In der Mathematik ist ein axiomatisches System jeder Satz von Axiomen, von denen einige oder alle Axiome in der Verbindung verwendet werden können, um Lehrsätze logisch abzuleiten. Eine mathematische Theorie besteht aus einem axiomatischen System und allen seinen abgeleiteten Lehrsätzen. Ein axiomatisches System, das völlig beschrieben wird, ist eine spezielle Art des formellen Systems; gewöhnlich, obwohl die Anstrengung zur ganzen Formalisierung abnehmenden Ertrag in der Gewissheit und einen Mangel an der Lesbarkeit für Menschen bringt. Eine formelle Theorie bedeutet normalerweise ein axiomatisches System, das zum Beispiel innerhalb der Mustertheorie formuliert ist. Ein formeller Beweis ist eine ganze Interpretation eines mathematischen Beweises innerhalb eines formellen Systems.

Eigenschaften

Wie man

sagt, entspricht ein axiomatisches System, wenn es an Widerspruch, d. h. der Fähigkeit Mangel hat, sowohl eine Behauptung als auch seine Ablehnung von den Axiomen des Systems abzuleiten.

In einem axiomatischen System wird ein Axiom unabhängig genannt, wenn es nicht ein Lehrsatz ist, der aus anderen Axiomen im System abgeleitet werden kann. Ein System wird unabhängig genannt, wenn jedes seiner zu Grunde liegenden Axiome unabhängig ist. Obwohl Unabhängigkeit nicht eine notwendige Voraussetzung für ein System ist, ist Konsistenz.

Ein axiomatisches System wird abgeschlossen genannt, wenn für jede Behauptung, entweder es oder seine Ablehnung ableitbar ist.

Verhältniskonsistenz

Außer der Konsistenz ist Verhältniskonsistenz auch das Zeichen eines lohnenden Axiom-Systems. Das ist, wenn die unbestimmten Begriffe eines ersten Axiom-Systems zur Verfügung gestellte Definitionen von einer solcher Sekunde sind, dass die Axiome des ersten Lehrsätze des zweiten sind.

Ein gutes Beispiel ist die Verhältniskonsistenz der neutralen Geometrie oder absoluten Geometrie in Bezug auf die Theorie des Systems der reellen Zahl. Linien und Punkte sind unbestimmte Begriffe in der absoluten Geometrie, aber zugeteilte Bedeutungen in der Theorie von reellen Zahlen in einem Weg, der mit beiden Axiom-Systemen im Einklang stehend ist.

Modelle

Ein Modell für ein axiomatisches System ist ein bestimmter Satz, der Bedeutung für die unbestimmten Begriffe zuteilt, die im System gewissermaßen präsentiert sind, der mit den im System definierten Beziehungen richtig ist. Die Existenz eines konkreten Modells beweist die Konsistenz eines Systems. Ein Modell wird konkret genannt, wenn die zugeteilten Bedeutungen Gegenstände und Beziehungen von der echten Welt im Vergleich mit einem abstrakten Modell sind, das auf anderen axiomatischen Systemen basiert.

Modelle können auch verwendet werden, um die Unabhängigkeit eines Axioms im System zu zeigen. Indem wir ein gültiges Modell für ein Subsystem ohne ein spezifisches Axiom bauen, zeigen wir, dass das weggelassene Axiom unabhängig ist, wenn seine Genauigkeit aus dem Subsystem nicht notwendigerweise folgt.

Wie man

sagt, sind zwei Modelle isomorph, wenn eine isomorphe Ähnlichkeit zwischen ihren Elementen gewissermaßen gefunden werden kann, der ihre Beziehung bewahrt. Ein axiomatisches System, für das jedes Modell zu einem anderen isomorph ist, wird categorial (manchmal kategorisch) genannt, und das Eigentum von categoriality (categoricity) sichert die Vollständigkeit eines Systems.

Axiomatische Methode

Die axiomatische Methode schließt das Ersetzen eines zusammenhängenden Körpers von Vorschlägen (d. h. eine mathematische Theorie) durch eine einfachere Sammlung von Vorschlägen (d. h. Axiome) ein. Die Axiome werden entworfen, so dass der ursprüngliche Körper von Vorschlägen aus den Axiomen abgeleitet werden kann.

Die axiomatische Methode, die zum Extrem gebracht ist, läuft auf logicism hinaus. In ihrem Buch haben Principia Mathematica, Alfred North Whitehead und Bertrand Russell versucht zu zeigen, dass die ganze mathematische Theorie auf etwas Sammlung von Axiomen reduziert werden konnte. Mehr allgemein stellt die Verminderung eines Körpers von Vorschlägen zu einer besonderen Sammlung von Axiomen das Forschungsprogramm des Mathematikers falsch dar. Das war in der Mathematik des zwanzigsten Jahrhunderts insbesondere in um die homological Algebra gestützten Themen sehr prominent.

Die Erklärung der besonderen in einer Theorie verwendeten Axiome kann helfen, ein passendes Niveau der Abstraktion zu klären, mit der der Mathematiker gern arbeiten würde. Zum Beispiel haben Mathematiker gewählt, der klingelt, braucht nicht auswechselbar zu sein, der sich von der ursprünglichen Formulierung von Emmy Noether unterschieden hat. Mathematik hat sich dafür entschieden, topologische Räume mehr allgemein ohne das Trennungsaxiom zu denken, das Felix Hausdorff ursprünglich formuliert hat.

Die Zermelo-Fraenkel Axiome, das Ergebnis der axiomatischen auf die Mengenlehre angewandten Methode, haben die richtige Formulierung von Mengenlehre-Problemen erlaubt und haben geholfen, die Paradoxe der naiven Mengenlehre zu vermeiden. Ein solches Problem war die Kontinuum-Hypothese.

