In der Mathematik, und hauptsächlich Zahlentheorie erweitert das-adic Zahl-System für jede Primzahl die gewöhnliche Arithmetik der rationalen Zahlen in einem Weg, der von der Erweiterung des Systems der rationalen Zahl zur reellen Zahl und der Systeme der komplexen Zahl verschieden ist. Die Erweiterung wird durch eine alternative Interpretation des Konzepts des absoluten Werts erreicht.

- Adic-Zahlen wurden zuerst von Kurt Hensel 1897 beschrieben, obwohl im Nachhinein etwas von der früheren Arbeit von Kummer als implizit interpretiert werden kann-adic Zahlen verwendend. Die-adic Zahlen wurden in erster Linie durch einen Versuch motiviert, die Ideen und Techniken von Macht-Reihe-Methoden in die Zahlentheorie zu bringen. Ihr Einfluss streckt sich jetzt weit außer dem aus. Zum Beispiel stellt das Feld der-adic Analyse im Wesentlichen eine alternative Form der Rechnung zur Verfügung.

Mehr formell, für eine gegebene Blüte, ist Feld Q von-adic Zahlen eine Vollziehung der rationalen Zahlen. Feld Q wird auch gegeben eine Topologie ist auf einen metrischen zurückzuführen gewesen, der selbst aus einer alternativen Schätzung auf den rationalen Zahlen abgeleitet wird. Dieser metrische Raum ist im Sinn abgeschlossen, dass jede Cauchyfolge zu einem Punkt in Q zusammenläuft. Das ist, was die Entwicklung der Rechnung auf Q erlaubt, und es die Wechselwirkung dieser analytischen und algebraischen Struktur ist, die den-adic Zahl-Systemen ihre Macht und Dienstprogramm gibt.

In p-adic ist eine Variable und kann durch eine Konstante (das Tragen, zum Beispiel, "die 2-adic Zahlen") oder eine andere Platzhalter-Variable (für Ausdrücke wie "der -adic Zahlen") ersetzt werden.

Einführung

Diese Abteilung ist eine informelle Einführung in p-adic Zahlen mit Beispielen vom Ring von 10-adic Zahlen. (Basis 10 wurde gewählt, um die Analogie mit Dezimalzahlen hervorzuheben. Die 10-adic Zahlen werden allgemein in der Mathematik nicht verwendet: Seitdem 10 ist nicht erst, die 10-adics sind nicht ein Feld.) Mehr formelle Aufbauten und Eigenschaften werden unten gegeben.

In der Standarddezimaldarstellung haben fast alle reellen Zahlen keine endende Dezimaldarstellung. Zum Beispiel wird 1/3 als eine nichtendende Dezimalzahl wie folgt vertreten

:

Einer reellen Zahl kann zu jedem erforderlichen Grad der Präzision durch eine endende Dezimalzahl näher gekommen werden. Wenn sich zwei dezimale Vergrößerungen nur unterscheiden, nach dem 10. dezimalen Platz sind sie ganz einander nah; und wenn sie sich nur unterscheiden, nach dem 20. dezimalen Platz sind sie noch näher.

10-adic Zahlen verwenden eine ähnliche nichtendende Vergrößerung, aber mit einem verschiedenen Konzept "der Nähe" hat einen metrischen genannt. Wohingegen zwei dezimale Vergrößerungen einander nah sind, wenn ihr Unterschied eine große negative Macht 10 ist, sind zwei 10-adic Vergrößerungen nah, wenn ihr Unterschied eine große positive Macht 10 ist. So 3333 und 4333, die sich durch 10 unterscheiden, sind im 10-adic metrischen, und 33333333 nah, und 43333333 sind noch näher, sich durch 10 unterscheidend.

Genauer kann eine rationale Zahl als ausgedrückt werden, wo und positive ganze Zahlen sind und zu und zu 10 relativ erst ist. Für jeden dort besteht das maximale solches, dass diese Darstellung möglich ist. Lassen Sie die 10-adic Norm, zu sein

:

: |0 | = 0.

