In der Physik ist ein Maschinenbediener eine Funktion, die dem Raum von physischen Staaten folgt. Infolgedessen

seiner Anwendung auf einem physischen Staat wird ein anderer physischer Staat sehr häufig zusammen mit erhalten

etwas relevante Extrainformation.

Das einfachste Beispiel des Dienstprogrammes von Maschinenbedienern ist die Studie der Symmetrie. Wegen dessen, sie

sind ein sehr nützliches Werkzeug in der klassischen Mechanik. In der Quant-Mechanik, andererseits, sie

sind ein innerer Teil der Formulierung der Theorie.

Maschinenbediener in der klassischen Mechanik

Lassen Sie uns ein klassisches Mechanik-System als geführt von bestimmtem Hamiltonian, betrachten

Funktion der verallgemeinerten Koordinaten und seiner verbundenen Schwünge. Lassen Sie uns denken

diese Funktion, invariant unter der Handlung einer bestimmten Gruppe von Transformationen, d. h., wenn zu sein. Die Elemente dessen sind physische Maschinenbediener, die physische Staaten unter sich kartografisch darstellen.

Ein leichtes Beispiel wird durch Raumübersetzungen angeführt. Der hamiltonian Übersetzungs-invariant Problem ändert sich unter der Transformation nicht. Andere aufrichtige Symmetrie-Maschinenbediener sind diejenigen, Folgen durchführend.

Wenn das physische System durch eine Funktion beschrieben wird, weil in klassischen Feldtheorien der Übersetzungsmaschinenbediener auf eine aufrichtige Weise verallgemeinert wird:

:

Bemerken Sie, dass die Transformation innerhalb der Parenthese das Gegenteil der auf den Koordinaten getanen Transformation sein sollte.

Konzept des Generators

Wenn die Transformation unendlich klein ist, sollte die Maschinenbediener-Handlung von der Form sein

:

wo der Identitätsmaschinenbediener ist, ein kleiner Parameter ist, und von der Transformation in der Nähe abhängen wird, und einen Generator der Gruppe genannt wird. Wieder, als ein einfaches Beispiel werden wir den Generator der Raumübersetzungen auf 1D Funktionen ableiten.

Weil es festgesetzt wurde. Wenn unendlich klein ist, dann können wir schreiben

:

Diese Formel kann als umgeschrieben werden

:

wo der Generator der Übersetzungsgruppe ist, die in diesem Fall zufällig der abgeleitete Maschinenbediener ist. So wird es gesagt, dass der Generator von Übersetzungen die Ableitung ist.

Die Exponentialkarte

Die ganze Gruppe kann unter normalen Verhältnissen von den Generatoren über die Exponentialkarte wieder erlangt werden. Im Fall von den Übersetzungen arbeitet die Idee wie das.

Die Übersetzung für einen begrenzten Wert dessen kann durch die wiederholte Anwendung der unendlich kleinen Übersetzung erhalten werden:

:

mit dem Eintreten für die Anwendungszeiten. Wenn groß ist, wie man betrachten kann, ist jeder der Faktoren unendlich klein:

:

Aber diese Grenze kann als ein Exponential-umgeschrieben werden:

:

Um von der Gültigkeit dieses formellen Ausdrucks überzeugt zu sein, können wir den Exponential-in einer Macht-Reihe ausbreiten:

:

Die Rechte kann als umgeschrieben werden

:

der gerade die Vergrößerung von Taylor dessen ist, der unser ursprünglicher Wert dafür war.

Die mathematischen Eigenschaften von physischen Maschinenbedienern sind ein Thema von großer Bedeutung an sich. Für die weitere Information, sieh C*-algebra und Gelfand-Naimark Lehrsatz.

Maschinenbediener in der Quant-Mechanik

Die mathematische Beschreibung der Quant-Mechanik wird auf das Konzept eines Maschinenbedieners gebaut.

Physische reine Staaten in der Quant-Mechanik sind Einheitsnorm-Vektoren in einem bestimmten Vektorraum (ein Raum von Hilbert). Die Zeitevolution in diesem Vektorraum wird durch die Anwendung eines bestimmten Maschinenbedieners, genannt den Evolutionsmaschinenbediener gegeben. Da die Norm des physischen Staates fest bleiben sollte, sollte der Evolutionsmaschinenbediener einheitlich sein. Jede andere Symmetrie, einen physischen Staat in einen anderen kartografisch darstellend, sollte diese Beschränkung behalten.

Irgendwelcher erkennbar, d. h., jede Menge, die in einem physischen Experiment gemessen werden kann, sollte mit einem selbst adjungierten geradlinigen Maschinenbediener vereinigt werden. Die Maschinenbediener müssen echten eigenvalues nachgeben, da sie Werte sind, die als das Ergebnis des Experimentes heraufkommen können. Mathematisch bedeutet das, dass die Maschinenbediener Hermitian sein müssen. Die Wahrscheinlichkeit jedes eigenvalue ist mit dem Vorsprung des physischen Staates auf dem damit verbundenen Subraum eigenvalue verbunden. Sieh unten für mathematische Details.