Geschichte

Euklid aus Alexandria authored die frühste noch vorhandene axiomatische Präsentation der Euklidischen Geometrie und Zahlentheorie. Viele axiomatische Systeme wurden im neunzehnten Jahrhundert, einschließlich der nicht-euklidischen Geometrie, der Fundamente von echter Analyse, Mengenlehre des Kantoren und Arbeit von Frege an Fundamenten und 'neuem' Gebrauch von Hilbert der axiomatischen Methode als ein Forschungswerkzeug entwickelt. Zum Beispiel wurde Gruppentheorie zuerst auf einer axiomatischen Basis zum Ende dieses Jahrhunderts gestellt. Sobald die Axiome geklärt wurden (dass umgekehrte Elemente, zum Beispiel erforderlich sein sollten), konnte das Thema autonom ohne Berücksichtigung der Transformationsgruppenursprünge jener Studien weitergehen.

Mathematische Methoden haben sich zu einer Kultiviertheit im alten Ägypten, Babylon, Indien und China anscheinend entwickelt, ohne die axiomatische Methode zu verwenden.

Probleme

Nicht jeder konsequente Körper von Vorschlägen kann durch eine beschreibbare Sammlung von Axiomen gewonnen werden. Nennen Sie eine Sammlung von Axiomen rekursiv, wenn ein Computerprogramm anerkennen kann, ob ein gegebener Vorschlag auf der Sprache ein Axiom ist. Der erste Unvollständigkeitslehrsatz von Gödel sagt uns dann, dass es bestimmte konsequente Körper von Vorschlägen ohne rekursiven axiomatization gibt. Gewöhnlich kann der Computer die Axiome und logischen Regeln anerkennen, um Lehrsätze abzuleiten, und der Computer kann anerkennen, ob ein Beweis gültig ist, aber zu bestimmen, ob ein Beweis für eine Behauptung besteht, ist nur durch auflösbar, ``" auf den Beweis oder die zu erzeugende Widerlegung wartend. Das Ergebnis besteht darin, dass man nicht wissen wird, welche Vorschläge Lehrsätze sind und die axiomatische Methode zusammenbricht. Ein Beispiel solch eines Körpers von Vorschlägen ist die Theorie der natürlichen Zahlen. Die Peano Axiome (beschrieben unten) so nur teilweise axiomatize diese Theorie.

In der Praxis wird nicht jeder Beweis zurück zu den Axiomen verfolgt. Zuweilen ist es nicht klar, an den die Sammlung von Axiomen eine Probebitte tut. Zum Beispiel könnte eine mit der Zahl theoretische Behauptung expressible auf der Sprache der Arithmetik sein (d. h. die Sprache der Peano Axiome), und ein Beweis könnte gegeben werden, der an die Topologie oder komplizierte Analyse appelliert. Es könnte nicht sofort klar sein, ob ein anderer Beweis gefunden werden kann, dass das sich allein von den Peano Axiomen ableitet.

Jedes mehr oder weniger willkürlich gewählte System von Axiomen ist die Basis von einer mathematischen Theorie, aber solch ein willkürliches axiomatisches System wird nicht frei von Widersprüchen notwendigerweise sein, und selbst wenn es ist, wird es wahrscheinlich Licht auf nichts werfen. Philosophen der Mathematik behaupten manchmal, dass Mathematiker Axiome "willkürlich" wählen, aber die Wahrheit ist dass, obwohl sie willkürlich, wenn angesehen, nur aus dem Gesichtswinkel von den Kanons der deduktiven Logik scheinen können, die bloß eine Beschränkung auf die Zwecke ist, denen deduktive Logik dient.

Beispiel: Peano axiomatization von natürlichen Zahlen

Das mathematische System von natürlichen Zahlen 0, 1, 2, 3, 4, basiert... auf einem axiomatischen System, das zuerst vom Mathematiker Peano 1889 niedergeschrieben wurde. Er hat die Axiome gewählt (sieh Axiome von Peano), auf der Sprache eines einzelnen unären Funktionssymbols S (kurz für "den Nachfolger"), für den Satz von natürlichen Zahlen, um zu sein:

• Es gibt eine natürliche Zahl 0.
• Jede natürliche Zahl ein Haben eines Nachfolgers, der von Sa angezeigt ist.
• Es gibt keine natürliche Zahl, deren Nachfolger 0 ist.
• Verschiedene natürliche Zahlen haben verschiedene Nachfolger: wenn ein  b, dann Sa  Sb.
• Wenn ein Eigentum durch 0 besessen wird und auch durch den Nachfolger jeder natürlichen Zahl es dadurch besessen wird, dann wird es durch alle natürlichen Zahlen besessen.

Axiomatization

In der Mathematik ist axiomatization die Formulierung eines Systems von Behauptungen (d. h. Axiome), die mehrere primitive Begriffe verbinden, damit ein konsequenter Körper von Vorschlägen deduktiv von diesen Behauptungen abgeleitet werden kann. Danach sollte der Beweis jedes Vorschlags, im Prinzip, nachweisbarer Rücken zu diesen Axiomen sein.

Siehe auch

• Axiom-Diagramm
• Der Unvollständigkeitslehrsatz von Gödel
• Hilbert-artiges Abzug-System
• Logicism
• Primzahl
• Recursion
• Systemtheorie
• Eric W. Weisstein, axiomatisches System, von MathWorld - eine Wolfram-Webquelle. Mathworld.wolfram.com & Answers.com