Deshalb, im 10-adic metrischen, definierten als zwischen Zahlen und, wird die folgende Folge von Zahlen näher und näher an 1:

: so.

: so.

: so.: so.

und diese Folge in seine Grenze bringend, können wir sagen, dass die 10-adic Vergrößerung 1 ist

:

In dieser Notation können 10-adic Vergrößerungen unbestimmt nach links im Gegensatz zu dezimalen Vergrößerungen erweitert werden, die unbestimmt nach rechts erweitert werden können. Bemerken Sie, dass das nicht die einzige Weise ist zu schreiben, dass-adic Zahlen - für Alternativen die Notationsabteilung unten sehen.

Mehr formell kann eine 10-adic Zahl als definiert werden

:

wo jeder einer Ziffer zu sein, die vom Satz {0, 1,  … , 9} und der anfängliche Index genommen ist, positiv, negativ sein kann oder 0, aber begrenzt sein muss. Aus dieser Definition ist es klar, dass positive ganze Zahlen und positive rationale Zahlen mit dem Begrenzen dezimaler Vergrößerungen endende 10-adic Vergrößerungen haben werden, die zu ihren dezimalen Vergrößerungen identisch sind. Andere Zahlen können nichtendende 10-adic Vergrößerungen haben.

Es ist möglich, Hinzufügung, Subtraktion und Multiplikation auf 10-adic Zahlen auf eine konsequente Weise zu definieren, so dass die 10-adic Zahlen einen Ersatzring bilden.

Wir können 10-adic Vergrößerungen für negative Zahlen wie folgt schaffen

:::

und Bruchteile, die nichtendende dezimale Vergrößerungen auch haben, haben nichtendende 10-adic Vergrößerungen. Zum Beispiel

:

\dfrac {10^ {12}-1} {7} =142857142857;

\dfrac {10^ {18}-1} {7} =142857142857142857 </Mathematik>

:::

Das letzte Beispiel verallgemeinernd, können wir eine 10-adic Vergrößerung für jede rationale Zahl solch finden, der co-prime zu 10 ist; der Lehrsatz von Euler versichert dass, wenn co-prime zu 10 ist, dann gibt es einen solchen, der ein Vielfache dessen ist.

Jedoch, der Ring von 10-adic Zahlen haben einen Hauptnachteil. Es ist möglich, Paare von 10-adic Nichtnullzahlen zu finden, deren Produkt 0 ist. Mit anderen Worten ist der Ring von 10-adic Zahlen nicht ein integriertes Gebiet, weil sie Nullteiler enthalten. Das erweist sich zu sein, weil 10 eine zerlegbare Zahl ist, die nicht eine Macht einer Blüte ist. Dieses Problem wird durch das Verwenden einer Primzahl als die Basis des Zahl-Systems statt 10 vermieden.

P-Adic-Vergrößerungen

Wenn eine feste Primzahl ist, dann kann jede positive ganze Zahl in einer Grundvergrößerung in der Form geschrieben werden

:

wo ganze Zahlen in {0,  … , } sind. Zum Beispiel ist die Binärentwicklung 35 1 · 2 + 0 · 2 + 0 · 2 + 0 · 2 + 1 · 2 + 1 · 2, häufig geschrieben in der Schnellschrift-Notation 100011.

Die vertraute Annäherung an das Verlängern dieser Beschreibung zum größeren Gebiet des rationals (und, schließlich, zum reals) soll Summen der Form verwenden:

:

Eine bestimmte Bedeutung wird diesen auf Cauchyfolgen gestützten Summen, mit dem absoluten Wert als metrisch gegeben. So, zum Beispiel, kann 1/3 in der Basis 5 als die Grenze der Folge 0.1313131313 ausgedrückt werden.... In dieser Formulierung sind die ganzen Zahlen genau jene Zahlen für der = 0 für alles ich

wo k einige (nicht notwendigerweise positiv) ganze Zahl ist, erhalten wir die-adic Vergrößerungen, die Feld Q von-adic Zahlen definieren. Jene-adic Zahlen für der = 0 für alles ich, angezeigter Z. (Um mit dem Ring von ganzen Zahlen modulo nicht verwirrt zu sein, der auch manchmal Z geschrieben wird. Um Zweideutigkeit zu vermeiden, werden Z/pZ oder Z / (p) häufig verwendet, um die ganzen Zahlen modulo zu vertreten.)

