75 \\4.5 \\3.5 \\2.75\end {bmatrix }\\, </Mathematik>

wo die Identitätsmatrix ist, und eine Säulenmatrix aller vertritt.

Die erwartete Zeit des Überlebens der Maus wird durch gegeben

:

Höhere Ordnungsmomente werden durch gegeben

:

Siehe auch

• Die Ungleichheit von Muirhead
• Perron-Frobenius Lehrsatz
• Doppelt stochastische Matrix
• Getrennter Vertrieb des Phase-Typs
• Automat von Probabilistic
• Modelle der DNA-Evolution

• G. Latouche, V. Ramaswami. Einführung in Analytische Matrixmethoden im Stochastischen Modellieren, 1. Ausgabe. Kapitel 2: PH-Vertrieb; ASA SIAM, 1999.