Geradlinige Maschinenbediener auf einer Welle-Funktion

Lassen Sie ψ die Welle-Funktion für ein Quant-System sein, und jeder geradlinige Maschinenbediener für einige erkennbar (wie Position, Schwung, Energie, winkeliger Schwung usw.), dann zu sein

:

wo des eigenvalue des Maschinenbedieners zu sein. Der eigenvalue entspricht dem gemessenen Wert des erkennbaren d. h. erkennbaren A hat einen gemessenen Wert a. Wenn diese Beziehung meint, dass, wie man sagt, die Welle-Funktion ein eigenfunction ist. Wenn ψ ein eigenfunction ist, dann kann der eigenvalue gefunden werden, und so kann das erkennbare umgekehrt gemessen werden, wenn ψ nicht ein eigenfunction dann ist, kann der eigenfunction nicht gefunden werden, und das erkennbare kann für diesen Fall nicht gemessen werden. Für eine getrennte Basis des eigenstates, der entsprechende eigenvalues ein Wille, auch getrennt sein. Ebenfalls für eine dauernde Basis gibt es ein Kontinuum von eigenstates und entsprechend ein Kontinuum von eigenvalues a.

In der Notation des Büstenhalters-ket kann der obengenannte geschrieben werden;

:

& ein \psi = ein \psi (\mathbf {r}) = ein \langle \mathbf {r} | \psi \rangle = \langle \mathbf {r} | | \psi \rangle \\

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Geradlinige Maschinenbediener arbeiten in jeder Zahl von Dimensionen. Deshalb kann ein Maschinenbediener die Form eines Vektoren annehmen, weil jeder Bestandteil des Vektoren der Funktion getrennt wegen der Linearität folgt. Ein mathematisches Beispiel ist der del Maschinenbediener, der selbst ein Vektor ist. Das ist in anderen Quant-Maschinenbedienern, wie illustriert, unten nützlich.

Ein Maschinenbediener im n-dimensional Raum kann geschrieben werden:

:

wo e Basisvektoren entsprechend jedem bildenden Maschinenbediener A. sind. Jeder Bestandteil wird einen entsprechenden eigenvalue nachgeben. Handelnd fungiert das auf der Welle ψ:

:

in dem

:

In der Notation des Büstenhalters-ket:

:

& \left (\sum_ {j=1} ^n \mathbf {e} _ \mathrm {j} \hat {Ein} _j \right) \psi = \left (\sum_ {j=1} ^n \mathbf {e} _ \mathrm {j} \hat {Ein} _j \right) \psi (\mathbf {r}) = \left (\sum_ {j=1} ^n \mathbf {e} _ \mathrm {j} \hat {Ein} _j \right) \langle \mathbf {r} | \psi \rangle = \left \langle \mathbf {r} \Bigg | \sum_ {j=1} ^n \mathbf {e} _ \mathrm {j} \hat {Ein} _j \Bigg | \psi \right \rangle \\

\end {richten} {sich} \, \{aus}! </Mathematik>

Umwandlung von Maschinenbedienern auf Ψ

Wenn zwei observables A und B geradlinige Maschinenbediener haben, und der Umschalter wird durch, definiert

:

Der Umschalter ist selbst ein (zerlegbarer) Maschinenbediener. Handelnd gibt der Umschalter auf ψ:

:

Wenn ψ ein eigenfunction mit eigenvalues a und b für observables A und B beziehungsweise ist, und wenn die Maschinenbediener pendeln:

:

dann kann der observables A und B zur gleichen Zeit mit messbarem eigenvalues a und b beziehungsweise gemessen werden. Das zu illustrieren:

:

& = \hat {Ein} \left (b \psi \right) - \hat {B} \left (ein \psi \right) \\

& = b \left (\hat {Ein} \psi \right) - ein \left (\hat {B} \psi \right) \\

& = b \left (ein \psi \right) - ein \left (b \psi \right) \\

& = ab \psi - ab \psi \\

& = 0. \\

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Wenn die Maschinenbediener nicht pendeln:

:

sie können gleichzeitig zur willkürlichen Präzision nicht gemessen werden, und es gibt eine Unklarheitsbeziehung zwischen dem observables, selbst wenn ψ ein eigenfunction ist. Bemerkenswerte Paare sind Position und Schwung und Energie und Zeit - die Unklarheitsbeziehungen von Hiesenberg und die winkeligen Schwünge (Drehung, Augenhöhlen- und ganz) über irgendwelche zwei orthogonalen Äxte (wie L und L, oder s und s usw.).