Intuitiv, im Vergleich mit-adic Vergrößerungen, die sich nach rechts als Summen von jemals kleineren, immer negativeren Mächten der Basis ausstrecken (wie für die reellen Zahlen, wie beschrieben, oben getan wird), sind das Zahlen, deren-adic Vergrößerung nach links erlaubt werden, für immer weiterzugehen. Zum Beispiel ist die-adic Vergrößerung von 1/3 in der Basis 5 … 1313132, d. h. die Grenze der Folge 2, 32, 132, 3132, 13132, 313132, 1313132, …. Das Multiplizieren dieser unendlichen Summe durch 3 in der Basis 5 gibt … 0000001. Da es keine negativen Mächte 5 in dieser Vergrößerung von 1/3 gibt (d. h. keine Zahlen rechts vom dezimalen Punkt), sehen wir, dass 1/3 eine-adic ganze Zahl in der Basis 5 ist.

Während es möglich ist, diese Annäherung zu verwenden, um-adic Zahlen streng zu definieren und ihre Eigenschaften zu erforschen, ebenso im Fall von reellen Zahlen werden andere Annäherungen allgemein bevorzugt. Folglich wollen wir einen Begriff der unendlichen Summe definieren, die diese Ausdrücke bedeutungsvoll macht, und das durch die Einführung des-adic metrischen am leichtesten vollbracht wird. Zwei verschiedene, aber gleichwertige Lösungen dieses Problems werden in der Bauabteilung unten präsentiert.

Notation

Es gibt mehrere verschiedene Vereinbarung, um-adic Vergrößerungen zu schreiben. Bis jetzt hat dieser Artikel eine Notation für-adic Vergrößerungen in der Mächte der Zunahme vom Recht bis linken verwendet. Mit dieser Notation des Rechts-zu-link wird die 3-adic Vergrößerung dessen zum Beispiel als geschrieben

:Wenn

man Arithmetik in dieser Notation durchführt, werden Ziffern nach links getragen. Es ist auch möglich-adic Vergrößerungen zu schreiben, so dass die Mächte der Zunahme vom linken bis Recht und Ziffern nach rechts getragen werden. Mit dieser zum Recht nach links Notation ist die 3-adic Vergrößerung dessen

:

- Adic-Vergrößerungen können mit anderen Sätzen von Ziffern statt {0, 1,  …, } geschrieben werden. Zum Beispiel kann die 3-adic Vergrößerung / damit geschrieben werden hat dreifältige Ziffern {0,1} als erwogen

:

Tatsächlich kann jeder Satz von ganzen Zahlen, die in verschiedenen Rückstand-Klassen modulo sind, als-adic Ziffern verwendet werden. In der Zahlentheorie werden Ziffern von Teichmüller manchmal verwendet.

Aufbauten

Analytische Annäherung

Die reellen Zahlen können als Gleichwertigkeitsklassen von Cauchyfolgen von rationalen Zahlen definiert werden; das erlaubt uns zum Beispiel, schreiben Sie 1 als 1.000 … = 0.999 …. Die Definition einer Cauchyfolge verlässt sich auf das metrische gewählt aber so, wenn wir einen verschiedenen wählen, können wir Zahlen außer den reellen Zahlen bauen. Das übliche metrische, das die reellen Zahlen nachgibt, wird das Euklidische metrische genannt.

Für eine gegebene Blüte definieren wir den p-adic absoluten Wert in Q wie folgt:

für jede rationale Nichtnullzahl gibt es eine einzigartige ganze Zahl, die uns erlaubt zu schreiben, wo keine der ganzen Zahlen a und b dadurch teilbar ist. Wenn der Zähler oder Nenner in niedrigsten Begriffen als ein Faktor nicht enthalten, wird 0 sein. Definieren Sie jetzt. Wir definieren auch.

Zum Beispiel mit

::::::

Diese Definition dessen hat die Wirkung dass hohe Mächte von "kleinen" gewordenen.

Durch den Hauptsatz der Arithmetik für eine gegebene rationale Nichtnullzahl x gibt es einen einzigartigen begrenzten Satz der verschiedenen Blüte und eine entsprechende Folge von ganzen solchen Nichtnullzahlen dass:

:

Es folgt dann dem für alle, und für jeden anderen ersten

Es ist ein Lehrsatz von Ostrowski, dass jeder absolute Wert auf Q entweder zum Euklidischen absoluten Wert, dem trivialen absoluten Wert, oder zu einem der-adic absoluten Werte für eine Blüte gleichwertig ist. Der-adic absolute Wert definiert einen metrischen d auf Q durch das Setzen

:

Feld Q von-adic Zahlen kann dann als die Vollziehung des metrischen Raums (Q, d) definiert werden; seine Elemente sind Gleichwertigkeitsklassen von Cauchyfolgen, wo zwei Folgen gleichwertig genannt werden, wenn ihr Unterschied zur Null zusammenläuft. Auf diese Weise erhalten wir einen ganzen metrischen Raum, der auch ein Feld ist und Q enthält.

Es kann gezeigt werden, dass in Q jedes Element x auf eine einzigartige Weise als geschrieben werden kann

:

wo k eine solche ganze Zahl dass ein  0 und jeder ist in {0,  …, } zu sein. Diese Reihe läuft zu x in Bezug auf den metrischen d zusammen.

Mit diesem absoluten Wert ist Feld Q ein lokales Feld.

Algebraische Annäherung

In der algebraischen Annäherung definieren wir zuerst den Ring von-adic ganzen Zahlen, und bauen dann das Feld von Bruchteilen dieses Rings, um das Feld von-adic Zahlen zu bekommen.

Wir fangen mit der umgekehrten Grenze der Ringe an

Z/pZ (sieh Modularithmetik): Eine-adic ganze Zahl ist dann eine Folge

(a) solch dass in zu sein

Z/pZ, und wenn n  M, dann

ein  (mod p).

Jede natürliche Zahl definiert M solch eine Folge (a) durch = M mod p und kann deshalb als eine-adic ganze Zahl betrachtet werden. Zum Beispiel in diesem Fall 35 weil würde eine 2-adic ganze Zahl als die Folge (1, 3, 3, 3, 3, 35, 35, 35, …) geschrieben.

Die Maschinenbediener des Rings belaufen sich auf die pointwise Hinzufügung und Multiplikation solcher Folgen. Das wird gut definiert, weil Hinzufügung und Multiplikation mit dem "mod" Maschinenbediener pendeln, sieh Modularithmetik.

Außerdem hat jede Folge (a), wo das erste Element nicht 0 ist, ein Gegenteil. In diesem Fall, für jeden n, sind a und p coprime, und so sind a und p relativ erst. Deshalb ist jeder ein Haben eines Gegenteils mod p und der Folge dieser Gegenteile, (b), das gesuchte Gegenteil von (a). Denken Sie zum Beispiel die p-adic ganze Zahl entsprechend der natürlichen Zahl 7; als eine 2-adic Zahl würde es (1, 3, 7, 7, 7, 7, 7...) geschrieben. Das Gegenteil dieses Gegenstands würde als eine ständig steigende Folge geschrieben, die (1, 3, 7, 7, 23, 55, 55, 183, 439, 439, 1463...) beginnt. Natürlich hat diese 2-adic ganze Zahl keine entsprechende natürliche Zahl.