Erwartungswerte von Maschinenbedienern auf Ψ

Der Erwartungswert (gleichwertig der Durchschnitt oder Mittelwert) ist das durchschnittliche Maß eines erkennbaren für die Partikel in Gebiet R. Der Erwartungswert des Maschinenbedieners wird berechnet von:

:

Das kann zu jeder Funktion F von einem Maschinenbediener verallgemeinert werden:

:

Ein Beispiel von F ist die 2-fache Handlung auf ψ, d. h. Quadrieren ein Maschinenbediener oder das Tun davon zweimal:

:

& F (\hat) = \hat {Ein} ^2 \\

& \Rightarrow \langle \hat {Ein} ^2 \rangle = \int_R \psi^ {*} \left (\mathbf {r} \right) \hat {Ein} ^2 \psi \left (\mathbf {r} \right) \mathrm {d} ^3\mathbf {r} = \langle \psi \vert \hat {Ein} ^2 \vert \psi \rangle \\

\end {richten }\\, \aus! </Mathematik>

Hermiticity von QM Maschinenbedienern

Die Definition eines Maschinenbedieners von Hermitian ist:

:

Das Folgen daraus, in der Notation des Büstenhalters-ket:

:

Matrixdarstellung von Quant-Maschinenbedienern

Ein Maschinenbediener kann in der Matrixform geschrieben werden, um einen Basisvektoren zu einem anderen kartografisch darzustellen. Da die Maschinenbediener und Basisvektoren geradlinig sind, ist die Matrix eine geradlinige Transformation (auch bekannt als Übergang-Matrix) zwischen Basen. Jedes Basiselement kann mit einem anderen Verwenden-Vektoren und Matrixindizes, verbunden werden

:

in dem,

:

A_ {11} & A_ {12} & \cdots & A_ {1n} \\

A_ {21} & A_ {22} & \cdots & A_ {2n} \\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

A_ {n1} & A_ {n2} & \cdots & A_ {nn} \\

\end {pmatrix }\

</Mathematik>

Ein weiteres Eigentum eines hermitain Maschinenbedieners besteht darin, dass eigenfunctions entsprechend verschiedenem eigenvalues orthogonal sind. In der Matrixform erlauben Maschinenbediener echtem eigenvalues, entsprechend Maßen gefunden zu werden. Orthogonality erlaubt einem passenden Basissatz von Vektoren, den Staat des Quant-Systems zu vertreten. Die eigenvalues des Maschinenbedieners werden auch ebenso bezüglich der Quadratmatrix, durch das Lösen des charakteristischen Polynoms bewertet:

:

wo ich der n × n Identitätsmatrix als ein Maschinenbediener bin, entspricht es dem Identitätsmaschinenbediener.

Tisch von QM Maschinenbedienern

Die in der Quant-Mechanik verwendeten Maschinenbediener werden im Tisch unten abgeholt (sieh zum Beispiel,). Die fetten Vektoren mit Zirkumflexen sind nicht Einheitsvektoren, sie sind 3-Vektoren-Maschinenbediener; alle drei Raumbestandteile genommen zusammen.

Beispiele, Quant-Maschinenbediener anzuwenden

Das Verfahren, um Information aus einer Welle-Funktion herauszuziehen, ist wie folgt. Denken Sie den Schwung p einer Partikel als ein Beispiel. Der Schwung-Maschinenbediener in einer Dimension ist:

:

Das Lassen davon ψ folgen herrschen wir vor:

:

wenn ψ ein eigenfunction dessen ist, dann ist der Schwung eigenvalue p der Wert des Schwungs der Partikel, der gefunden ist durch:

:

Für drei Dimensionen verwendet der Schwung-Maschinenbediener den nabla Maschinenbediener, um zu werden:

:

In Kartesianischen Koordinaten (die Kartesianischen Standardbasisvektoren e, e, e verwendend), kann das geschrieben werden;

:

das ist:

:

Der Prozess, eigenvalues zu finden, ist dasselbe. Da das ein Vektor und Maschinenbediener-Gleichung ist, wenn ψ ein eigenfunction ist, dann wird jeder Bestandteil des Schwung-Maschinenbedieners einen eigenvalue entsprechend diesem Bestandteil des Schwungs haben. Das Folgen ψ herrscht vor:

:

\hat {p} _x \psi & =-i\hbar \frac {\\teilweise} {\\teilweise x\\psi = p_x \psi \\

\hat {p} _y \psi & =-i\hbar \frac {\\teilweise} {\\teilweise y\\psi = p_y \psi \\

\hat {p} _z \psi & =-i\hbar \frac {\\teilweise} {\\teilweise z\\psi = p_z \psi \\

\end {richten} {sich} \, \{aus}! </Mathematik>

Siehe auch

• Begrenzter geradliniger Maschinenbediener
• Darstellungstheorie