Jede solche Folge kann als eine Reihe der Form wechselweise geschrieben werden, die wir oben gedacht haben. Zum Beispiel, im 3-adics, kann die Folge (2, 8, 8, 35, 35...) geschrieben werden, weil Die teilweisen Summen dieser letzten Reihe die Elemente der gegebenen Folge sind.

Der Ring von-adic ganzen Zahlen hat keine Nullteiler, so können wir das Feld von Bruchteilen nehmen, um Feld Q von-adic Zahlen zu bekommen. Bemerken Sie, dass in diesem Feld von Bruchteilen jede nichtganze Zahl-adic Zahl als mit einer natürlichen Zahl n und einer Einheit in den-adic ganzen Zahlen u einzigartig geschrieben werden kann. Das bedeutet das

:

Bemerken Sie, dass, wo eine multiplicative Teilmenge ist (enthält die Einheit und geschlossen unter der Multiplikation), eines Ersatzrings mit der Einheit, ein algebraischer Aufbau genannt den Ring von Bruchteilen dadurch ist.

Eigenschaften

Der Ring von-adic ganzen Zahlen ist die umgekehrte Grenze der begrenzten Ringe Z/pZ, aber ist dennoch unzählbar, und hat den cardinality des Kontinuums. Entsprechend ist Feld Q unzählbar. Der Endomorphismus-Ring von Prüfer - Gruppe der Reihe n, angezeigter Z (p), ist der Ring n&times;n matrices über die-adic ganzen Zahlen; das wird manchmal das Modul von Tate genannt.

Die-adic Zahlen enthalten die rationalen Zahlen Q und bilden ein Feld der Eigenschaft 0. Dieses Feld kann in ein bestelltes Feld nicht verwandelt werden.

Lassen Sie die Topologie τ auf Z definiert werden, indem Sie als eine Basis alle Sätze der Form für λ in Z und in N\nehmen. Dann ist Z ein compactification von Z, unter der abgeleiteten Topologie (es ist nicht ein compactification von Z mit seiner üblichen Topologie). Die Verhältnistopologie auf Z als eine Teilmenge von Z wird die-adic Topologie auf Z genannt.

Die Topologie des Satzes von-adic ganzen Zahlen ist die eines Kantor-Satzes; die Topologie des Satzes von-adic Zahlen ist die eines Kantor-Satzes minus ein Punkt (der Unendlichkeit natürlich genannt würde). Insbesondere der Raum von-adic ganzen Zahlen ist kompakt, während der Raum von-adic Zahlen nicht ist; es ist nur lokal kompakt.

Als metrische Räume sind sowohl die-adic ganzen Zahlen als auch die-adic Zahlen abgeschlossen.

Die reellen Zahlen haben nur eine einzelne richtige algebraische Erweiterung, die komplexen Zahlen; mit anderen Worten wird diese quadratische Erweiterung bereits algebraisch geschlossen. Im Vergleich hat der algebraische Verschluss der-adic Zahlen unendlichen Grad. Außerdem hat Q ungeheuer viele inequivalent algebraische Erweiterungen. Auch dem Fall von reellen Zahlen gegenüberstellend, ist der algebraische Verschluss von Q nicht (metrisch) abgeschlossen. Seine (metrische) Vollziehung wird C genannt. Hier wird ein Ende erreicht, weil C algebraisch geschlossen wird.

Feld C ist nach Feld C von komplexen Zahlen isomorph, so können wir C als die mit einem exotischen metrischen ausgestatteten komplexen Zahlen betrachten. Es sollte bemerkt werden, dass sich der Beweis der Existenz solch eines Feldisomorphismus auf das Axiom der Wahl verlässt, und kein ausführliches Beispiel solch eines Isomorphismus zur Verfügung stellt.

Die-adic Zahlen enthalten den th cyclotomic Feld , wenn, und nur wenn sich teilt. Zum Beispiel ist der th cyclotomic Feld ein Teilfeld von Q wenn und nur wenn n = 1, 2, 3, 4, 6, oder 12. Insbesondere es gibt keinen multiplicative - Verdrehung in den-adic Zahlen, wenn. Außerdem 1 ist das einzige nichttriviale Verdrehungselement in 2-adic Zahlen.

In Anbetracht einer natürlichen Zahl k ist der Index der multiplicative Gruppe der k-th Mächte der Nichtnullelemente von Q in der multiplicative Gruppe von Q begrenzt.

Die Nummer e, die als die Summe von Gegenstücken von factorials definiert ist, ist nicht ein Mitglied jedes-adic Feldes; aber ist eine-adic Zahl für alle außer 2, für den mindestens die vierte Macht nehmen muss. (So ist eine Zahl mit ähnlichen Eigenschaften als - nämlich eine th Wurzel - ein Mitglied des algebraischen Verschlusses der-adic Zahlen für alle.)

Über den reals sind die einzigen Funktionen, deren Ableitung Null ist, die unveränderlichen Funktionen. Das ist über Q nicht wahr. Zum Beispiel, die Funktion

:f: Q  Q, f (x) = (1 / | x) für x  0, f (0) = 0,

hat Nullableitung überall, aber ist an 0 nicht sogar lokal unveränderlich.

In Anbetracht irgendwelcher Elemente r, r, r, r, r... wo r in Q ist (und Q tritt für R ein), ist es möglich, eine Folge (x) in Q solch zu finden, dass für den ganzen p (einschließlich ) die Grenze von x in Q r ist.

Feld Q ist ein lokal kompakter Raum von Hausdorff.

Wenn eine begrenzte Erweiterung von Galois, ist

die Gruppe von Galois ist lösbar.

So ist die Gruppe von Galois pro-lösbar.

Vernünftige Arithmetik

Eric Hehner und Nigel Horspool vorgeschlagen 1979 der Gebrauch einer-adic Darstellung für rationale Zahlen auf Computern genannt die Zitat-Notation. Der primäre Vorteil solch einer Darstellung besteht darin, dass Hinzufügung, Subtraktion und Multiplikation auf eine aufrichtige Weise getan werden können, die ähnlichen Methoden für binäre ganze Zahlen analog ist; und Abteilung ist noch einfacher, Multiplikation ähnelnd. Jedoch hat es den Nachteil, dass Darstellungen viel größer sein können als einfache Speicherung des Zählers und Nenners in der Dualzahl; zum Beispiel, wenn erster Mersenne ist, wird sein Gegenstück verlangen, dass Bit vertreten.

Generalisationen und verwandte Konzepte

Der reals und die-adic Zahlen sind die Vollziehungen des rationals; es ist auch möglich, andere Felder, zum Beispiel allgemeine Felder der algebraischen Zahl auf eine analoge Weise zu vollenden. Das wird jetzt beschrieben.

Nehmen Sie an, dass D ein Gebiet von Dedekind ist und E sein Feld von Bruchteilen ist. Picken Sie ein Nichtnullhauptideal P D auf. Wenn x ein Nichtnullelement von E ist, dann ist xD ein Bruchideal und kann einzigartig factored als ein Produkt von positiven und negativen Mächten von Nichtnullhauptidealen von D sein. Wir schreiben ord (x) für die Hochzahl von P in diesem factorization, und für jede Wahl der Nummer c, die größer ist als 1, wir können setzen

:

Die Vollendung in Bezug auf diesen absoluten Wert |. | gibt Feld E, die richtige Generalisation des Feldes von p-adic Zahlen zu dieser Einstellung nach.

Die Wahl von c ändert die Vollziehung nicht (verschiedene Wahlen geben dasselbe Konzept der Cauchyfolge, so dieselbe Vollziehung nach).

Es ist günstig, wenn der Rückstand Feld D/P begrenzt ist, um für c die Größe von D/P zu nehmen.

Zum Beispiel, wenn E ein numerisches Feld ist, sagt der Lehrsatz von Ostrowski, dass jeder nichttriviale non-Archimedean absolute Wert auf E als einige | entsteht. |. Die restlichen nichttrivialen absoluten Werte

auf E entstehen aus dem verschiedenen embeddings von E in die reellen Zahlen oder komplexen Zahlen. (Tatsächlich können die non-Archimedean absoluten Werte als einfach der verschiedene embeddings von E in die Felder C betrachtet werden, so die Beschreibung des ganzen stellend

die nichttrivialen absoluten Werte eines numerischen Feldes auf einem allgemeinen Stand.)

Häufig muss man gleichzeitig alle obengenannten erwähnten Vollziehungen nachgehen, wenn E ein numerisches Feld ist (oder mehr allgemein ein globales Feld), die als Verschlüsselung "lokaler" Information gesehen werden. Das wird durch Adele-Ringe und idele Gruppen vollbracht.

Lokal-globaler Grundsatz

Wie man

sagt, hält der lokal-globale Grundsatz von Helmut Hasse für eine Gleichung, wenn er über die rationalen Zahlen gelöst werden kann, wenn, und nur wenn er über die reellen Zahlen und über die-adic Zahlen für jede Blüte gelöst werden kann.

Pythonschlange-Code, um Dezimalzahl rationals zu p-adic Vergrößerungen umzuwandeln

von Bruchteilen importieren *

def ord (p, x):

retr = 0

r = 0

x = abs (x)

wenn (x == 0):

retr = 999999999

während (pow (p, r)

maxdigit = x

currmax = rslt [x]

geben Sie maxdigit zurück

def finddigitsRAT (p, seednum, seedden, placenum, placeden, targnum, targden, Zeiten):

ans =

für die Zählung in der Reihe (Zeiten):

fnd = finddigitRAT (p, seednum, seedden, placenum, placeden, targnum, targden)

ans = str (fnd) + ans

newseednum = seednum*placeden + fnd*placenum*seedden

newseedden = seedden*placeden

newplacenum = placenum * p

newplaceden = placeden

seednum = newseednum

seedden = newseedden

placenum = newplacenum

placeden = newplaceden

seedGCD = gcd (seednum, seedden)

placeGCD = gcd (placenum, placeden)

seednum / = seedGCD

seedden / = seedGCD

placenum / = placeGCD

placeden / = placeGCD

wenn (placenum/placeden == 1):

ans ='.' + ans

geben Sie ans zurück

def p_adic (p, targnum, targden, Zeiten):

Ordnungs-= ordrat (p, targnum, targden)

wenn (Ordnungs-

placenum = 1

placeden = 1

Wiederlohen = finddigitsRAT (p, 0, 1, placenum, placeden, targnum, targden, Zeiten)

geben Sie Wiederlohen zurück

</Quelle>

Erklärung des Gebrauches

Funktion wandelt eine rationale Zahl in eine-adic Vergrößerung um. Man verlangt vier Argumente. Sein erster Parameter ist der Wert als in "-adic". Die zweiten und dritten Rahmen sind der Zähler und der Nenner beziehungsweise der umzuwandelnden rationalen Zahl. Diese sollten dezimale ganze Zahlen mit der zweiten sein, die Nichtnull ist. Der vierte Parameter ist die Zahl von Ziffern der-adic Vergrößerung, um zu rechnen und zurückzukehren. Die Vergrößerung wird als eine Schnur zurückgegeben.

Zeichen: Der "Zitat Notation" Artikel hat eine Formel, für ein Wiederholen-adic Vergrößerung zurück zur Bruchform umzuwandeln.

Siehe auch

• Das Lemma von Hensel
• Der Lehrsatz von Mahler
• C-minimal Theorie
• die Ergänzung von two
• 1 + 2 + 4 + 8 +...
• Methode von Ergänzungen

Referenzen

Links

• P-Adic-Zahl am Springer Online-Enzyklopädie der Mathematik
• Die Vollziehung des Algebraischen Verschlusses - hält online Zeichen durch Brian Conrad Vorlesungen
• Eine Einführung in p-adic Zahlen und p-adic Analyse - hält online Zeichen durch Andrew Baker, 2007 Vorlesungen